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专题3.3 导数的综合应用
1.(2017·南通调研)已知函数f(x)=a+ln x(a∈R).
(1)求f(x)的单调区间;
(2)求f(x)的零点个数.
解 (1)由函数f(x)=a+ln x∈(a∈R)得f′(x)=(ln x+2).
令f′(x)=0,得x=e-2,列表如下:
x
(0,e-2)
e-2
(e-2,+∞)
f′(x)
-
0
+
f(x)
极小值
因此,函数f(x)的单调递增区间为(e-2,+∞),单调递减区间为(0,e-2).
所以当a≤0时,函数f(x)零点个数为1.
②当00,且x0≠0.
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由题意,得f′(x0)=3x-a=0,即x=,
进而f(x0)=x-ax0-b=-x0-b.
又f(-2x0)=-8x+2ax0-b=-x0+2ax0-b=
-x0-b=f(x0),且-2x0≠x0,
由题意及(1)知,存在唯一实数x1满足f(x1)=f(x0),且x1≠x0,因此x1=-2x0,所以x1+2x0=0.
3.(2017·南京、盐城模拟)已知函数f(x)=在x=0处的切线方程为y=x.
(1)求实数a的值;
(2)若对任意的x∈(0,2),都有f(x)