2018届高考文科总复习课时跟踪检测试卷(61)不等式的证明.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 课时跟踪检测 (六十一)　不等式的证明 ‎1．如果x＞0，比较(－1)2与(＋1)2的大小．‎ 解：(－1)2－(＋1)2‎ ‎＝[(－1)＋(＋1)][(－1)－(＋1)]‎ ‎＝－4．‎ 因为x＞0，所以＞0，所以－4＜0，‎ 所以(－1)2＜(＋1)2．‎ ‎2．设不等式|2x－1|＜1的解集为M．‎ ‎(1)求集合M．‎ ‎(2)若a，b∈M，试比较ab＋1与a＋b的大小．‎ 解：(1)由|2x－1|＜1得－1＜2x－1＜1，‎ 解得0＜x＜1．‎ 所以M＝{x|0＜x＜1}．‎ ‎(2)由(1)和a，b∈M可知0＜a＜1,0＜b＜1，‎ 所以(ab＋1)－(a＋b)＝(a－1)(b－1)＞0．‎ 故ab＋1＞a＋b．‎ ‎3．(2017·重庆第一次适应性测试)设a，b，c∈R＋且a＋b＋c＝1．‎ ‎(1)求证：2ab＋bc＋ca＋≤；‎ ‎(2)求证：＋＋≥2．‎ 证明：(1)因为1＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca≥4ab＋2bc＋2ca＋c2，‎ 所以2ab＋bc＋ca＋＝(4ab＋2bc＋2ca＋c2)≤．‎ ‎(2)因为≥，≥，≥，‎ 所以＋＋≥＋＋＝a＋b＋c≥‎2a＋2b＋‎2c＝2．‎ ‎4．若a>0，b>0，且＋＝．‎ ‎(1)求a3＋b3的最小值；‎ ‎(2)是否存在a，b，使得‎2a＋3b＝6？并说明理由．‎ 解：(1)由＝＋≥，‎ 得ab≥2，且当a＝b＝时等号成立．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 故a3＋b3≥2≥4，‎ 且当a＝b＝时等号成立．‎ 所以a3＋b3的最小值为4．‎ ‎(2)由(1)知，‎2a＋3b≥2≥4．‎ 由于4>6，从而不存在a，b，使得‎2a＋3b＝6．‎ ‎5．已知定义在R上的函数f(x)＝|x＋1|＋|x－2|的最小值为a．‎ ‎(1)求a的值；‎ ‎(2)若p，q，r是正实数，且满足p＋q＋r＝a，求证：p2＋q2＋r2≥3．‎ 解：(1)因为|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3，‎ 当且仅当－1≤x≤2时，等号成立，所以f(x)的最小值等于3，即a＝3．‎ ‎(2)证明：由(1)知p＋q＋r＝3，‎ 又因为p，q，r是正实数，‎ 所以(p2＋q2＋r2)(12＋12＋12)≥(p×1＋q×1＋r×1)2＝(p＋q＋r)2＝9，即p2＋q2＋r2≥3．‎ ‎6．(2016·海口调研)设函数f(x)＝|x－a|．‎ ‎(1)当a＝2时，解不等式f(x)≥7－|x－1|；‎ ‎(2)若f(x)≤1的解集为[0,2]，＋＝a(m＞0，n＞0)，求证：m＋4n≥2＋3．‎ 解：(1)当a＝2时，不等式为|x－2|＋|x－1|≥7，‎ ‎∴ 或 或 解得x≤－2或x≥5，‎ ‎∴不等式的解集为(－∞，－2]∪[5，＋∞)．‎ ‎(2)证明：f(x)≤1即|x－a|≤1，解得a－1≤x≤a＋1，‎ 而f(x)≤1的解集是[0,2]，‎ ‎∴解得a＝1，∴＋＝1(m＞0，n＞0)，‎ ‎∴m＋4n＝(m＋4n)＝3＋＋≥2＋3(当且仅当m＝2n时取等号)．‎ ‎7．已知函数f(x)＝|x－1|．‎ ‎(1)解不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8；‎ ‎(2)若|a|＜1，|b|＜1，a≠0，求证：＞f．‎ 解：(1)f(2x)＋f(x＋4)＝|2x－1|＋|x＋3|‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＝ 当x＜－3时，由－3x－2≥8，解得x≤－；‎ 当－3≤x＜时，－x＋4≥8无解；‎ 当x≥时，由3x＋2≥8，解得x≥2．‎ 所以不等式f(2x)＋f(x＋4)≥8的解集为 ．‎ ‎(2)证明：＞f等价于f(ab)＞|a|f，‎ 即|ab－1|＞|a－b|．‎ 因为|a|＜1，|b|＜1，‎ 所以|ab－1|2－|a－b|2‎ ‎＝(a2b2－2ab＋1)－(a2－2ab＋b2)‎ ‎＝(a2－1)(b2－1)＞0，‎ 所以|ab－1|＞|a－b|．‎ 故所证不等式成立．‎ ‎8．设函数f(x)＝2|x－1|＋x－1，g(x)＝16x2－8x＋1．记f(x)≤1的解集为M，g(x)≤4的解集为N．‎ ‎(1)求M；‎ ‎(2)当x∈M∩N时，证明：x‎2f(x)＋x[f(x)]2≤．‎ 解：(1)f(x)＝ 当x≥1时，由f(x)＝3x－3≤1得x≤，故1≤x≤；‎ 当x＜1时，由f(x)＝1－x≤1得x≥0，故0≤x＜1．‎ 所以f(x)≤1的解集为M＝．‎ ‎(2)证明：由g(x)＝16x2－8x＋1≤4，‎ 得162≤4，‎ 解得－≤x≤．‎ 因此N＝，‎ 故M∩N＝．‎ 当x∈M∩N时，f(x)＝1－x，‎ 于是x‎2f(x)＋x·[f(x)]2‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎＝xf(x)[x＋f(x)]‎ ‎＝x·f(x)＝x(1－x)‎ ‎＝－2≤．‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费