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第二十七章检测卷
时间：120分钟 满分：120分
题号
一
二
三
总分
得分
一、选择题(本大题有16个小题，共42分.1～10小题各3分；11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．观察下列每组图形，相似图形是( )
2．下列各组线段(单位：cm)中，成比例线段的是( )
A．1，2，3，4 B．1，2，2，4
C．3，5，9，13 D．1，2，2，3
3．如果两个相似多边形面积的比为1∶5，则它们的相似比为( )
A．1∶25 B．1∶5 C．1∶2.5 D．1∶
4．如图，在6×6的正方形网格中，连接两格点A，B，线段AB与网格线的交点为M，N，则AM∶MN∶NB的值为( )
A．3∶5∶4 B．1∶3∶2 C．1∶4∶2 D．3∶6∶5
第4题图 第5题图 第7题图 第8题图
5．如图，在△ABC中，点D在边AB上，BD＝2AD，DE∥BC交AC于点E.若线段DE＝5，则线段BC的长为( )
A．7.5 B．10 C．15 D．20
6．下列四组图形中，一定相似的图形是( )
A．各有一个角是30°的两个等腰三角形
B．有两边之比都等于2∶3的两个三角形
C．各有一个角是120°的两个等腰三角形
D．各有一个角是直角的两个三角形
7．如图所示为农村一古老的捣碎器，已知支撑柱AB的高为0.3米，踏板DE的长为1米，支撑点A到踏脚D的距离为0.6米，原来捣头点E着地，现在踏脚D着地，则捣头点E上升了( )
A．0.5米 B．0.6米 C．0.3米 D．0.9米
8．如图，线段AB两个端点的坐标分别为A(4，4)，B(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为( )
A．(2，2)，(3，2) B．(2，4)，(3，1)
C．(2，2)，(3，1) D．(3，1)，(2，2)
9．如图，为测量河流的宽度，在河对岸选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D
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，使得AB⊥BC，CD⊥BC，AD与BC交于点E.若测得BE＝15m，EC＝9m，CD＝16m，则河的宽度AB为( )
A．35m B.m C.m D.m
第9题图 第11题图 第12题图
10．如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是( )
11．如图，四边形ABCD是平行四边形，点E在BA的延长线上，点F在BC的延长线上，连接EF，分别交AD，CD于点G，H，则下列结论错误的是( )
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
12．将一个三角形和一个矩形按照如图所示的方式扩大，使它们的对应边之间的距离均为1，得到新的三角形和矩形，下列说法正确的是( )
A．新三角形与原三角形相似
B．新矩形与原矩形相似
C．新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都相似
D．新三角形与原三角形、新矩形与原矩形都不相似
13．如图，已知在等腰△ABC中，顶角∠A＝36°，BD是∠ABC的平分线，则的值为( )
A. B. C．1 D.
第13题图 第14题图 第15题图
14．如图，在Rt△ABC中，AB＝BC，∠B＝90°，AC＝10.四边形BDEF是△ABC的内接正方形(点D，E，F在三角形的边上)，则此正方形的面积是( )
A．5 B．10 C．25 D．50
15．如图，AB是半圆O的直径，点C是的中点，点D是的中点，连接AC，BD交于点E，则等于( )
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A. B. C．1－ D.
16．如图，CB＝CA，∠ACB＝90°，点D在边BC上(与B，C不重合)，四边形ADEF为正方形，过点F作FG⊥CA，交CA的延长线于点G，连接FB，交DE于点Q，给出以下结论：①AC＝FG；②S△FAB∶S四边形CBFG＝1∶2；③∠ABC＝∠ABF；④AD2＝FQ·AC，其中正确结论的个数是( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
第16题图 第17题图
二、填空题(本大题有3个小题，共10分.17～18小题各3分；19小题有2个空，每空2分．把答案写在题中横线上)
17．如图，在△ABC中，D是AB边上的一点，连接CD，请添加一个适当的条件______________，使△ABC∽△ACD(只填一个即可)．
18．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？”歌谣的意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五，同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸(提示：仗和尺是古代的长度单位，1丈＝10尺，1尺＝10寸)，可以求出竹竿的长为________尺．
19．如图所示，n＋1个直角边长为1的等腰直角三角形，斜边在同一直线上，设△B2D1C1的面积为S1，△B3D2C2的面积为S2……△Bn＋1DnCn的面积为Sn，则S1＝________，Sn＝________(用含n的式子表示)．
三、解答题(本大题有7个小题，共68分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
20．(8分)如图，在△ABC中，DE∥BC，DE＝2，BC＝3.求的值．
21．(9分)如图，在△ABC中，AB＝AC＝8，BC＝6，点D为BC上一点，BD＝2.过点D作射线DE交AC于点E，使∠ADE＝∠B.求线段EC的长度．
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22．(9分)如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，给出了格点三角形ABC(顶点是网格线的交点)．
(1)将△ABC向上平移3个单位长度得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
(2)请画一个格点三角形A2B2C2，使△A2B2C2∽△ABC，且相似比不为1.
23．(9分)如图，△ABC中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF.
(1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长．
24．(10分)一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立身高AM与其影子长AE正好相等，接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得AB
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＝1.25m.已知李明直立时的身高为1.75m，求路灯CD的高．
25．(11分)如图，矩形OABC的顶点A，C分别在x轴和y轴上，点B的坐标为(2，3)，双曲线y＝(x>0)的图象经过BC上的点D与AB交于点E，连接DE，若E是AB的中点．
(1)求点D的坐标；
(2)点F是OC边上一点，若△FBC和△DEB相似，求点F的坐标．
26．(12分)如图①所示，在△ABC中，点O是AC上一点，过点O的直线与AB，BC的延长线分别相交于点M，N.
【问题引入】
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(1)若点O是AC的中点，＝，求的值；
温馨提示：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.
【探索研究】
(2)若点O是AC上任意一点(不与A，C重合)，求证：··＝1；
【拓展应用】
(3)如图②所示，点P是△ABC内任意一点，射线AP，BP，CP分别交BC，AC，AB于点D，E，F.若＝，＝，求的值．
参考答案与解析
1．D 2.B 3.D 4.B 5.C 6.C 7.A
8．C 9.C 10.C 11.C 12.A 13.B
14．C 解析：∵在Rt△ABC中，AB＝BC，AC＝10，∴2AB2＝200，∴AB＝BC
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＝10.设EF＝x，则AF＝10－x.∵EF∥BC，∴△AFE∽△ABC，∴＝，即＝，∴x＝5，∴EF＝5，∴此正方形的面积为5×5＝25.
15．D 解析：连接AD，CD，作AF∥CD交BE于F，∴∠ADB＝90°.∵点D是的中点，∴可设AD＝CD＝1，根据平行线的性质得∠AFD＝∠CDF＝45°，∴△ADF是等腰直角三角形，则AF＝.∵∠AFD＝∠FAB＋∠ABF＝45°，又∠ABF＝22.5°，∴∠FAB＝∠ABF，∴BF＝AF＝，∴BD＝＋1.∵∠DAC＝∠ABD，∠ADB＝∠ADB，∴△ADE∽△BDA，∴＝，即DE＝＝－1，∴BE＝2，∴＝.
16．D 解析：∵四边形ADEF为正方形，∴∠FAD＝90°，AD＝AF＝EF，∴∠CAD＋∠FAG＝90°.∵FG⊥CA，∴∠G＝90°，∴∠FAG＋∠AFG＝90°，∴∠CAD＝∠AFG.在△FGA和△ACD中，∴△FGA≌△ACD(AAS)，∴AC＝FG，∴①正确；∵BC＝AC，∴FG＝BC.∵∠ACB＝90°，FG⊥CA，∴FG∥BC，∴四边形CBFG是矩形，∴∠CBF＝90°，S△FAB＝FB·BC＝S四边形CBFG，∴②正确；∵CA＝CB，∠C＝∠CBF＝90°，∴∠ABC＝∠ABF＝45°，∴③正确；∵∠FQE＝∠DQB＝∠ADC，∠E＝∠C＝90°，∴△ACD∽△FEQ，∴AC∶AD＝FE∶FQ，∴FE·AD＝AD2＝FQ·AC，∴④正确．
17．∠B＝∠ACD(或∠ADC＝∠ACB或AC2＝AD·AB)
18．45
19. 解析：∵n＋1个边长为1的等腰直角三角形有一条边在同一直线上，∴易知△B1C1B2，△B2C2B3，△B3C3B4，…，△BnCnBn＋1均为直角边长为1的等腰直角三角形．连接B1B2，显然B3，B4，B5，…，Bn都在直线B1B2上，且B1B2∥AC1，∴△B1B2D1∽△C1AD1，∴B1D1∶D1C1＝B1B2∶AC1＝1∶1，∴S1＝S△B1C1B2＝×＝；同理△B2B3D2∽△C2AD2，B2D2∶D2C2＝B2B3∶AC2＝1∶2，∴S2＝×＝，∴S3＝×＝，S4＝×＝，…，Sn＝.
20．解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，(4分)∴＝＝.(8分)
21．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C.(1分)∵∠ADC＝∠B＋∠BAD＝∠ADE＋∠CDE，∠B＝∠ADE，∴∠BAD＝∠CDE，(3分)∴△ABD∽△DCE.(4分)∴＝.(5分)∵AB＝8，BC＝6，BD＝2，∴DC＝BC－BD＝4，∴＝，∴EC＝1.(9分)
22．解：(1)作出△A1B1C1，如图所示．(4分)
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(2)作出△A2B2C2，如图所示．本题是开放题，答案不唯一，只要作出的△A2B2C2满足条件即可．(9分)
23．解：(1)AB是⊙O的切线．(1分)理由：在△ACE中，∠ACE＝90°，∴∠CAE＋∠AEC＝90°，又∵∠CAE＝∠ADF，∠AEC＝∠FDC，∴∠ADC＝∠ADF＋∠FDC＝∠CAE＋∠AEC＝90°，∴AD⊥CD，∴AB是⊙O的切线．(4分)
(2)连接CF.∵CD是直径，∴∠CFD＝90°，∴∠DCF＋∠FDC＝90°.∵∠CAE＋∠AEC＝90°，∠AEC＝∠FDC，∴∠PCF＝∠PAC.又∠CPF＝∠APC，∴△PCF∽△PAC，∴＝，∴PC2＝PF·PA.(7分)设PF＝a，则PC＝2a，∴4a2＝a(a＋5)，∴a＝或a＝0(舍去)，∴PC＝2a＝.(9分)
24．解：由题意知AE＝AM＝BN＝1.75m.∵CD⊥AC，AM⊥AC，∴CD∥AM，∴△DCE∽△MAE.∵AE＝AM，AM⊥EC，∴△MAE为等腰直角三角形，∴△DCE为等腰直角三角形．设CD＝xm，则EC＝xm，AC＝EC－EA＝(x－1.75)m.(4分)∵CD⊥EC，BN⊥EC，∴BN∥CD，∴△ABN∽△ACD，(6分)∴＝，即＝，解得x＝6.125.(9分)
答：路灯CD的高为6.125m.(10分)
25．解：(1)∵四边形OABC为矩形，E为AB的中点，点B的坐标为(2，3)，∴点E的坐标为.∵点E在反比例函数上，∴k＝3，∴反比例函数的解析式为y＝.(3分)∵四边形OABC为矩形，∴点D与点B的纵坐标相同，将y＝3代入y＝可得x＝1，∴点D的坐标为(1，3)．(5分)
(2)由(1)可得BC＝2，CD＝1，∴BD＝BC－CD＝1.∵E为AB的中点，∴BE＝.(6分)若△FBC∽△DEB，则＝，即＝，∴CF＝，∴OF＝CO－CF＝3－＝，∴点F的坐标为；(8分)若△FBC∽△EDB，则＝，即＝，∴FC＝3.∵CO＝3，∴点F与点O重合，∴点F的坐标为(0，0)．(10分)综上所述，点F的坐标为或(0，0)．(11分)
26．(1)解：过点A作MN的平行线交BN的延长线于点G.∵ON∥AG，∴＝.∵O是
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AC的中点，∴AO＝CO，∴NG＝CN.(2分)∵MN∥AG，∴＝，∴＝＝＝.(4分)
(2)证明：由(1)可知＝，＝，∴··＝··＝1.(7分)
(3)解：在△ABD中，点P是AD上一点，过点P的直线与AB，BD的延长线分别相交于点F，C.由(2)可得··＝1.(9分)在△ACD中，过点P的直线与AC，CD的延长线分别相交于点E，B.由(2)可得··＝1.(9分)∴··＝··，∴＝·＝×＝.(12分)
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