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概率02
解答题(本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
1．某校为全面推进新课程改革，在高一年级开设了研究性学习课程，某班学生在一次研究活动课程中，一个小组进行一种验证性实验，已知该种实验每次实验成功的概率为
(1）求该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率。
(2）如果在若干次实验中累计有两次成功就停止实验，否则将继续下次实验，但实验的总次数不超过5次，求该小组所做实验的次数的概率分布列和数学期望。
【答案】 (Ⅰ）记“该小组做了5次实验至少有2次成功”为事件A，“只成功一次”为事件A1，“一次都不成功”为事件A2，则：
P(A)＝1－P(A1＋A2)＝1－P(A1)－P(A2)＝．
故该小组做了5次这种实验至少有2次成功的概率为．
(Ⅱ）的可能取值为2，3，4，5.
则；，，
．
∴的分布列为：
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∴Eξ=．
2．某公园有甲、乙两个相邻景点，原拟定甲景点内有2个A班的同学和2个B班的同学；乙景点内有2个A班同学和3个B班同学，后由于某种原因甲乙两景点各有一个同学交换景点观光．
(Ⅰ）求甲景点恰有2个A班同学的概率；
(Ⅱ）求甲景点A班同学数的分布列及期望．
【答案】（Ⅰ）甲乙两景点各有一个同学交换后，甲景点恰有2个班同学有下面几种情况：
①互换的是A班同学，此时甲景点恰好有2个A班同学的事件记为A1，
则：
②互换的是B班同学，此时甲景点恰有2个A班同学的事件记为A2，
则：
故甲景点恰有2个A班同学的概率
(Ⅱ）设甲景点内A班同学数为， 则：
；；
因而的分布列为：
∴ E=×1+×2+×3=.
3．为了让更多的人参与2010年在上海举办的“世博会”，上海某旅游公司面向国内外发行总量为2000万张的旅游优惠卡，其中向境外人士发行的是世博金卡（简称金卡），向境内人士发行的是世博银卡（简称银卡）。现有一个由36名游客组成的旅游团到上海参观旅游，其中
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是境外游客，其余是境内游客。在境外游客中有持金卡，在境内游客中有持银卡．
(I）在该团中随机采访3名游客，求恰有1人持金卡且持银卡者少于2人的概率；
(II）在该团的境内游客中随机采访3名游客，设其中持银卡人数为随机变量，求的分布列及数学期望．
【答案】（I）由题意得，境外游客有27人，其中9人持金卡；境内游客有9人，其中6人持银卡．设事件为“采访该团3人中，恰有1人持金卡且持银卡者少于2人”，
事件为“采访该团3人中，1人持金卡，0人持银卡”，
事件为“采访该团3人中，1人持金卡，1人持银卡”。 ．
(II）的可能取值为0，1，2，3
, ．
，，．
所以的分布列为
所以，
4．某公司在产品上市前需对产品做检验，公司将一批产品发给商家时，商家按合同规定也需随机抽取一定数量的产品做检验，以决定是否接收这批产品.
(I)若公司库房中的每件产品合格的概率为0.8,从中任意取出4
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件进行检验.求至少有1件是合格品的概率；
( II)若该公司发给商家20件产品，其中有3件不合格，按合同规定该商家从中任取2件，都进行检验，只有2件都合格时才收这批产品，否则拒收.求该商家可能检验出不合格产品数的分布列及期望，并求该商家拒收这批产品的概率.
【答案】（Ⅰ）（文、理）记“公司任取4件产品检验，其中至少有1件是合格品”为事件．
有
(文）（Ⅱ）记“商家任取2件产品检验，其中不合格产品数为件” 为事件，
，，
∴商家拒收这批产品的概率．
故商家拒收这批产品的概率为．
(Ⅱ）可能的取值为
，，
记“商家任取2件产品检验，都合格”为事件B，则商家拒收这批产品的概率
，所以商家拒收这批产品的概率为
5．某车间在三天内，每天生产件某产品，其中第一天、第二天、第三天分别生产出了件、件、件次品，质检部门每天要从生产的件产品中随机抽取
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件进行检测，若发现其中有次品，则当天的产品不能通过．
(1）求第一天的产品通过检测的概率；
(2）记随机变量为三天中产品通过检测的天数，求的分布列及数学期望．
【答案】（1）设概率为， 依题意可得
．
(2）依题意知， 可取0，1，2，3 记第天的产品通过检测的概率为，
则，
∴，，
，
的分布列为：
．
6．有两个不透明的箱子，每个箱子都装有4个完全相同的小球，球上分别标有数字1、2、3、4．
(1）甲从其中一个箱子中摸出一个球，乙从另一个箱子摸出一个球，谁摸出的球上标的数字大谁就获胜（若数字相同则为平局），求甲获胜的概率；
(2）摸球方法与（1）同，若规定：两人摸到的球上所标数字相同甲获胜，所标数字不相同则乙获胜，这样规定公平吗？
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【答案】（1）用（表示甲摸到的数字，表示乙摸到的数字）表示甲、乙各摸一球构成的基本事件，则基本事件有：、、、、、、、、、、、、、、、，共16个；
设：甲获胜的的事件为A，则事件A包含的基本事件有：、、、、、，共有6个；则
(2）设：甲获胜的的事件为B，乙获胜的的事件为C;事件B所包含的基本事件有：、、、，共有4个；则
，所以这样规定不公平.
答：（1）甲获胜的概率为；（2）这样规定不公平.
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