由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
专题1.2 常用逻辑用语
【考纲解读】
内 容
要 求
5年统计
A
B
C
常用逻辑用语
命题的四种形式
√
无
充分条件、必要条件、充分必要条件
√
简单的逻辑联接词
√
全称量词与存在量词
√
【直击考点】
题组一 常识题
1． 已知a≠0，命题“若a>0，则ax－2>0的解集为”的否命题是____________________．
【答案】若a≤0，则ax－2>0的解集为或∅
【解析】 根据原命题与否命题的关系写出否命题．
2． 若{x|y＝2x}∩{x|y＝ax－1}＝∅是真命题，则a的值是________.
【答案】2
【解析】依题意，直线y＝2x与y＝ax－1平行，所以a＝2.
3． 已知集合A＝{1，2，a}，B＝{－1，0，1，2}，则“a＝－1”是“A⊆B”的________条件．
【答案】充分不必要
题组二 常错题
4．命题“若a2＋b2＝0，a，b∈R，则a＝b＝0”的逆否命题是________________________________．
【答案】若a≠0或b≠0，a，b∈R，则a2＋b2≠0
【解析】 “若p，则q”的逆否命题为“若非q，则非p”，又a＝b＝0的实质为a＝0且b
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
＝0，故其否定为a≠0或b≠0.
5．已知命题“对任意a，b∈R，如果ab>0，则a>0”，则它的否命题是__________________________．
【答案】对任意a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0
【解析】 因为ab>0，a>0的否定分别为ab≤0，a≤0，所以原命题的否命题为“对任意a，b∈R，如果ab≤0，则a≤0”．
6．若命题“ax2－2ax－3>0不成立”是真命题，则实数a的取值范围是________________．
【答案】
【解析】 由题意可知，ax2－2ax－3≤0恒成立．当a＝0时，－3≤0成立；
当a≠0时，得解得－3≤a0，则方程x2＋x－m＝0有实根”的否命题是________________________________________________________________________．
【答案】若m≤0，则方程x2＋x－m＝0没有实根
9．命题“若函数f(x)＝logax (a＞0，a≠1)在其定义域内是减函数，则loga2＜0”的逆否命题是________________________________________________________________________．
【答案】若loga2≥0(a＞0，a≠1)，则函数f(x)＝logax在其定义域内不是减函数
【解析】 “若函数f(x)＝logax(a＞0，a≠1)在定义域内是减函数，则loga2＜0”的条件的否定是“在定义域内不是减函数”，结论的否定是“loga2≥0”．
10．设A，B是两个集合，则“A∪B＝B”是“A⊆B”的________条件．
【答案】充要
【解析】 由题意，A∪B＝B可得A⊆B，反之，A⊆B可得A∪B＝B，故“A∪B＝B”是“A⊆B”的充要条件．
【知识清单】
1．四种命题
命题
表述形式
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
原命题
若p，则q
逆命题
若q，则p
否命题
若p，则q
逆否命题
若q，则p
2．四种命题间的逆否关系
3．四种命题的真假关系
(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；
(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系．
4．充分条件与必要条件
1．如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件．
2．如果pq，qp，则p是q的充要条件．
3. 充分条件与必要条件的两个特征
(1)对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“pq”“qp”；
(2)传递性：若p是q的充分(必要)条件，q是r的充分(必要)条件，则p是r的充分(必要)条件．
5．简单的逻辑联接词
1. 命题p∧q，p∨q，的真假判断：
p∧q中p、q有一假为假，p∨q有一真为真，p与非p必定是一真一假．
2．正确理解逻辑联结词“或”、“且”、“非”的含义是关键，解题时应根据组成各个复合命题的语句中所出现的逻辑联结词进行命题结构与真假的判断．
6. 全称量词与存在性量词
1．含有一个量词的命题的否定
命题
命题的否定
x∈M，p(x)
，
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
，
，
2.一些常用正面叙述的词语及它的否定词语列表如下：
正面词语
等于(＝)
大于(>)
小于(0，则x2＋x－m＝0有实根”的逆否命题；④“若x－3是有理数，则x是无理数”的逆否命题，正确的是 .
【答案】①③④
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
【解析】 ①中否命题为“若x2＋y2＝0，则x＝y＝0”，正确；③中，Δ＝1＋4m，当m>0时，Δ>0，原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确．
【思想方法】
1．由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．
2. 对于命题真假的判定，关键是分清命题的条件与结论，只有将条件与结论分清，再结合所涉及的知识才能正确地判断命题的真假．
【温馨提醒】“否命题”是对原命题“若p，则q”的条件和结论分别加以否定而得到的命题，它既否定其条件，又否定其结论.
考点2 充分条件与必要条件
【2-1】【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】已知命题，命题，若是的必要不充分条件，则实数的取值范围是 ▲ ．
【答案】
【解析】，，因为是的必要不充分条件，所以是的真子集，即
【2-2】【泰州中学2016-2017年度第一学期第一次质量检测文科】“三个数，，成等比数列”是“”的 条件．（填“充分不必要、充要、必要不充分、既不充分也不必要”）
【答案】充分不必要
【思想方法】
1．判断“p是q的什么条件”的实质是对命题“若p，则q”与“若q，则p”的真假的确定．
2. 判断充分条件，必要条件，充要条件的方法：
(1)利用定义判断
①若p⇒q，则p是q的充分条件；
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
②若q⇒p，则p是q的必要条件；
③若p⇒q且q⇒p，则p是q的充要条件；
④若p⇒q且qp，则p是q的充分不必要条件；
⑤若pq且q⇒p，则p是q的必要不充分条件；
⑥若pq且qp，则p是q的既不充分也不必要条件
(2) 利用集合判断
记条件p、q对应的集合分别为A、B，则：
若A⊆B，则p是q的充分条件；
若，则p是q的充分不必要条件；
若A⊇B，则p是q的必要条件；
若，则p是q的必要不充分条件；
若A＝B，则p是q的充要条件；
若AB，且A⊉B，则p是q的既不充分也不必要条件．
【温馨提醒】注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“pq”而后者是“qp”．.
考点3 简单的逻辑联接词
【3-1】已知命题，命题，则在命题，，，中真命题是 .
【答案】和
【3-2】如果命题为假命题，则命题、的真假为 .
【答案】、中至少有一个为真.
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
【解析】因为命题为假命题，则为真命题，所以、中至少有一个为真.
【思想方法】
1. “或、且、非”三个逻辑联结词，对应着集合运算中的“并、交、补”，因此，常常借助集合的“并、交、补”的意义来解答由“或、且、非”三个联结词构成的命题问题．
2. 一个复合命题，从字面上看不一定有“或”“且”“非”字样，这样需要我们掌握一些词语、符号或式子与逻辑联结词“或”“且”“非”的关系，如“或者”“x＝±1”“≤”的含义为“或”；“并且”“”的含义为“且”；“不是”“”的含义为“非”．
【温馨提醒】p为对一个命题p全盘否定，读作“非p”或“p的否定”． p与的并集应是全集，
考点4 全称量词与存在性量词
【4-1】【江苏省南通中学2017届高三上学期期中考试】命题“”的否定是 ▲ ．
【答案】
【解析】命题“”的否定是
【4-2】【江苏省南通市如东县、徐州市丰县2017届高三10月联考】命题“，”的否定是 ▲ ．
【答案】，
【思想方法】
1. 要判断一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判断全称命题为假命题，只要能举出集合M中的一个，使得不成立即可．
2．要判断一个特称命题为真命题，只要在限定集合M中，至少能找到一个使成立即可；否则，这一特称命题就是假命题．
3．注意命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义加上量词，再进行否定．
4．要判断“”命题的真假，可以直接判断，也可以判断“p”的真假，p与的真假相反．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
【温馨提醒】全称命题(特称命题)的否定与命题的否定有着一定的区别，全称命题(特称命题)的否定是其全称量词改为存在量词(或存在量词改为全称量词)，并把结论否定，而命题的否定则直接否定结论即可．从命题形式上看，全称命题的否定是特称命题，特称命题的否定是全称命题．
【易错试题常警惕】
1.充分条件、必要条件的判断问题，一般是必须从正、反两个方面进行推理论证，缺一不可，再根据充分条件、必要条件的定义进行判断．
如：设，，且，则“”是“”的________条件．
【分析】因为，所以．由得，即．所以“”是“”的充分条件．反之，因为，，且，所以．因为，即，所以．所以“”是“”的必要条件．
【易错点】忽略题中“”这一条件而致误．
2.全称命题、特称命题的否定问题，一定要否定量词和结论．
如：已知命题，总有，则为________．
【分析】“”的否定为“”，“ ”的否定为“”，
所以命题的否定为“，使得”．
【易错点】全称命题、特称命题的否定容易出现只否定结论，没有否定量词而致误．
由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费
微信/支付宝扫码支付