必修2《点、直线、平面之间的位置关系》阶段质量检测试卷(二)含解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 www.ks5u.com 阶段质量检测（二） 点、直线、平面之间的位置关系 ‎(时间120分钟　满分150分)‎ 一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1．(广东高考)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(　　)‎ A．l与l1，l2都不相交 B．l与l1，l2都相交 C．l至多与l1，l2中的一条相交 D．l至少与l1，l2中的一条相交 解析：选D　由直线l1和l2是异面直线可知l1与l2不平行，故l1，l2中至少有一条与l相交．‎ ‎2．已知PA⊥矩形ABCD，则下列结论中不正确的是(　　)‎ A．PB⊥BC　　　　　　　 B．PD⊥CD C．PD⊥BD D．PA⊥BD 解析：选C　如图所示，由于PA⊥平面ABCD，且底面ABCD为矩形，所以PA⊥BD(即D正确)，BC⊥PA，BC⊥BA，而PA∩AB＝A，所以BC⊥平面PAB，所以BC⊥PB(即A正确)．同理PD⊥CD(即B正确)，PD与BD不垂直，所以C不正确．‎ ‎3.如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D为A1B1的中点，AB＝BC＝BB1＝2，AC＝2，则异面直线BD与AC所成的角为(　　)‎ A．30°　　　　　　　　　 B．45°‎ C．60° D．90°‎ 解析：选C　如图，取B1C1的中点E，连接BE，DE，则AC∥A1C1∥DE，则∠BDE即为异面直线BD与AC所成的角．由条件可知BD＝DE＝EB＝，所以∠BDE＝60°，故选C.‎ ‎4.如图所示，ABCDA1B1C1D1是长方体，O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则下列结论正确的是(　　)‎ A．A，M，O三点共线 B．A，M，O，A1不共面 C．A，M，C，O不共面 D．B，B1，O，M共面 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 解析：选A　连接A1C1，AC，则A1C1∥AC，所以A，C，C1，A1四点共面，所以A1C⊂面ACC1A1.因为M∈A1C，所以M∈面ACC1A1，又M∈面AB1D1，所以M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理O在面ACC1A1与面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线，故选A.‎ ‎5．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则(　　)‎ A．α∥β且l∥α B．α⊥β且l⊥β C．α与β相交，且交线垂直于l D．α与β相交，且交线平行于l 解析：选D　由于m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则平面α与平面β必相交，但未必垂直，且交线垂直于直线m，n，又直线l满足l⊥m，l⊥n，则交线平行于l，故选D.‎ ‎6．已知直线l⊥平面α，直线m⊂平面β，有以下四个命题：‎ ‎①α∥β⇒l⊥m；②α⊥β⇒l∥m；‎ ‎③l∥m⇒α⊥β；④l⊥m⇒α∥β.‎ 其中正确的两个命题是(　　)‎ A．①② B．③④‎ C．②④ D．①③‎ 解析：选D　若α∥β，l⊥α，则l⊥β，又m⊂β，所以l⊥m，故①正确；若α⊥β，l⊥α，m⊂β，则l与m可能异面，所以②不正确；若l∥m，l⊥α，则m⊥α，又m⊂β，则α⊥β，所以③正确；若l⊥α，l⊥m，m⊂β，则α与β可能相交，故④不正确．综上可知，选D.‎ ‎7.如图所示，P为矩形ABCD所在平面外一点，矩形对角线交点为O，M为PB的中点，给出五个结论：①OM∥PD；②OM∥平面PCD；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA；⑤OM∥平面PBC.其中正确的个数是(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 解析：选C　显然OM∥PD，又PD⊂平面PCD，PD⊂平面PDA.∴OM∥平面PCD，OM∥平面PDA.‎ ‎∴①②③正确．‎ ‎8．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A，B，C，D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为(　　)‎ A．90° B．60°‎ C．45° D．30°‎ 解析：选C　当三棱锥DABC体积最大时，平面DAC⊥平面ABC，取AC的中点O，则△‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 DBO是等腰直角三角形，即∠DBO＝45°.‎ 二、填空题(本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．请把正确答案填在题中的横线上)‎ ‎9．在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线有________条．‎ 解析：如图，在A1D1上任取一点P，过点P与直线EF作一个平面α，因为CD与平面α不平行，所以它们相交，设α∩CD＝Q，连接PQ，则PQ与EF必然相交．由点P的任意性，知有无数条直线与A1D1，EF，CD都相交．‎ 答案：无数 ‎10．已知a，b表示直线，α，β，γ表示平面．‎ ‎①若α∩β＝a，b⊂α，a⊥b，则α⊥β；②若a⊂α，a垂直于β内任意一条直线，则α⊥β；③若α⊥β，α∩β＝a，α∩γ＝b，‎ 则a⊥b；④若a⊥α，b⊥β，a∥b，则α∥β.‎ 上述命题中，正确命题的序号是________．‎ 解析：对①可举反例，如图，需b⊥β才能推出α⊥β；对③可举反例说明，当γ不与α，β的交线垂直时，即可知a，b不垂直；根据面面、线面垂直的定义与判定知②④正确．‎ 答案：②④‎ ‎11.如图所示，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a，线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.‎ 解析：A∉a，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG，所以＝.又＝，所以＝.于是EG＝＝＝.‎ 答案： ‎12.如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，侧面对角线AB1，BC1上分别有一点E，F，且B1E＝C1F，则直线EF与平面ABCD的位置关系是________，EF与BB1的位置关系是________．‎ 解析：过点E作EG∥AB，交BB1于点G，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 连接GF，则＝.∵B1E＝C1F，B1A＝C1B，∴＝，∴FG∥B1C1∥BC.又EG∩FG＝G，AB∩BC＝B，∴平面EFG∥平面ABCD.又EF⊂平面EFG，∴EF∥平面ABCD.‎ 又B1B⊥AB，B1B⊥BC，AB∩BC＝B，‎ ‎∴B1B⊥平面ABCD，∴B1B⊥平面EFG.‎ 又∵EF⊂平面EFG，‎ ‎∴B1B⊥EF.‎ 答案：平行　垂直 ‎13.如图，四面体PABC中，PA＝PB＝，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，则PC＝________，PC与平面ABC所成角的余弦值为________．‎ 解析：取AB的中点E，连接PE.‎ ‎∵PA＝PB，‎ ‎∴PE⊥AB.‎ 又平面PAB⊥平面ABC，‎ ‎∴PE⊥平面ABC.连接CE，∴PE⊥CE，∠PCE为直线PC与平面ABC所成的角．‎ ‎∠ABC＝90°，AC＝8，BC＝6，‎ ‎∴AB＝2，PE＝＝，‎ CE＝＝，‎ PC＝＝7，cos∠PCE＝.‎ 答案：7　 ‎14.在四棱锥PABCD中，PA⊥平面ABCD，AD∥BC，BC＝2AD＝4，AB＝CD＝，则BD与平面PAC的位置关系是________； 若二面角APCD的大小为60°，则AP的值为________．‎ 解析：设O为AC与BD的交点，作DE⊥BC于点E.由四边形ABCD是等腰梯形易证得∠DBC＝∠BCA，‎ 由已知条件易得CE＝＝1，则DE＝＝3，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 所以BE＝DE，从而得∠DBC＝∠BDE＝∠BCA＝45°，‎ 所以∠BOC＝90°，即AC⊥BD.‎ 由PA⊥平面ABCD得PA⊥BD，又PA∩AC＝A，‎ 所以BD⊥平面PAC.‎ 作OH⊥PC于点H，连接DH.又DO⊥平面PAC，‎ 故DO⊥PC.又DO∩OH＝O，‎ 所以PC⊥平面DOH，从而得PC⊥DH.故∠DHO是二面角APCD的平面角，‎ 所以∠DHO＝60°.‎ 易知DO＝，AC＝3，因为在Rt△DOH中，tan∠OHD＝tan 60°＝，所以OH＝.‎ 在Rt△COD中，OC＝＝2.‎ 在Rt△PAC中，＝.设PA＝x，‎ 可得＝，‎ 解得x＝，即AP＝.‎ 答案：垂直　 ‎15．如图1所示的等边△ABC的边长为2a，CD是AB边上的高，E，F分别是AC，BC边的中点．现将△ABC沿CD折叠，使平面ADC⊥平面BDC，如图2所示，则直线AB与平面DEF的位置关系是________，四面体ADBC的外接球体积与四棱锥DABFE的体积之比为________．‎ 解析：∵E，F分别为AC，BC的中点，∴AB∥EF，‎ ‎∵AB⊄平面DEF，EF⊂平面DEF，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AB∥平面DEF.‎ 以DA，DB，DC为棱补成一个长方体，则四面体ADBC的外接球即为长方体的外接球．‎ 设球的半径为R，则a2＋a2＋3a2＝(2R)2，∴R2＝a2，‎ 于是球的体积V1＝πR3＝πa3.‎ 又VABDC＝S△BDC·AD＝a3，‎ VEDFC＝S△DFC·AD＝a3，‎ ‎∴＝＝.‎ 答案：平行　 三、简答题(本大题共5小题，共74分，解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎16．(本小题满分14分)在空间四边形ABCD中，E，H分别是AB，AD的中点，F，G分别是BC，CD上的点，且＝＝.求证：‎ ‎(1)E，F，G，H四点共面；‎ ‎(2)三条直线EF，GH，AC交于一点．‎ 证明：(1)在△ABD中，E，H分别是AB和AD的中点，‎ ‎∴EH綊BD.‎ 在△CBD中，＝＝，∴FG綊BD.‎ ‎∴EH∥FG.‎ ‎∴E，F，G，H四点共面．‎ ‎(2)由(1)可知，EH∥FG，且EH≠FG，所以它们的延长线必相交于一点，设为点P.‎ ‎∵AC是平面ABC和平面ADC的交线，EF⊂平面ABC，GH⊂平面ADC，平面ABC∩平面ADC＝P，∴由公理3知P∈AC.‎ ‎∴三条直线EF，GH，AC交于一点．‎ ‎17.(本小题满分15分)如图，三角形PDC所在的平面与长方形ABCD所在的平面垂直，PD＝PC.‎ ‎(1)证明：BC∥平面PDA；‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎(2)证明：BC⊥PD.‎ 证明：(1)∵在长方形ABCD中，BC∥AD，BC⊄平面PDA，AD⊂平面PDA，‎ ‎∴BC∥平面PDA.‎ ‎(2)取CD的中点H，连接PH.‎ ‎∵PD＝PC，‎ ‎∴PH⊥CD.‎ 又平面PDC⊥平面ABCD，平面PDC∩平面ABCD＝CD，PH⊂平面PDC，‎ ‎∴PH⊥平面ABCD.‎ 又BC⊂平面ABCD，‎ ‎∴PH⊥BC.‎ ‎∵在长方形ABCD中，BC⊥CD，PH∩CD＝H，‎ ‎∴BC⊥平面PDC.‎ 又PD⊂平面PDC，‎ ‎∴BC⊥PD.‎ ‎18.(本小题满分15分)如图，平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面是菱形，∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD＝60°.‎ ‎(1)求证：C1C⊥BD.‎ ‎(2)当的值为多少时，可使A1C⊥平面C1BD?‎ 解：(1)证明：连接A1C1，AC，设AC和BD交于点O，连接C1O.‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，BC＝CD.‎ 又∵∠BCC1＝∠DCC1，C1C是公共边，‎ ‎∴△C1BC≌△C1DC，∴C1B＝C1D.‎ ‎∵DO＝OB，∴C1O⊥BD.又∵AC∩C1O＝O，‎ ‎∴BD⊥平面ACC1A1.又∵C1C⊂平面ACC1A1，‎ ‎∴C1C⊥BD.‎ ‎(2)由(1)知BD⊥平面AC1.‎ ‎∵A1C⊂平面ACC1A1，∴BD⊥A1C.‎ 当＝1时，平行六面体的六个面是全等的菱形．‎ 同理可证BC1⊥A1C.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又∵BD∩BC1＝B，∴A1C⊥平面C1BD.‎ ‎19.(本小题满分15分)如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点，连接ED，EC，EB和DB.‎ ‎(1)求证：平面EDB⊥平面EBC；‎ ‎(2)求二面角EDBC的正切值．‎ 解：(1)证明：在长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝2，BB1＝BC＝1，E为D1C1的中点．所以△DD1E为等腰直角三角形，∠D1ED＝45°.‎ 同理∠C1EC＝45°.所以∠DEC＝90°，‎ 即DE⊥EC.‎ 在长方体ABCDA1B1C1D1中，BC⊥平面D1DCC1，‎ 又DE⊂平面D1DCC1，‎ 所以BC⊥DE.又EC∩BC＝C，‎ 所以DE⊥平面EBC.‎ 因为DE⊂平面DEB，所以平面DEB⊥平面EBC.‎ ‎(2)如图所示，过E在平面D1DCC1中作EO⊥DC于O.在长方体ABCDA1B1C1D1中，因为平面ABCD⊥平面D1DCC1，所以EO⊥面ABCD.过O在平面DBC中作OF⊥DB于F，连接EF，所以EF⊥BD.∠EFO为二面角EDBC的平面角．利用平面几何知识可得OF＝，‎ 又OE＝1，所以tan∠EFO＝.‎ ‎20．(本小题满分15分)(浙江高考)如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，A1A＝4，A1在底面ABC的射影为BC的中点，D是B1C1的中点．‎ ‎(1)证明：A1D⊥平面A1BC；‎ ‎(2)求直线A1B和平面BB1C1C所成的角的正弦值．‎ 解：(1)证明：设E为BC的中点，连接AE，A1E，DE，‎ 由题意得A1E⊥平面ABC，所以A1E⊥AE.‎ 因为AB＝AC，所以AE⊥BC.‎ 又因为A1E，BC⊂平面A1BC，A1E∩BC＝E，‎ 故AE⊥平面A1BC.‎ 由D，E分别为B1C1，BC的中点，得DE∥B1B且DE＝B1B，‎ 从而DE∥A1A且DE＝A1A，‎ 所以四边形AA1DE为平行四边形．‎ 于是A1D∥AE.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 又因为AE⊥平面A1BC，所以A1D⊥平面A1BC.‎ ‎(2)作A1F⊥DE，垂足为F，连接BF.‎ 因为A1E⊥平面ABC，所以BC⊥A1E.‎ 因为BC⊥AE，AE∩A1E＝E，‎ 所以BC⊥平面AA1DE.所以BC⊥A1F.‎ 又因为DE∩BC＝E，所以A1F⊥平面BB1C1C.‎ 所以∠A1BF为直线A1B和平面BB1C1C所成的角．‎ 由AB＝AC＝2，∠CAB＝90°，得EA＝EB＝.‎ 由A1E⊥平面ABC，得A1A＝A1B＝4，A1E＝.‎ 由DE＝BB1＝4，DA1＝EA＝，∠DA1E＝90°，得A1F＝.所以sin∠A1BF＝.‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费