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模块综合检测
(时间120分钟 满分150分)
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是( )
A．相离 B．相切
C．相交 D．不确定
解析：选C 将直线ax－y＋2a＝0化为点斜式得y＝a(x＋2)，知该直线过定点(－2,0)．又(－2)2＋020)上一动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2y＝0的两条切线，A，B是切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为( )
A．3 B.
C．2 D．2
解析：选D 圆C：x2＋y2－2y＝0的圆心为(0,1)，半径r＝1，由圆的性质知S四边形PACB＝2S△PBC，∵四边形PACB的最小面积是2，∴S△PBC的最小值为1＝rd(d是切线长)，∴d最小值＝2，|PC|最小值＝＝.∵圆心到直线的距离就是|PC|的最小值，
∴|PC|最小值＝＝，∵k>0，∴k＝2，故选D.
二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)
9．若圆C的半径为1，其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称，则圆C的标准方程为________．
解析：因为点(1,0)关于直线y＝x对称的点的坐标为(0,1)，所以所求圆的圆心为(0,1)，半径为1，于是圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.
答案：x2＋(y－1)2＝1
10．已知l1，l2是分别经过点A(1,1)，B(0，－1)的两条平行直线，则当l1，l2间的距离最大时，直线l1的方程是________．
解析：当直线AB与l1，l2均垂直时，l1，l2间的距离最大．∵A(1,1)，B(0，－1)，∴kAB＝＝2，∴kl1＝－.
∴直线l1的方程为y－1＝－(x－1)，
即x＋2y－3＝0.
答案：x＋2y－3＝0
11．已知在直三棱柱ABCA1B1C1中，∠ACB＝90°，AA1＝2，AC＝BC＝1，则异面直线A1B与AC所成角的余弦值是________．
解析：由于AC∥A1C1，所以∠BA1C1或其补角就是异面直线A1B与AC所成的角．连接BC1，在△BA1C1中，A1B＝，A1C1＝1，BC1＝，所以A1B2＝A1
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C＋BC，即∠BC1A1＝90°，所以cos∠BA1C1＝.
答案：
12．已知点P(a，b)关于直线l的对称点为P′(b＋1，a－1)，则圆C：x2＋y2－6x－2y＝0关于直线l对称的圆C′的方程为________；圆C与圆C′的公共弦的长度为________．
解析：将圆C的方程化为标准形式为(x－3)2＋(y－1)2＝10，由已知结论可得圆心C(3,1)关于直线l的对称点C′为(2,2)，故所求圆的方程为(x－2)2＋(y－2)2＝10.将两圆方程相减消去平方项可得公共弦所在直线的方程为x－y－1＝0，故弦长为2＝.
答案：(x－2)2＋(y－2)2＝10
13．已知直线l1：ax＋y－1＝0，直线l2：x－y－3＝0，若直线l1的倾斜角为，则a＝________；若l1⊥l2，则a＝________；若l1∥l2，则两平行直线间的距离为________．
解析：由直线l1的倾斜角为，得－a＝tan＝1，
∴a＝－1.
由l1⊥l2，得－a×1＝－1，∴a＝1.
由l1∥l2，得a＝－1，∴直线l1的方程为x－y＋1＝0，故两平行直线间的距离d＝＝2.
答案：－1 1 2
14.如图，已知圆C与x轴相切于点T(1，0)，与y轴正半轴交于两点A，B(B在A的上方)，且|AB|＝2.
(1)圆C的标准方程为________；
(2)圆C在点B处的切线在x轴上的截距为________．
解析：(1)记AB的中点为D，在Rt△BDC中，易得圆C的半径r＝BC＝.因此圆心C的坐标为
(1，)，所以圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－)2＝2.
(2)因为点B的坐标为(0，＋1)，C的坐标为(1，)，所以直线BC的斜率为－1，所以所求切线的斜率为1.由点斜式得切线方程为y＝x＋＋1，故切线在x轴上的截距为－－1.
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答案：(1)(x－1)2＋(y－)2＝2 (2)－－1
15．在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中，一个四面体的顶点坐标分别是(2,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，(2,2,2)．给出编号为①②③④的四个图，则该四面体的正视图、侧视图和俯视图分别为(填写编号)________，此四面体的体积为________．
解析：由三视图可知，该几何体的正视图是一个正方形，其顶点坐标分别是(0,0,0)，(0,2,0)，(0,0,2)，(0,2,2)且一条对角线(左下右上)可见，另一条对角线(左上右下)不可见，故正视图为③，同理，侧视图和俯视图都为②.此四面体体积为V＝2×2×2－4××2××2×2＝.
答案：③②②
三、解答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
16．(本小题满分14分)如图，AF，DE分别是⊙O，⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，|AD|＝8，BC是⊙O的直径，|AB|＝|AC|＝6，OE∥AD，试建立适当的空间直角坐标系，求出点A，B，C，D，E，F的坐标．
解：因为AD与两圆所在的平面均垂直，OE∥AD，
所以OE⊥平面ABC.
又AF⊂平面ABC，BC⊂平面ABC，
所以OE⊥AF，OE⊥BC.
又BC是圆O的直径，
所以|OB|＝|OC|.
又|AB|＝|AC|＝6，
所以OA⊥BC，|BC|＝6.
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所以|OA|＝|OB|＝|OC|＝|OF|＝3.
如图所示，以O为坐标原点，分别以OB，OF，OE所在的直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，
则A(0，－3，0)，B(3，0,0)，C(－3，0,0)，D(0，－3，8)，E(0,0,8)，F(0,3，0)．
17.(本小题满分15分)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，E，F分别是A1C1，BC的中点．
(1)求证：平面ABE⊥平面B1BCC1；
(2)求证：C1F∥平面ABE.
证明：(1)由题设知，B1B⊥AB，
又AB⊥BC，B1B∩BC＝B，所以AB⊥平面B1BCC1.
因为AB⊂平面ABE，
所以平面ABE⊥平面B1BCC1.
(2)取AB中点G，连接EG，FG.
因为E，F分别是A1C1，BC的中点，
所以FG∥AC，且FG＝AC.
因为AC∥A1C1，且AC＝A1C1，
所以FG∥EC1，且FG＝EC1，
所以四边形FGEC1为平行四边形，
所以C1F∥EG.
又因为EG⊂平面ABE，所以C1F∥平面ABE.
18．(本小题满分15分)光线通过点A(2,3)，在直线l：x＋y＋1＝0上反射，反射光线经过点B(1,1)，试求入射光线和反射光线所在直线的方程．
解：设点A(2,3)关于直线l的对称点为A′(x0，y0)，则解得A′(－4，－3)．
由于反射光线所在直线经过点A′(－4，－3)和B(1,1)，所以反射光线所在直线的方程为y－1＝(x－1)·，即4x－5y＋1＝0.
解方程组得反射点P.
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所以入射光线所在直线的方程为
y－3＝(x－2)·，即5x－4y＋2＝0.
19．(本小题满分15分)已知四棱锥PABCD如图所示，AB∥CD，BC⊥CD，AB＝BC＝2，CD＝PD＝1，△PAB为等边三角形．
(1)证明：PD⊥平面PAB；
(2)求二面角PCBA的余弦值．
解：(1)证明：如图，连接BD.
易知在梯形ABCD中，AD＝，而PD＝1，AP＝2，
所以PD2＋AP2＝AD2，
则PD⊥PA，
同理PD⊥PB，
又PA∩PB＝P，故PD⊥平面PAB.
(2)如图，取AB的中点M，连接PM，DM，作PN⊥DM，垂足为N，再作NH⊥BC，垂足为H，连接PH.
由(1)，得AB⊥平面DPM，则
平面ABCD⊥平面DPM，所以PN⊥平面ABCD，所以PN⊥BC，PN⊥NH.
又NH⊥BC，PN∩NH＝N，所以BC⊥平面NPH，
即∠NHP是二面角PCBA的平面角．
∴在Rt△HNP中，PN＝，NH＝1，
则PH＝，cos∠NHP＝＝，
即二面角PCBA的余弦值为.
20．(本小题满分15分)已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0的两条切线，A，B是切点．
(1)求四边形PACB面积的最小值；
(2)直线上是否存在点P，使得∠APB＝60°？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)如图，连接PC，由P点在直线3x＋4y＋8＝0上，可设P点坐标为.
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因为圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，
所以S四边形PACB＝2S△PAC＝2××|AP|×|AC|＝|AP|.
因为|AP|2＝|PC|2－|CA|2＝|PC|2－1，所以当|PC|2最小时，|AP|最小．因为|PC|2＝(1－x)2＋2＝2＋9.所以当x＝－时，
|PC|＝9.所以|AP|min＝＝2，即四边形PACB面积的最小值为2.
(2)假设直线上存在点P满足题意．
因为∠APB＝60°，|AC|＝1，所以|PC|＝2.
设P(x，y)，则
整理可得25x2＋40x＋96＝0，
所以Δ＝402－4×25×96
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