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第六章《图形的相似》（探索三角形相似的条件）
一．选择题
1．如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
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A． B． C． D．
5．如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
6．如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（ ）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
A． B． C．或 D．或
二．填空题（共6小题）
7．如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
8．如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点
P的坐标是 ．
9．如图，在▱ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BP∥DF，且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有 对．
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10．将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O旋转，B′C′、A′B′与边AC分别交于点M、N，当CM= 时，△OMN与△BCO相似．
11．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当 时，△AED与△ABC相似．
12．在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB上移动．连接AE和DF交于点P，点Q为AD的中点．若以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，则运动时间t为 秒．
三．解答题（共16小题）
13．如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
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15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．
（1）求证：AB=BG；
（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．
16．在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．
17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．
18．将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，请写出其中的一对，并给予说明其为什么相似？
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
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（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．
20．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高．求证：△DCE∽△ACB．
21．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
22．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
23．如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．
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（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有 对；
（2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由．
24．如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°．观察图形：
（1）△ABE与△ECF是否相似？并证明你的结论．
（2）若E为BC的中点，连结AF，图中有哪些相似三角形？并说明理由．
25．如图，在Rt△ACB中，AC=8m，BC=6m，点P、Q同时由C、B两点出发分别沿CA、BC向点A、C匀速移动，它们的速度分别是2米/秒、1米/秒，问几秒后△PCQ与△ACB相似？
26．如图，巳知 AB丄BD，CD丄BD．
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在．请说明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为頂点的三角形相似？并求BP的长．
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27．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6厘米，OB=8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？
28．如图①，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，设旋转的角度是β．
（1）如图②，当β= °（用含α的代数式表示）时，点B′恰好落在CA的延长线上；
（2）如图③，连接BB′、CC′，CC′的延长线交斜边AB于点E，交BB′于点F．请写出图中两对相似三角形 ， （不含全等三角形），并选一对证明．
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参考答案与解析
一．选择题
1．（2016•河北）如图，△ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是（ ）
A． B． C． D．
【分析】根据相似三角形的判定定理对各选项进行逐一判定即可．
【解答】解：A、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
B、阴影部分的三角形与原三角形有两个角相等，故两三角形相似，故本选项错误；
C、两三角形的对应边不成比例，故两三角形不相似，故本选项正确；
D、两三角形对应边成比例且夹角相等，故两三角形相似，故本选项错误．
故选C．
【点评】本题考查的是相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．
2．（2016•盐城）如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有（ ）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【分析】直接利用平行四边形的性质得出AD∥BC，AB∥DC，再结合相似三角形的判定方法得出答案．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
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∴AD∥BC，AB∥DC，
∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC，
∴与△AEF相似的三角形有2个．
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定以及平行四边形的性质，正确掌握相似三角形的判定方法是解题关键．
3．如图，∠A=∠B=90°，AB=7，AD=2，BC=3，在边AB上取点P，使得△PAD与△PBC相似，则这样的P点共有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，分两种情况考虑：三角形PDA与三角形CPB相似；三角形PDA与三角形PCB相似，分别求出x的值，即可确定出P的个数．
【解答】解：设AP=x，则有PB=AB﹣AP=7﹣x，
当△PDA∽△CPB时， =，即=，
解得：x=1或x=6，
当△PDA∽△PCB时， =，即=，
解得：x=，
则这样的点P共有3个，
故选C．
【点评】此题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定方法是解本题的关键．
4．如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（ ）
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A． B． C． D．
【分析】设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．
【解答】解：∵小正方形的边长均为1
∴△ABC三边分别为2，，
同理：A中各边的长分别为：，3，；
B中各边长分别为：，1，；
C中各边长分别为：1、2，；
D中各边长分别为：2，，；
∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为
故选B．
【点评】此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．
5．如图所示，在▱ABCD中，BE交AC，CD于G，F，交AD的延长线于E，则图中的相似三角形有（ ）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【分析】根据相似三角形的判定来找出共有多少对相似的三角形．
【解答】解：AD∥BC，可知△AGE∽△CGB，△DFE∽△CFB，△ABC∽△CDA，
AB∥CD，可知△ABG∽△CFG，△ABE∽△CFB，△EDF∽△EAB．
共有6对，
故选D．
【点评】本题主要考查对于相似三角形的判定的掌握以及能够不遗漏的找出全部的相似三角形．
6．如图，正方形ABCD的边长为2，BE=CE，MN=1，线段MN的两端点在CD、AD上滑动，当DM为（ ）时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
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A． B． C．或 D．或
【分析】根据AE=EB，△ABE中，AB=2BE，所以在△MNC中，分CM与AB和BE是对应边两种情况利用相似三角形对应边成比例求出CM与CN的关系，然后利用勾股定理列式计算即可．
【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，
∵BE=CE，
∴AB=2BE，
又∵△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似，
∴①DM与AB是对应边时，DM=2DN
∴DM2+DN2=MN2=1
∴DM2+DM2=1，
解得DM=；
②DM与BE是对应边时，DM=DN，
∴DM2+DN2=MN2=1，
即DM2+4DM2=1，
解得DM=．
∴DM为或时，△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似．
故选C．
【点评】本题考查相似三角形的判定与性质、正方形的性质．解决本题特别要考虑到①DM与AB是对应边时，②当DM与BE是对应边时这两种情况．
二．填空题
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7．（2016•娄底）如图，已知∠A=∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是 AB∥DE ．（只需写一个条件，不添加辅助线和字母）
【分析】根据有两组角对应相等的两个三角形相似进行添加条件．
【解答】解：∵∠A=∠D，
∴当∠B=∠DEF时，△ABC∽△DEF，
∵AB∥DE时，∠B=∠DEF，
∴添加AB∥DE时，使△ABC∽△DEF．
故答案为AB∥DE．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．
8．如图，平面直角坐标系中，已知点A（4，0）和点B（0，3），点C是AB的中点，点P在折线AOB上，直线CP截△AOB，所得的三角形与△AOB相似，那么点
P的坐标是 （0，），（2，0），（，0） ．
【分析】分类讨论：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，易得P点坐标为（0，）；当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，易得P点坐标为（2，0）；当PC⊥AB时，如图，由于∠CAP=∠OAB，则Rt△APC∽Rt△ABC，得到=，再计算出AB、AC，则可利用比例式计算出AP，于是可得到OP的长，从而得到P点坐标．
【解答】解：当PC∥OA时，△BPC∽△BOA，由点C是AB的中点，所以P为OB的中点，此时P点坐标为（0，）；
当PC∥OB时，△ACP∽△ABO，由点C是AB的中点，所以P为OA的中点，此时P点坐标为（2，0）；
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当PC⊥AB时，如图，∵∠CAP=∠OAB，
∴Rt△APC∽Rt△ABC，
∴=，
∵点A（4，0）和点B（0，3），
∴AB==5，
∵点C是AB的中点，
∴AC=，
∴=，
∴AP=，
∴OP=OA﹣AP=4﹣=，
此时P点坐标为（，0），
综上所述，满足条件的P点坐标为（0，），（2，0），（，0）．
故答案为（0，），（2，0），（，0）．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：平行于三角形的一边的直线与其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似；有两组角对应相等的两个三角形相似．也考查了坐标与图形性质．注意分类讨论思想解决此题．
9．如图，在▱ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BP∥DF，且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有 16 对．
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【分析】根据相似三角形的判定，判断出△BFE∽△ADE，△BFE∽△APB，△BFE∽△CFD，从而得到△ADE∽△APB，△ADE∽△CFD，△APB∽△CFD，类似可得与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对；
与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对；与△ABC相似的有△CDA，共1对．
【解答】解：∵AD∥BF，
∴△BFE∽△ADE，
∵AD∥BC，
∴∠DAB=∠CBE，
∵DE∥BP，
∴∠E=∠PBA，
∴△BFE∽△APB，
∵AE∥DC，
∴△BFE∽△CFD，
∴△ADE∽△APB，
∴△ADE∽△CFD，
∴△APB∽△CFD，
故与△BFE相似的有△ADE，△APB，△CFD，共6对；
类似的，与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对；
与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对；
与△ABC相似的有△CDA，共1对．
故答案为16．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和平行四边形的性质，找到平行线进而判断出三角形相似是解题的关键．
10．将两块全等的三角板如图放置，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，现将三角板A′B′C′绕点O旋转，B′C′、A′B′与边AC分别交于点M、N，当CM= 或 时，△OMN与△BCO相似．
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【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出OC=AB=OA=OB=5，由勾股定理求出AC=8，由全等三角形的性质得出∠B=∠MON．△OMN与△BCO相似，分两种情况：①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，则AD=CD=AC=4，由勾股定理求出OD，由三角形的面积求出CE，由相似三角形的性质得出比例式求出OM=MN=，由勾股定理求出DM，得出CM=CD﹣DM=4﹣=；②当ON=MN时，由△OMN∽△BCO，得出==，求出OM，与勾股定理求出DM，即可得出CM的长．
【解答】解：∵∠ACB=90°，点O为AB中点，AB=A′B′=10，BC=B′C′=6，
∴OC=AB=OA=OB=5，AC==8，
∵△ABC≌△A′B′C′，
∴∠B=∠MON．
若△OMN与△BCO相似，分两种情况：
①当OM=MN时，作OD⊥AC于D，CE⊥AB于E，如图所示：
则AD=CD=AC=4，△ABC的面积=AB•CE=AC•BC，
∴OD===3，CE==，
∵△OMN∽△BOC，
∴==，
即，
∴OM=MN=，
∴DM==，
∴CM=CD﹣DM=4﹣=；
②当ON=MN时，
∵△OMN∽△BCO，
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∴===，
即，
解得：OM=，
∴DM==，
∴CM=CD﹣DM=4﹣=；
综上所述：当CM=或时，△OMN与△BCO相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、等腰三角形的判定、直角三角形斜边上的中线性质等知识；熟练掌握勾股定理，证明三角形相似是解决问题的关键．
11．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的点（DE不平行于BC），当 不唯一，如∠ADE=∠C 时，△AED与△ABC相似．
【分析】两个对应角相等即为相似三角形，∠A为公共角，只需一角对应相等即可．
【解答】解：由题意，∠ADE=∠C即可．
证明：∵∠ADE=∠C，∠A为公共角
∴△ADE∽△ACB．
【点评】熟练掌握相似三角形的判定方法．
12．在边长为2cm的正方形ABCD中，动点E、F分别从D、C两点同时出发，都以1cm/s的速度在射线DC、CB上移动．连接AE和DF交于点P，点Q为AD的中点．若以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，则运动时间t为 2或4 秒．
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【分析】分两种情况：①E点在DC上；②E点在BC上；根据相似三角形的性质得到比例式求出运动时间t即可．
【解答】解：分两种情况：
①如图1，E点在DC上，
AE==，
DP=，
AP==，
∵以A、P、Q为顶点的三角形与以P、D、C为顶点的三角形相似，
∴=，即=，
解得t=2；
△APQ与△ODC相似，边的对应关系共有三种可能逐一分类讨论，得t=4符合题意
【点评】考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，本题关键是根据相似三角形的性质列出比例式，注意分类思想的运用．
三．解答题
13．（2016•福州）如图，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC边上截取AD=BC，连接BD．
（1）通过计算，判断AD2与AC•CD的大小关系；
（2）求∠ABD的度数．
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【分析】（1）先求得AD、CD的长，然后再计算出AD2与AC•CD的值，从而可得到AD2与AC•CD的关系；
（2）由（1）可得到BD2=AC•CD，然后依据对应边成比例且夹角相等的两三角形相似证明△BCD∽△ABC，依据相似三角形的性质可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后结合等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可求得∠ABD的度数．
【解答】解：（1）∵AD=BC，BC=，
∴AD=，DC=1﹣=．
∴AD2==，AC•CD=1×=．
∴AD2=AC•CD．
（2）∵AD=BC，AD2=AC•CD，
∴BC2=AC•CD，即．
又∵∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB．
∴，∠DBC=∠A．
∴DB=CB=AD．
∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC．
设∠A=x，则∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x．
∵∠A+∠ABC+∠C=180°，
∴x+2x+2x=180°．
解得：x=36°．
∴∠ABD=36°．
【点评】本题主要考查的是相似三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、三角形内角和定理的应用，证得△BCD∽△ABC是解题的关键．
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14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边AD、CD上的点，AE=ED，DF=DC，连接EF并延长交BC的延长线于点G．
（1）求证：△ABE∽△DEF；
（2）若正方形的边长为4，求BG的长．
【分析】（1）利用正方形的性质，可得∠A=∠D，根据已知可得，根据有两边对应成比例且夹角相等三角形相似，可得△ABE∽△DEF；
（2）根据平行线分线段成比例定理，可得CG的长，即可求得BG的长．
【解答】（1）证明：∵ABCD为正方形，
∴AD=AB=DC=BC，∠A=∠D=90°，
∵AE=ED，
∴，
∵DF=DC，
∴，
∴，
∴△ABE∽△DEF；
（2）解：∵ABCD为正方形，
∴ED∥BG，
∴，
又∵DF=DC，正方形的边长为4，
∴ED=2，CG=6，
∴BG=BC+CG=10．
【点评】此题考查了相似三角形的判定（有两边对应成比例且夹角相等三角形相似）、正方形的性质、平行线分线段成比例定理等知识的综合应用．解题的关键是数形结合思想的应用．
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15．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，点D是AB的中点，点E在DC的延长线上，且CE=CD，过点B作BF∥DE交AE的延长线于点F，交AC的延长线于点G．
（1）求证：AB=BG；
（2）若点P是直线BG上的一点，试确定点P的位置，使△BCP与△BCD相似．
【分析】（1）利用平行分线段成比例定理得出==，进而得出△ABC≌△GBC（SAS），即可得出答案；
（2）分别利用第一种情况：若∠CDB=∠CPB，第二种情况：若∠PCB=∠CDB，进而求出相似三角形即可得出答案．
【解答】（1）证明：∵BF∥DE，
∴==，
∵AD=BD，
∴AC=CG，AE=EF，
在△ABC和△GBC中：
，
∴△ABC≌△GBC（SAS），
∴AB=BG；
（2）解：当BP长为或时，△BCP与△BCD相似；
∵AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴CD=2.5，
∴∠DCB=∠DBC，
∵DE∥BF，
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∴∠DCB=∠CBP，
∴∠DBC=∠CBP，
第一种情况：若∠CDB=∠CPB，如图1：
在△BCP与△BCD中
，
∴△BCP≌△BCD（AAS），
∴BP=CD=2.5；
第二种情况：若∠PCB=∠CDB，过C点作CH⊥BG于H点．如图2：
∵∠CBD=∠CBP，
∴△BPC∽△BCD，
∵CH⊥BG，
∴∠ACB=∠CHB=90°，∠ABC=∠CBH，
∴△ABC∽△CBH，
∴=，
∴BH=，BP=．
综上所述：当PB=2.5或时，△BCP与△BCD相似．
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【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，正确利用分类讨论分析是解题关键．
16．在矩形ABCD中，点E是AD的中点，BE垂直AC交AC于点F，求证：△DEF∽△EBD．
【分析】根据已知结合相似三角形的判定与性质得出=，进而得出△DEF∽△BED．
【解答】证明：∵AC⊥BE，
∴∠AFB=∠AFE=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠BAE=90°，
又∵∠AEF=∠BEA，
∴△AEF∽△BEA，
∴=，
∵点E是AD的中点，
∴AE=ED，
∴=，
又∵∠FED=∠DEB，
∴△DEF∽△BED．
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及矩形的性质，正确得出=是解题关键．
17．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，M是BC的中点，过点A作AM的垂线，交CB的延长线于点D．求证：△DBA∽△DAC．
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【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质求出AM=CM，推出∠C=∠CAM，求出∠DAB=∠CAM，求出∠DAB=∠C，根据相似三角形的判定得出即可．
【解答】证明：∵∠BAC=90°，点M是BC的中点，
∴AM=CM，
∴∠C=∠CAM，
∵DA⊥AM，
∴∠DAM=90°，
∴∠DAB=∠CAM，
∴∠DAB=∠C，
∵∠D=∠D，
∴△DBA∽△DAC．
【点评】本题考查了相似三角形的判定，直角三角形斜边上的中线性质的应用，能求出∠DAB=∠C是解此题的关键．
18．将两块完全相同的等腰直角三角形摆放成如图的样子，假设图形中的所有点、线都在同一平面内，图中有相似（不包括全等）三角形吗？如果有，请写出其中的一对，并给予说明其为什么相似？
【分析】先利用等腰直角三角形的性质得到∠B=∠GAF=45°，再加上公共角，于是可判断△EAD∽△EBA．
【解答】解：有相似三角形，它们为△EAD∽△EBA．
理由如下：
∵△ABC和△AFG为等腰直角三角形，
∴∠B=∠GAF=45°，
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而∠AED=∠BEA，
∴△EAD∽△EBA．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似．解决的关键是灵活运用相似三角形的判断．
19．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB1∥AC．动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF⊥AC交射线BB1于F，G是EF中点，连接DG．设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当△DEG与△ACB相似时，求t的值．
【分析】（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得AB的长，即可得到AD、t的值，从而确定AE的长，由DE=AE﹣AD即可得解．
（2）若△DEG与△ACB相似，要分两种情况：①AG：DE=DH：GE，②AH：EG=DH：DE，根据这些比例线段即可求得t的值．（需注意的是在求DE的表达式时，要分AD＞AE和AD＜AE两种情况）
【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB==5．
∵AD=5t，CE=3t，
∴当AD=AB时，5t=5，即t=1；
∴AE=AC+CE=3+3t=6，DE=6﹣5=1．
（2）∵EF=BC=4，G是EF的中点，
∴GE=2．
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当AD＜AE（即t＜）时，DE=AE﹣AD=3+3t﹣5t=3﹣2t，
若△DEG与△ACB相似，则或，
∴或，
∴t=或t=；
当AD＞AE（即t＞）时，DE=AD﹣AE=5t﹣（3+3t）=2t﹣3，
若△DEG与△ACB相似，则或，
∴或，
解得t=或t=；
综上所述，当t=或或或时，△DEG与△ACB相似．
【点评】此题考查了勾股定理、轴对称的性质、平行四边形及梯形的判定和性质、解直角三角形、相似三角形等相关知识，综合性强，是一道难度较大的压轴题．
20．如图，在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高．求证：△DCE∽△ACB．
【分析】首先由在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，证得△CDE∽△CAB，即可得CD：CA=CE：CB，继而证得结论．
【解答】证明：∵在△ABC中，AD、BE分别是BC、AC边上的高，
∴∠ADC=∠BEC=90°，
∵∠C是公共角，
∴△CDE∽△CAB，
∴CD：CE=CA：CB，
∴CD：CA=CE：CB，
∴△DCE∽△ACB．
【点评】此题考查了相似三角形的判定与性质．注意证得△CDE∽△CAB是关键．
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21．如图所示，Rt△ABC中，已知∠BAC=90°，AB=AC=2，点D在BC上运动（不能到达点B，C），过点D作∠ADE=45°，DE交AC于点E．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
【分析】（1）首先根据等腰直角三角形的两个底角都是45°，得到一对对应角相等；再根据三角形的外角的性质得到∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD，从而证明∠EDC=∠BAD，根据两个角对应相等，得到两个三角形相似；
（2）根据等腰三角形的定义，此题要分三种情况进行分析讨论．根据等腰三角形的性质进行计算．
【解答】（1）证明：Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=2，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠ADC=∠B+∠BAD，∠ADC=∠ADE+∠EDC，
∴∠ADE+∠EDC=∠B+∠BAD．
又∵∠ADE=45°，
∴45°+∠EDC=45°+∠BAD．
∴∠EDC=∠BAD．
∴△ABD∽△DCE．
（2）解：讨论：①若AD=AE时，∠DAE=90°，此时D点与点B重合，不合题意．
②若AD=DE时，△ABD与△DCE的相似比为1，此时△ABD≌△DCE，
于是AB=AC=2，BC=2，AE=AC﹣EC=2﹣BD=2﹣（2﹣2）=4﹣2
③若AE=DE，此时∠DAE=∠ADE=45°，
如下图所示易知AD⊥BC，DE⊥AC，且AD=DC．由等腰三角形的三线合一可知：AE=CE=AC=1．
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【点评】熟练运用等腰直角三角形的性质，特别注意第二问要分情况进行讨论解题．
22．如图，在△ABC中，AB=8cm，BC=16cm，动点P从点A开始沿AB边运动，速度为2cm/s；动点Q从点B开始沿BC边运动，速度为4cm/s；如果P、Q两动点同时运动，那么何时△QBP与△ABC相似？
【分析】设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8﹣2t，BQ=4t，利用两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似进行分类讨论： =时，△BPQ∽△BAC，即=；当=时，△BPQ∽△BCA，即=，然后方程解方程即可．
【解答】解：设经过t秒时，以△QBC与△ABC相似，则AP=2t，BP=8﹣2t，BQ=4t，
∵∠PBQ=∠ABC，
∴当=时，△BPQ∽△BAC，即=，解得t=2（s）；
当=时，△BPQ∽△BCA，即=，解得t=0.8（s）；
即经过2秒或0.8秒时，△QBC与△ABC相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．利用时间表示相应线段长和利用相似比列方程是解决此题的关键．
23．如图，四边形ABCD和ACED都是平行四边形，B，C，E在一条直线上，点R为DE的中点，BR分别交AC，CD于点P，Q．
（1）则图中相似三角形（相似比为1除外）共有 3 对；
（2）求线段BP：PQ：QR，并说明理由．
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【分析】此题的图形比较复杂，需要仔细分析图形．
（1）根据平行四边形的性质，可得到角相等．∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，可得△BCP∽△BER；
（2）根据AB∥CD、AC∥DE，可得出△PCQ∽△PAB，△PCQ∽△RDQ，△PAB∽△RDQ．根据相似三角形的性质，对应边成比例即可得出所求线段的比例关系．
【解答】解：（1）∵四边形ACED是平行四边形，
∴∠BPC=∠BRE，∠BCP=∠E，
∴△BCP∽△BER；
同理可得∠CDE=∠ACD，∠PQC=∠DQR，
∴△PCQ∽△RDQ；
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠BAP=∠PCQ，
∵∠APB=∠CPQ，
∴△PCQ∽△PAB；
∵△PCQ∽△RDQ，△PCQ∽△PAB，
∴△PAB∽△RDQ．
综上所述，图中相似三角形（相似比为1除外）共有4对．
故答案是：4．
（2）∵四边形ABCD和四边形ACED都是平行四边形，
∴BC=AD=CE，
∵AC∥DE，
∴BC：CE=BP：PR，
∴BP=PR，
∴PC是△BER的中位线，
∴BP=PR， =，
又∵PC∥DR，
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∴△PCQ∽△RDQ．
又∵点R是DE中点，
∴DR=RE．
===，
∴QR=2PQ．
又∵BP=PR=PQ+QR=3PQ，
∴BP：PQ：QR=3：1：2．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质：①如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似；②如果两个三角形的两条对应边的比相等，且夹角相等，那么这两个三角形相似；③如果两个三角形的两个对应角相等，那么这两个三角形相似．
24．如图，在正方形ABCD中，E为BC上任意一点（与B、C不重合）∠AEF=90°．观察图形：
（1）△ABE与△ECF是否相似？并证明你的结论．
（2）若E为BC的中点，连结AF，图中有哪些相似三角形？并说明理由．
【分析】（1）由正方形的性质得出∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，由角的互余关系得出∠BAE=∠CEF，即可证出△ABE∽△ECF；
（2）由（1）的结论和已知条件得出BE=CE=2CF，设CF=a，则BE=CE=2a，AB=BC=CD=AD=4a，DF=3a，由勾股定理和勾股定理的逆定理得出△AEF是直角三角形，∠AEF=90°，得出，证出△AEF∽△ABE，即可得出结论．
【解答】解：（1）相似，理由如下：
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∵四边形ABCD是正方形，
∴∠B=∠C=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∴∠BAE+∠AEB=90°，
∵∠AEF=90°，
∴∠AEB+∠CEF=90°，
∴∠BAE=∠CEF，
∴△ABE∽△ECF；
（2）△ABE∽△ECF∽△AEF，理由如下：
∵E为BC的中点，
∴BE=CE=BC=AB，
由（1）得：
∴△ABE∽△ECF，
∴=2，
∴BE=CE=2CF，
设CF=a，则BE=CE=2a，AB=BC=CD=AD=4a，
∴DF=3a，
∴AE2=（4a）2+（2a）2=20a2，EF2=（2a）2+a2=5a2，AF2=（4a）2+（3a）2=25a2，
∵=2，
∴，
又∵∠AEF=∠B=90°，
∴△AEF∽△ABE，
∴△ABE∽△ECF∽△AEF．
【点评】本题考查了正方形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理、勾股定理的逆定理；熟练掌握正方形的性质和相似三角形的判定方法，运用勾股定理进行计算是解决（2）的关键．
25．如图，在Rt△ACB中，AC=8m，BC=6m，点P、Q同时由C、B两点出发分别沿CA、BC向点A、C匀速移动，它们的速度分别是2米/秒、1米/秒，问几秒后△PCQ与△ACB相似？
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【分析】设x秒后△PCQ与△ACB相似；则CP=2x，BQ=x，CQ=6﹣x．当，或时，△PCQ与△ACB相似，解方程即可．
【解答】解：设x秒后△PCQ与△ACB相似．
由题知，CP=2x，BQ=x，CQ=6﹣x．
∵∠C=∠C，
当，或，△PCQ与△ACB相似．
∴，或，
解得：x=，或x=；
∴秒或秒后△PCQ与△ACB相似．
【点评】本题考查了相似三角形的判定；熟练掌握相似三角形的判定方法，由两边成比例得出方程是解决问题的关键．
26．如图，巳知 AB丄BD，CD丄BD．
（1）若AB=9，CD=4，BD=10，请问在BD上是否存在P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为顶点的三角形相似？若存在，求BP的长；若不存在．请说明理由；
（2）若AB=9，CD=4，BD=12，请问在BD上存在多少个P点，使以P、A、B三点为顶点的三角形与以P、C、D三点为頂点的三角形相似？并求BP的长．
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【分析】（1）设BP=x，则PD=10﹣x，由于∠B=∠D，根据两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，则当=时，△ABP∽△PDC，即=，当=时，△ABP∽△CDP，即=，然后分别解方程求出x的值即可得到BP的长；
（2）设BP=x，则PD=12﹣x，与（1）解答一样，易得=或=，然后分别解方程求出x的值即可得到BP的长．
【解答】解：（1）存在．
设BP=x，则PD=10﹣x，
∵∠B=∠D，
∴当=时，△ABP∽△PDC，即=，
整理得x2﹣10x+36=0，此方程没有实数解；
当=时，△ABP∽△CDP，即=，即解得x=，
即BP的长为；
（2）存在2个P点．
设BP=x，则PD=12﹣x，
∵∠B=∠D，
∴当=时，△ABP∽△PDC，即=，
整理得x2﹣12x+36=0，解得x1=x2=6；
当=时，△ABP∽△CDP，即=，即解得x=，
即BP的长为6或．
【点评】本题考查了相似三角形的判定：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似．注意分类讨论思想的运用．
27．如图，在平面直角坐标系中，已知OA=6厘米，OB=8厘米．点P从点B开始沿BA边向终点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点A开始沿AO边向终点O以1厘米/秒的速度移动．若P、Q同时出发，运动时间为t（s）．
（1）当t为何值时，△APQ与△AOB相似？
（2）当t为何值时，△APQ的面积为8cm2？
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【分析】（1）利用勾股定理列式求出AB，再表示出AP、AQ，然后分∠APQ和∠AQP是直角两种情况，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；
（2）过点P作PC⊥OA于C，利用∠OAB的正弦求出PC，然后根据三角形的面积公式列出方程求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（0，6），B（8，0），
∴AO=6，BO=8，
∴AB===10，
∵点P的速度是每秒1个单位，点Q的速度是每秒1个单位，
∴AQ=t，AP=10﹣t，
①∠APQ是直角时，△APQ∽△AOB，
∴，
即，
解得t=＞6，舍去；
②∠AQP是直角时，△AQP∽△AOB，
∴，
即，
解得t=，
综上所述，t=秒时，△APQ与△AOB相似；
（2）如图，过点P作PC⊥OA于点C，
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则PC=AP•sin∠OAB=（10﹣t）×=（10﹣t），
∴△APQ的面积=×t×（10﹣t）=8，
整理，得：t2﹣10t+20=0，
解得：t=5+＞6（舍去），或t=5﹣，
故当t=5﹣s时，△APQ的面积为8cm2．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、三角形的面积以及一元二次方程的应用能力，根据对应边成比例两相似三角形的判定分类讨论是解题的关键．
28．如图①，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=α，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，设旋转的角度是β．
（1）如图②，当β= （90+α） °（用含α的代数式表示）时，点B′恰好落在CA的延长线上；
（2）如图③，连接BB′、CC′，CC′的延长线交斜边AB于点E，交BB′于点F．请写出图中两对相似三角形 △ABB′∽△ACC′ ， ②△ACE∽△FBE （不含全等三角形），并选一对证明．
【分析】（1）先求出∠BAC的度数，然后180°﹣∠BAC可得出答案；
（2）具有两个角相等的三角形是相似三角形，由此结合图形及旋转的性质可得出答案．
【解答】解：（1）∵∠ABC=α，
∴∠BAC=90°﹣α，
∴β=∠90°+α；
（2）图中两对相似三角形：①△ABB′∽△ACC′，②△ACE∽△FBE，
证明①：∵△ABC绕点A顺时针旋转角β得到△AB′C′，
∴∠CAC′=∠BAB′=β，AC=AC′，AB=AB′
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∴
∴△ABB′∽△ACC′
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