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专题2.1 函数的概念及其表示方法
【考纲解读】
内 容
要 求
备注
A
B
C
函数概念与基本初等函数Ⅰ
函数的概念
√
1．了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域．
2．了解映射的概念，在实际情景中会根据不同的需要选择恰当的方法(如图像法、列表法、解析法)表示函数．
3．了解简单的分段函数，并能简单应用．
【直击考点】
题组一 常识题
1．[教材改编] 以下属于函数的有________．(填序号)
①y＝±；②y2＝x－1；③y＝＋；
④y＝x2－2(x∈N)．
【答案】④
2．[教材改编] 已知函数f(x)＝若f[f(e)]＝2a，则实数a＝________．
【答案】－1
【解析】因为f(e)＝ln e－2＝－1，所以f[f(e)]＝f(－1)＝－1＋a＝2a，解得a＝－1.
3．[教材改编] 函数f(x)＝的定义域是________．
【答案】(－∞，－3)∪(－3，8]
【解析】要使函数有意义，则需8－x≥0且x＋3≠0，即x≤8且x≠－3，所以其定义域是(－∞，－3)∪(－3，8]．
题组二 常错题
4．已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f
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不是函数的是________．
①f：x→y＝x; ②f：x→y＝x；
③f：x→y＝x; ④f：x→y＝.
【答案】③
【解析】 ③中当x＝4时，y＝×4＝∉Q.
5．设函数f(x)＝ 则使得f(x)≥1的自变量x的取值范围为______________．
【答案】x≤－2或0≤x≤10
6．已知f()＝x－1，则f(x)＝________．
【答案】f(x)＝x2－1(x≥0)
【解析】令t＝，则t≥0，x＝t2，所以f(t)＝t2－1(t≥0)，即f(x)＝x2－1(x≥0)．
7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y＝x2，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个．
【答案】9
【解析】设函数y＝x2的定义域为D，其值域为{1，4}，易知D的所有情形的个数，即是同族函数的个数．D的所有情形为{－1，2}，{－1，－2}，{1，2}，{1，－2}，{－1，1，2}，{－1，1，－2}，{－1，2，－2}，{1，2，－2}，{－1，1，2，－2}，共9个，故答案为9.
题组三 常考题
8． 函数f(x)＝lg(x2＋x－6)的定义域是________．
【答案】{x|x2}
【解析】要使函数有意义，则需x2＋x－6>0，解得x2.
9． 函数f(x)＝则f(－6)＋f(2)＝________.
【答案】9
【解析】 f(－6)＝1＋log3(3＋6)＝1＋log39＝1＋2＝3，f(2)＝22＋2＝6，
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所以f(－6)＋f(2)＝3＋6＝9.
【知识清单】
1．函数映射的概念
函数
映射
两集合
A，B
设A，B是两个非空数集
设A，B是两个非空集合
对应
关系
f：A→B
如果按照某个对应关系f，对于集合A中的任何一个数x，在集合B中都存在唯一确定的数f(x)与之对应
如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应
名称
称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数
称对应f：A→B为从集合A到集合B的一个映射
记法
y＝f(x)，x∈A
对应f：A→B是一个映射
2．函数的有关概念
(1)函数的定义域、值域：
在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．显然，值域是集合B的子集．
(2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．
(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有：解析法、图像法、列表法．
4．分段函数
(1)若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
(2)分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数．
【考点深度剖析】
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本节是函数的起始部分，以考查函数的概念、三要素及表示法为主，同时函数的图像、分段函数的考查是热点，另外，实际问题中的建模能力偶有考查．特别是函数的表达式及图像，仍是2018年高考考查的重要内容．
【重点难点突破】
考点1 函数与映射的概念
【1-1】 有以下判断：
(1)f(x)＝与g(x)＝表示同一个函数．
(2)f(x)＝x2－2x＋1与g(t)＝t2－2t＋1是同一函数．
(3)若f(x)＝|x－1|－|x|，则f＝0.
其中正确判断的序号是________．
【答案】(2)．
【1-2】 给出四个命题：①函数是其定义域到值域的映射；②f(x)＝＋是函数；③函数y＝2x(x∈N)的图象是一条直线；④f(x)＝与g(x)＝x是同一个函数．其中正确的有________．
【答案】①
【解析】由函数的定义知①正确．②中满足f(x)＝＋的x不存在，所以②不正确．③中y＝2x(x∈N)的图象是一条直线上的一群孤立的点，所以③不正确．④中f(x)与g(x)的定义域不同，∴④也不正确．
【1-3】 (1)(2017·南通调研)函数f(x)＝ln ＋的定义域为________．
(2)若函数y＝f(x)的定义域是[1,2 017]，则函数g(x)＝的定义域是____________．
【答案】(1)(1，＋∞) (2){x|0≤x≤2 016，且x≠1}
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规律方法
【思想方法】
一、①判断一个对应是否为映射，关键看是否满足“集合A中元素的任意性，集合B中元素的唯一性”．
②判断一个对应f：A→B是否为函数，一看是否为映射；二看A，B是否为非空数集．若是函数，则A是定义域，而值域是B的子集．
③函数的三要素中，若定义域和对应关系相同，则值域一定相同．因此判断两个函数是否相同，只需判断定义域、对应关系是否分别相同．
二、求函数定义域的类型及求法
(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解．
(2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解．
(3)若已知f(x)的定义域为[a，b]，则f(g(x))的定义域可由a≤g(x)≤b求出；若已知f(g(x))的定义域为[a，b]，则f(x)的定义域为g(x)在x∈[a，b]时的值域．
【温馨提醒】不要混淆“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若不是数集，则这个映射便不是函数．
考点2 求函数的解析式
【2-1】 已知f(x)是二次函数，且f(0)＝0，f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，求f(x)．
【答案】f(x)＝x2＋x(x∈R)．
【解析】设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
由f(0)＝0，知c＝0，f(x)＝ax2＋bx，
又由f(x＋1)＝f(x)＋x＋1，
得a(x＋1)2＋b(x＋1)＝ax2＋bx＋x＋1，
即ax2＋(2a＋b)x＋a＋b＝ax2＋(b＋1)x＋1，
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所以
解得a＝b＝.
所以f(x)＝x2＋x(x∈R)．
【2-1】 已知f(＋1)＝x＋2，求f(x)的解析式．
【答案】f(x)＝x2－1(x≥1)．
【2-2】 定义在(－1,1)内的函数f(x)满足2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)，求函数f(x)的解析式．
【答案】f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．
【解析】当x∈(－1,1)时，有
2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)． ①
以－x代x，得
2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)． ②
由①②消去f(－x)，得
f(x)＝lg(x＋1)＋lg(1－x)，x∈(－1,1)．
【思想方法】
1.求函数解析式的四种常用方法
(1)配凑法：由已知条件f(g(x))＝F(x)，可将F(x)改写成关于g(x)的表达式，然后以x替代g(x)，便得f(x)的表达式；
(2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)可用待定系数法；
(3)换元法：已知复合函数f(g(x))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围；
(4)解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程求出f(x)．
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2.分段函数“两种”题型的求解策略
(1)根据分段函数解析式求函数值
首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围
应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
【温馨提醒】解决函数的一些问题时，要注意“定义域优先”的原则．当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
考点三 分段函数
【3－1】设函数f(x)＝则f(－2)＋f(log212)＝________.
【答案】9
【解析】根据分段函数的意义，f(－2)＝1＋log2(2＋2)＝1＋2＝3.又log212>1
∴f(log212)＝2(log212－1)＝2log26＝6，
因此f(－2)＋f(log212)＝3＋6＝9.
【3－2】 (1)设函数f(x)＝若f＝4，则b＝________.
(2)设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
【答案】(1) (2)(－∞，8]
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【思想方法】
(1)根据分段函数解析式求函数值．首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．
(2)已知函数值或函数的取值范围求自变量的值或范围时，应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．
【温馨提醒】当分段函数的自变量范围不确定时，应分类讨论．
【易错试题常警惕】
1． 已知f(＋1)＝x＋2，则f(x)＝________.
【答案】x2－1(x≥1)
【解析】令x＋1＝t，则x＝(t－1)2(t≥1)，代入原式得
f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－1，
所以f(x)＝x2－1(x≥1)．
点睛：复合函数f[g(x)]的定义域也是解析式中x的范围，不要和f(x)的定义域相混．
2．易混“函数”与“映射”的概念：函数是特殊的映射，映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A，B若不是数集，则这个映射便不是函数．
3．设函数f(x)＝则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．
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【答案】 (－∞，8]
点睛：分段函数无论分成几段，都是一个函数，求分段函数的函数值，如果自变量的范围不确定，要分类讨论．
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