2017-2018学年高一数学人教A版必修2试题：2.3.1直线与平面垂直的判定 Word版含解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 第二章 2.3 ‎‎2.3.1‎ A级　基础巩固 一、选择题 ‎1．一条直线和平面所成角为θ，那么θ的取值范围是(　B　)‎ A．(0°，90°)　　 B．[0°，90°] C．(0°，90°]　　 D．[0°，180°]‎ ‎[解析]　由线面角的定义知B正确．‎ ‎2．在正方体ABCD－A1B‎1C1D1的六个面中，与AA1垂直的平面的个数是(　B　)‎ A．1　　 B．‎2　‎　 C．3　　 D．6‎ ‎[解析]　仅有平面AC和平面A‎1C1与直线AA1垂直．‎ ‎3．如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，则图中共有直角三角形的个数为(　D　)‎ A．1　　 B．‎2　‎　 C．3　　 D．4‎ ‎[解析]　∵PA⊥平面ABCD，‎ ‎∴PA⊥AB，PA⊥AD，PA⊥BC，PA⊥CD.‎ ⇒BC⊥平面PAB⇒BC⊥PB 由⇒CD⊥平面PAD⇒CD⊥PD.‎ ‎∴△PAB，△PAD，△PBC，△PCD都是直角三角形．‎ ‎4．直线a与平面α所成的角为50°，直线b∥a，则直线b与平面α所成的角等于(　B　)‎ A．40°　　 B．50°　　 C．90°　　 D．150°‎ ‎[解析]　根据两条平行直线和同一平面所成的角相等，知b与α所成的角也是50°.‎ ‎5．给出下列三个命题：‎ ‎①一条直线垂直于一个平面内的三条直线，则这条直线和这个平面垂直；‎ ‎②一条直线与一个平面内的任何直线所成的角相等，则这条直线和这个平面垂直；‎ ‎③一条直线在平面内的射影是一点，则这条直线和这个平面垂直．‎ 其中正确的个数是(　C　)‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 A．0　　 B．‎1　‎　 C．2　　 D．3‎ ‎[解析]　①中三条直线不一定存在两条直线相交，因此直线不一定与平面垂直；②中直线与平面所成角必为直角，因此直线与平面垂直；③根据射影定义知正确．故选C．‎ ‎6.如图，已知六棱锥P－ABCDEF的底面是正六边形，PA⊥平面ABC，PA＝2AB，则下列结论正确的是(　D　)‎ A．PB⊥AD B．平面PAB⊥平面PBC C．直线BC∥平面PAE D．直线PD与平面ABC所成的角为45°‎ ‎[解析]　设AB长为1，由PA＝2AB得PA＝2，‎ 又ABCDEF是正六边形，所以AD长也为2，‎ 又PA⊥平面ABC，所以PA⊥AD，‎ 所以△PAD为直角三角形．‎ ‎∵PA＝AD，∴∠PDA＝45°，‎ ‎∴PD与平面ABC所成的角为45°，故选D．‎ 二、填空题 ‎7．已知△ABC所在平面外一点P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影是△ABC的__外心__．(填“重心”、“外心”、“内心”、“垂心”) ‎[解析]　P到△ABC三顶点的距离都相等，则点P在平面ABC内的射影到△ABC三顶点的距离都相等，所以是外心．‎ ‎8．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α所成的角为30°，则斜边上的中线CM与α所成的角为__45°__. ‎[解析]　如图，设C在平面α内的射影为O点，‎ 连结AO，MO，‎ 则∠CAO＝30°，∠CMO就是CM与α所成的角．‎ 设AC＝BC＝1，则AB＝，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴CM＝，CO＝.‎ ‎∴sinCMO＝＝，‎ ‎∴∠CMO＝45°.‎ 三、解答题 ‎9.如图，在三棱锥A－BCD中，CA＝CB，DA＝DB.作BE⊥CD，E为垂足，作AH⊥BE于H.求证：AH⊥平面BCD. ‎[解析]　取AB的中点F，连接CF、DF.‎ ‎∵CA＝CB，DA＝DB，∴CF⊥AB，DF⊥AB.‎ ‎∵CF∩DF＝F，∴AB⊥平面CDF.‎ ‎∵CD⊂平面CDF，∴AB⊥CD.‎ 又CD⊥BE，AB∩BE＝B，∴CD⊥平面ABE.‎ ‎∵AH⊂平面ABE，∴CD⊥AH.‎ ‎∵AH⊥BE，BE∩CD＝E，∴AH⊥平面BCD.‎ ‎10.如图在三棱锥P－ABC中，PA＝PB＝PC＝13，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，M为AC的中点. ‎(1)求证：PM⊥平面ABC；‎ ‎(2)求直线BP与平面ABC所成的角的正切值．‎ ‎[解析]　(1)∵PA＝PC，M为AC的中点，‎ ‎∴PM⊥AC.①‎ 又∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴AM＝MC＝MB＝AC＝5.‎ 在△PMB中，PB＝13，MB＝5.‎ PM＝＝＝12.‎ ‎∴PB2＝MB2＋PM2，‎ ‎∴PM⊥MB.②‎ 由①②可知PM⊥平面ABC.‎ ‎(2)解：∵PM⊥平面ABC，‎ ‎∴MB为BP在平面ABC内的射影，‎ ‎∴∠PBM为BP与底面ABC所成的角．‎ 在Rt△PMB中tan∠PBM＝＝.‎ B级　素养提升 一、选择题 ‎1．如图，在正方体ABCD－A1B‎1C1D1中，E为A‎1C1上的点，则下列直线中一定与CE垂直的是(　B　)‎ A．AC B．BD C．A1D1 D．A‎1A ‎[解析]　∵BD⊥AC，BD⊥A‎1A，AC∩A‎1A＝A，∴BD⊥平面ACC‎1A1.‎ 又∵CE⊂平面ACC‎1A1，∴BD⊥CE.‎ ‎2．空间四边形ABCD的四边相等，则它的两对角线AC、BD的关系是(　C　)‎ A．垂直且相交　　 B．相交但不一定垂直 C．垂直但不相交　　 D．不垂直也不相交 ‎[解析]　取BD中点O，‎ 连接AO、CO，‎ 则BD⊥AO，BD⊥CO，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎∴BD⊥面AOC，BD⊥AC，‎ 又BD、AC异面，∴选C．‎ ‎3．如图，三条相交于点P的线段PA，PB，PC两两垂直，P在平面ABC外，PH⊥平面ABC于H，则垂足H是△ABC的(　C　)‎ A．外心　　 B．内心　　 C．垂心　　 D．重心 ‎[解析]　∵PC⊥PA，PC⊥PB，‎ PA∩PB＝P，∴PC⊥平面PAB.‎ 又∵AB⊂平面PAB，∴AB⊥PC.‎ 又∵AB⊥PH，PH∩PC＝P，∴AB⊥平面PCH.‎ 又∵CH⊂平面PCH，∴AB⊥CH.‎ 同理BC⊥AH，AC⊥BH.‎ ‎∴H为△ABC的垂心．‎ ‎4．如图，ABCD－A1B‎1C1D1为正方体，下面结论错误的是(　D　)‎ A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60°‎ ‎[解析]　∵AD∥BC，∴∠BCB1为异面直线AD与CB1所成的角．又△B1BC为等腰直角三角形，故∠BCB1＝45°.即异面直线AD与CB1所成的角为45°.‎ 二、填空题 ‎5．已知PA垂直于平行四边形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，则平行四边形ABCD一定是__菱形__. ‎[解析]　由于PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，‎ 所以PA⊥BD.‎ 又PC⊥BD，且PC⊂平面PAC，PA⊂平面PAC，PC∩PA＝P，所以BD⊥平面PAC.‎ 又AC⊂平面PAC，所以BD⊥AC.‎ 又四边形ABCD是平行四边形，所以四边形ABCD是菱形．‎ ‎6．如图所示，已知在矩形ABCD中，AB＝1，BC＝a(a>0)，PA⊥平面AC，且PA＝1，‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 若BC边上存在点Q，使得PQ⊥QD，则a的取值范围是__[2，＋∞)__. ‎[解析]　因为PA⊥平面AC，QD⊂平面AC，∴PA⊥QD.‎ 又∵PQ⊥QD，PA∩PQ＝P，‎ ‎∴QD⊥平面PAQ，所以AQ⊥QD.‎ ‎①当0