北京市2017年中考数学押题试卷（一）含答案（PDF版）.pdf

2017 年中考数学押题卷试题【北京卷】 命题人：亦庄校区 数学教师 一、选择题（本题共 30 分，每小题 3 分）第 1-10 题均有四个选项，符合题意的选项只有一个。 1．实数﹣17 的相反数是（ ） A.17 B. 1 17 C.﹣17 D. 1 17  2.下列各因式分解正确的是 A. x2 + 2x -1=（x - 1）2 B. - x2 +（-2）2 =（x - 2）（x + 2） C. x3- 4x = x（x + 2）（x - 2） D. （x + 1）2 = x2 + 2x + 1 3．下列图案中是中心对称图形但不是轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 4.用配方法解一元二次方程 x2 + 4x – 5 = 0，此方程可变形为 A. （x + 2）2 = 9 B. （x - 2）2 = 9 C. （x + 2）2 = 1 D. （x - 2）2 =1 5．如图，已知数轴上的点 A、B、C、D 分别表示数﹣2、1、2、3，则表示数 3﹣ 的点 P 应落在线 段（ ） A．AO 上 B．OB 上 C．BC 上 D．CD 上 6.如图，⊙O 和⊙O′相交于 A、B 两点，且 OO’=5，OA=3， O’B=4，则 AB=( ) A、5 B、2.4 C、2.5 D、4.8 7.已知点 1 1 2 2( , ), ( , )A x y B x y 是反比例函数 2y x  图像上的点，若 1 20x x  ，则一定成立的是（） A、 1 2 0y y  B、 1 20y y  C、 1 20 y y  D、 2 10y y  8.如图是王老师去公园锻炼及原路返回时离家的距离 y（千米）与时间 t（分钟）之间的函数图象， 根据图象信息，下列说法正确的是（ ） A． 王老师去时所用的时间少于回家的时间 B． 王老师在公园锻炼了 40 分钟 C． 王老师去时走上坡路，回家时走下坡路 D． 王老师去时速度比回家时的速度慢 9. 如图，AB 是⊙O 的直径，点 E 为 BC 的中点，AB = 4， ∠BED = 120°，则图中阴影部分的面积之和为 A. 3 B. 2 3 C. 2 3 D. 1 10．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=16．点 P 是斜边 AB 上一点．过点 P 作 PQ⊥AB， 垂足为 P，交边 AC（或边 CB）于点 Q，设 AP= x ，△APQ 的面积为 y ，则 y 与 x 之间的函数图象大致 为（ ） A. B. C. D.二．填空题（本题共 18 分，每小题 3 分） .11.分解因式： 2 23 3x y  12.已知⊙O1 与⊙O2 相交，两圆半径分别为 2 和 m，且圆心距为 7，则 m 的取值范围是 ． 13.在 10 个外观相同的产品中，有 2 个不合格产品，现从中任意抽取 1 个进行检测，抽到合格产品 的概率是 . 14. 在临桂新区建设中，需要修一段全长 2400m 的道路，为了尽量减少施工对县城交通所造成的影 响，实际工作效率比原计划提高了 20%，结果提前 8 天完成任务，求原计划每天修路的长度. 若 设原计划每天修路 x m，则根据题意可得方程 . 15.如图是二次函数 和一次函数 y2=kx+t 的图象，当 y1≥y2 时，x 的取值范围是 ． 16.如图，点 E、F 分别是正方形纸片 ABCD 的边 BC、CD 上一点，将正方形纸片 ABCD 分别沿 AE、AF 折叠，使得点 B、D 恰好都落在点 G 处，且 EG=2，FG=3，则正方形纸片 ABCD 的边长为． 三、解答题（本题共 72 分，第 17－26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分） 解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 17.若实数 a、b 满足|3a﹣1|+b2=0，则 ab 的值为 ． 18．先化简，再求值： ，其中 ．19．解不等式组： ，并把解集在数轴上表示出来． 20.在学校开展的“学习交通安全知识，争做文明中学生”主题活动月中，学校德工处随机选取了该 校部分学生，对闯红灯情况进行了一次调查，调查结果有三种情况：A．从不闯红灯；B．偶尔闯红 灯；C 经常闯红灯．德工处将调查的数据进行了整理，并绘制了尚不完整的统计图如下，请根据相 关信息，解答下列问题． （1）求本次活动共调查了多少名学生； （2）请补全（图二），并求（图一）中 B 区域的圆心角的度数； （3）若该校有 2400 名学生，请估算该校不严格遵守信号灯指示的人数． 21..如图，将一矩形 OABC 放在直角坐标系中，O 为坐标原点．点 A 在 y 轴正半轴上．点 E 是边 AB 上的一个动点（不与点 A、B 重合），过点 E 的反比例函数 的图象与边 BC 交于点 F． （1）若△OAE、△OCF 的面积分别为 S1、S2．且 S1+S2=2，求 k 的值； （2）若 OA=2.0C=4．问当点 E 运动到什么位置时．四边形 OAEF 的面积最大．其最大值为多少？ 22.某市 2017 年国民经济和社会发展统计公报显示，2017 年该市新开工的住房有商品房、廉租房、 经济适用房和公共租赁房四种类型．老王对这四种新开工的住房套数和比例进行了统计，并将统计 结果绘制成下面两幅统计图，请你结合图中所给信息解答下列问题：（1）求经济适用房的套数，并补全图 1； （2）假如申请购买经济适用房的对象中共有 950 人符合购买条件，老王是其中之一．由于购买人数 超过房子套数，购买者必须通过电脑摇号产生．如果对 2017 年新开工的经济适用房进行电脑摇号， 那么老王被摇中的概率是多少？ （3）如果计划 2020 年新开工廉租房建设的套数要达到 720 套，那么 2017～2020 这两年新开工廉租 房的套数的年平均增长率是多少？ 23.观察下列式子 0 1 11 2 1,2 31 2 2 2 1 3 13 4 ,4 53 3 4 4              （1）根据上述规律，请猜想，若 n 为正整数，则 n= （2）证明你猜想的结论。 24.如图，在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC 于 G，BH⊥DC 于 H，CH=DH，点 E 在 AB 上， 点 F 在 BC 上，并且 EF∥DC． （1）若 AD=3，CG=2，求 CD； （2）若 CF=AD+BF，求证：EF= CD．25.如图，已知⊙O 的直径 AB 与弦 CD 互相垂直，垂足为点 E．⊙O 的切线 BF 与弦 AC 的延长线相交 于点 F，且 AC=8，tan∠BDC= ． （1）求⊙O 的半径长； （2）求线段 CF 长． 26.阅读下面材料： 上课时李老师提出这样一个问题：对于任意实数 x ，关于 x 的不等式 2 2 1 0x x a    恒成立，求 a 的取值范围． 小 捷 的 思 路 是 ： 原 不 等 式 等 价 于 2 2 1x x a   ， 设 函 数 2 1 2 1y x x   ， 2y a ，画出两个函数的图象的示意图，于是原问题转 化为函数 1y 的图象在 2y 的图象上方时 a 的取值范围． 请结合小捷的思路回答： 对于任意实数 x ，关于 x 的不等式 2 2 1 0x x a    恒成立，则 a 的取值范围是___________． 参考小捷思考问题的方法，解决问题： 关于 x 的方程 34 ax x   在0 4x  范围内有两个解，求 a 的取值范围．27.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2 2 2( 0)y mx mx m    与 y 轴交于点 A，其对称轴与 x 轴交 于点 B。 （1）求点 A，B 的坐标； （2）设直线与直线 AB 关于该抛物线的对称轴对称，求直线的解析式； （3）若该抛物线在 2 1x    这一段位于直线的上方，并且在 2 3x  这一段位于直线 AB 的下方， 求该抛物线的解析式。 28.如图 1，在菱形 ABCD 中，AC=2，BD=2 ，AC，BD 相交于点 O． （1）求边 AB 的长； （2）如图 2，将一个足够大的直角三角板 60°角的顶点放在菱形 ABCD 的顶点 A 处，绕点 A 左右旋 转，其中三角板 60°角的两边分别与边 BC，CD 相交于点 E，F，连接 EF 与 AC 相交于点 G． ①判断△AEF 是哪一种特殊三角形，并说明理由； ②旋转过程中，当点 E 为边 BC 的四等分点时（BE＞CE），求 CG 的长．29.（1）在图 1，2，3 中，给出平行四边形 ABCD 的顶点 A,B,D 的坐标（如图所示），写出图 1，2， 3 中的顶点 C 的坐标，它们分别是 (5,2) ， ， ； （2）在图 4 中，给出平行四边形 ABCD 的顶点 A,B,D 的坐标（如图所示），求出顶点 C 的坐标（C 点坐标用含 , , , , ,a b c d e f 的代数式表示）； 归纳与发现 （3）通过对图 1，2，3，4 的观察和顶点 C 的坐标的探究，你会发现：无论平行四边形 ABCD 处于直 角坐标系中哪个位置，当其顶点坐标为 ( , ), ( , ), ( , ), ( , )A a b B c d C m n D e f （如图 4）时，则四个顶点的横 坐标 , , ,a c m e 之间的等量关系为 ；纵坐标 , , ,b d n f 之间的等量关系 为 （不必证明）； 运用与推广 （4）在同一直角坐标系中有抛物线 2 (5 3)y x c x c    和三个点 1 5,2 2G c c   ， 1 9,2 2S c c    ， (2 ,0)H c （其中 0c  ）．问当 c 为何值时，该抛物线上存在点 P ，使得以 , , ,G S H P 为顶点的四边形是平行四 边形？并求出所有符合条件的 P 点坐标．2017 年中考数学押题卷答案【北京卷】 命题人：亦庄校区 数学教师 一、单项选择题（每题 3 分，共 30 分） 题号 1 2 3 4 5 答案 A D C A B 题号 6 7 8 9 10 答案 B B D A C 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11. 3( )( )x y x y  12. 5＜m＜9 13. 5 4 （若为 10 8 扣 1 分） 14. x 2400 - x%)201( 2400  = 8 15.﹣1≤x≤2 16. 6 三、解答题（第 17~26 题，每小题 5 分，第 27 题 7 分，第 28 题 7 分，第 29 题 8 分，共 72 分） 17. 解：根据题意得，3a﹣1=0，b=0，解得 a= ，b=0， ab=（ ）0=1．故答案为：1． 18. 解：原式= ÷（ ）= × = ，当 x= ﹣3 时， 原式= = ．19. 解： ，由①得：x≥﹣2，由②得：x＜1， ∴不等式组的解集为：﹣2≤x＜1， 如图，在数轴上表示为： ． . 20. 解：（1） （名）． 故本次活动共调查了 200 名学生． （2）补全图二， 200﹣120﹣20=60（名）． ．故 B 区域的圆心角的度数是 108°． （3） （人）． 故估计该校不严格遵守信号等指示的人数为 960 人． 21. 解： （1）∵点 E、F 在函数 y= （x＞0）的图象上， ∴设 E（x1， ），F（x2， ），x1＞0，x2＞0， ∴S1= ，S2= ， ∵S1+S2=2，∴ =2，∴k=2；（2）∵四边形 OABC 为矩形，OA=2，OC=4， 设 ， ， ∴BE=4﹣ ，BF=2﹣ ，∴S△BEF= ﹣k+4， ∵S△OCF= ，S 矩形 OABC=2×4=8， ∴S 四边形 OAEF=S 矩形 OABC﹣S△BEF﹣S△OCF= +4， =﹣ +5， ∴当 k=4 时，S 四边形 OAEF=5，∴AE=2． 当点 E 运动到 AB 的中点时，四边形 OAEF 的面积最大，最大值是 5． 22. 解：（1）1500÷24%=6250 6250×7.6%=475 所以经济适用房的套数有 475 套； 如图所示： （2）老王被摇中的概率为： ； （3）设 2017～2020 这两年新开工廉租房的套数的年平均增 长率为 x 因为 2017 年廉租房共有 6250×8%=500（套） 所以依题意，得 500（1+x）2=720…（7 分） 解这个方程得，x1=0.2，x2=﹣2.2（不合题意，舍去） 答：这两年新开工廉租房的套数的年平均增长率为 20%． 23.（1） 1 1( 1) nn n n   （2）证明：∵ 1 1( 1) nn n n    ( 1)( 1) 1n n n n    2 1 1n n n   2n n  n ∴ 1 1( 1) nn n n n     24 （1）解：连 BD，如图，∵在梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC=90°，DG⊥BC，∴四边形 ABGD 为矩形， ∴AD=BG=3，AB=DG，又∵BH⊥DC，CH=DH，∴△BDC 为等腰三角形，∴BD=BG+GC=3+2=5， 在 Rt△ABD 中，AB= = =4，∴DG=4， 在 Rt△DGC 中，∴DC= = =2 ．（2）证明：∵CF=AD+BF， ∴CF=BG+BF，∴FG+GC=BF+FG+BF，即 GC=2BF， ∵EF∥DC，∴∠BFE=∠GCD，∴Rt△BEF∽Rt△GDC，∴EF：DC=BF：GC=1：2，∴EF= DC． 25. 解：（1）作 OH⊥AC 于 H，则 AH= AC=4， 在 Rt△AOH 中，AH=4，tanA=tan∠BDC= ，∴OH=3，∴半径 OA= =5； （2）∵AB⊥CD，∴E 为 CD 的中点，即 CE=DE，在 Rt△AEC 中，AC=8，tanA= ，设 CE=3k，则 AE=4k， 根据勾股定理得：AC2=CE2+AE2，即 9k2+16k2=64，解得：k= ， 则 CE=DE= ，AE= ，∵BF 为圆 O 的切线， ∴FB⊥AB，又∵AE⊥CD，∴CE∥FB， ∴ = ，即 = ， 解得：AF= ， 则 CF=AF﹣AC= ． 26. 解：请结合小捷的思路回答： 由函数图象可知，a＜﹣2 时，关于 x 的不等式 x2﹣2x﹣1﹣a＞0 恒成立． 故答案为：a＜﹣2． 解决问题：将原方程转化为 x2﹣4x+3=a， 设 y1=x2﹣4x+3，y2=a，记函数 y1 在 0＜x＜4 内的图象为 G，于是原问题转化为 y2=a 与 G 有两个交 点时 a 的取值范围，结合图象可知，a 的取值范围是：﹣1＜a＜3． 27.（1） ∴ 抛物线对称轴为 ∴ （2）易得 点关于对称轴的对称点为 则直线 经过 、 .没直线的解析式为 则 ，解得 ∴直线的解析式为 （3）∵抛物线对称轴为 抛物体在 这一段与在 这一段关于对称轴对称 结合图象可以观察到抛物线在 这一段位于直线 的上方 在 这一段位于直线 的下方； ∴抛物线与直线 的交点横坐标为 ； 当 时， 则抛物线过点（-1，4） 当 时， ， ∴抛物线解析为 . 28. 解：（1）∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD，∴△AOB 为直角三角形，且 OA= AC=1，OB= BD= ． 在 Rt△AOB 中，由勾股定理得： AB= = =2．（2）①△AEF 是等边三角形．理由如下： ∵由（1）知，菱形边长为 2，AC=2，∴△ABC 与△ACD 均为等边三角形， ∴∠BAC=∠BAE+∠CAE=60°，又∵∠EAF=∠CAF+∠CAE=60°，∴∠BAE=∠CAF． 在△ABE 与△ACF 中，∵ ，∴△ABE≌△ACF（ASA）， ∴AE=AF，∴△AEF 是等腰三角形， 又∵∠EAF=60°，∴△AEF 是等边三角形．②BC=2，E 为四等分点，且 BE＞CE，∴CE= ，BE= ． 由①知△ABE≌△ACF，∴CF=BE= ． ∵∠EAC+∠AEG+∠EGA=∠GFC+∠FCG+∠CGF=180°（三角形内角和定理）， ∠AEG=∠FCG=60°（等边三角形内角）， ∠EGA=∠CGF（对顶角） ∴∠EAC=∠GFC．在△CAE 与△CFG 中，∵ ，∴△CAE∽△CFG， ∴ ，即 ，解得：CG= ． 29. 解：（1） ， ． （2）分别过点 作 轴的垂线，垂足分别为 ， 分别过 作 于 ， 于点 ． 在平行四边形 中， ，又 ， ． ． 又 ， ． ， ． 设 ．由 ，得 ． 由 ，得 ． ．（3） ， ．或 ， ． （4）若 为平行四边形的对角线，由（3）可得 ．要使 在抛物线上， 则有 ，即 ． （舍去）， ．此时 ． 若 为平行四边形的对角线，由（3）可得 ，同理可得 ，此时 ． 若 为平行四边形的对角线，由（3）可得 ，同理可得 ，此时 ． 综上所述，当 时，抛物线上存在点 ，使得以 为顶点的四边形是平行四边形． 符合条件的点有 ， ， ．