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·9· 答案解析部分 一、单选题 1.【答案】C 【考点】有理数的混合运算 【解析】【解答】原式=﹣2×5﹣3=﹣10﹣3=﹣13， 故答案为：C 【分析】根据绝对值的性质化简之后，再由有理数乘法和减法运算法则计算即可. 2.【答案】B 【考点】特殊角的三角函数值 【解析】【解答】sin60°= √3 2 ． 故答案为：B． 【分析】根据特殊角的三角函数值即可得出答案. 3.【答案】C 【考点】轴对称图形，中心对称及中心对称图形 【解析】【解答】A. 此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，不 是中心对称图形，不符合题意；B. 此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对 称图形，不是中心对称图形，不符合题意。 C. 此图形沿一条直线对折后能够完全重合，∴此图形是轴对称图形，旋转 180∘能与原图形重 合，是中心对称图形，符合题意； D. 此图形沿一条直线对折后不能够完全重合，∴此图形不是轴对称图形，是中心对称图形， 不符合题意。 故答案为：C. 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能完全重合，这个图形就是轴对称图 形； 把一个图形绕着某一点旋转 180°，如果它能与另一个图形重合，那么就说这两个图形关 于这个点对称或中心对称. 4.【答案】C 【考点】科学记数法—表示绝对值较大的数 【解析】【解答】解：将 2098.7 亿元用科学记数法表示是 2.0987×1011 ， 故答案为：C． 【分析】用科学记数法表示绝对值较大的数，一般形式为 a× 10푛,其中 1≤|a|＜10，n 为由原 数的整数位数减 1，即 2098.7 亿元用科学记数法表示是 2.0987×1011。 5.【答案】A 【考点】简单几何体的三视图 【解析】【解答】解：从正面看到的图形是 故选 A. 【分析】主视图是从主视方向看到的图形，也可以说是从正面看到的图形. 6.【答案】C ·10· 【考点】估算无理数的大小 【解析】【解答】解：∵ √32 × √1 2 + √20 = 4 + √20 ，而 4 < √20 < 5 ， ∴原式运算的结果在 8 到 9 之间． 故选 C. 7.【答案】C 【考点】分式的乘除法 【解析】解答: 因此选择 C． 分析: 分式的乘除混合运算一般是统一为乘法运算，如果有乘方，还应根据分式乘方法则先乘 方，即把分子、分母分别乘方，然后再进行乘除运算． 8.【答案】D 【考点】二元一次方程组的解，解二元一次方程组 【解析】【解答】解:将两个方程相加，可得(x+y)+(3x-5y)=3+4， 得 4x-4y=7, 则 x-y=7 4。 即 a-b=7 4 故选 D. 【分析】求 a-b，则由两方程相加，方程的左边可变为 4x-4y，即可解出 x-y。 9.【答案】B 【考点】图形的旋转 【解析】【解答】解：∵△ABC 绕点 A 旋转到△AED 的位置， ∴AD=AC，∠BAE=∠CAD， ∵AD=AC， ∴∠ACD=∠ADC=65°， ∴∠CAD=180°﹣65°﹣65°=50°， ∴∠BAE=50°， ∵AE⊥BC， ∴∠ABC=90°﹣∠BAE=40°． 故选 B． 【分析】先根据旋转的性质得 AD=AC，∠BAE=∠CAD，再根据等腰三角形的性质和三角形内 角和计算出∠CAD=50°，则∠BAE=50°，然后利用互余计算∠ABC 的度数． 10.【答案】C 【考点】反比例函数的性质 【解析】【解答】因为点(－2，y1)、(－1，y2)、(1，y3)在反比例函数 y =3 푥 的图象上， 则 y1=− 3 2，y2=−3，y3=3， 所以 y3＞y1＞y2 故选 C. 【分析】分别求出 y1,y2 ， y3 的值，再作比较或者根据 k=3>0，则反比例函数 y=3 푥在第一、·11· 三象限，且在每一个象限 y 都随 x 的增大而减少. 11.【答案】B 【考点】坐标与图形性质，含 30 度角的直角三角形，勾股定理，轴对称-最短路线问题 【解析】【解答】作 A 关于 OB 的对称点 D，连接 CD 交 OB 于 P，连接 AP，过 D 作 DN⊥OA 于 N，则此时 PA+PC 的值最小，求出 AM，求出 AD，求出 DN、CN，根据勾股定理求出 CD， 即可得出答案： 作 A 关于 OB 的对称点 D，连接 CD 交 OB 于 P，连接 AP，过 D 作 DN⊥OA 于 N，则此时 PA+PC 的值最小. ∵DP=PA，∴PA+PC=PD+PC=CD. ∵B（3，√3）， ∴AB=√3 ， OA=3，∠B=60°. 由勾股定理得：OB=2√3. 由三角形面积公式得：1 2×OA×AB=1 2×OB×AM，∴AM=3 2.∴AD=2×3 2=3. ∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°. ∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°. ∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°.∴AN=1 2AD=3 2. 由勾股定理得：DN=3 2 √3. ∵C（1 2 ， 0）， ∴퐶푁 = 3 − 1 2 − 3 2 = 1. 在 Rt△DNC 中，由勾股定理得：퐷퐶 = √12 + (3 2 √3) 2 = √31 2 . ∴PA+PC 的最小值是√31 2 . 故选 B. 【分析】作 A 关于 OB 的对称点 D，连接 CD 交 OB 于 P，连接 AP，过 D 作 DN⊥OA 于 N， 则此时 PA+PC 的值最小，求出 AM，求出 AD，求出 DN、CN，根据勾股定理求出 CD，即可 得出答案． 12.【答案】B 【考点】二次函数的性质，二次函数图象与系数的关系，抛物线与 x 轴的交点，二次函数图象 上点的坐标特征 【解析】【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线 x=﹣ 푏 2푎 =﹣2， ∴4a﹣b=0，所以①正确； ·12· ∵与 x 轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间， ∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间， ∴抛物线与 y 轴的交点在 y 轴的负半轴，即 c＜0，故②正确； ∵由②知，x=﹣1 时 y＞0，且 b=4a， 即 a﹣b+c=a﹣4a+c=﹣3a+c＞0， 所以③正确； 由函数图象知当 x=﹣2 时，函数取得最大值， ∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c， 即 4a﹣2b≥at2+bt（t 为实数），故④错误； ∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线 x=﹣2， ∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大， ∴y1＜y3＜y2 ， 故⑤错误； 故选：B． 【分析】根据抛物线的对称轴可判断①，由抛物线与 x 轴的交点及抛物线的对称性可判断②， 由 x=﹣1 时 y＞0 可判断③，由 x=﹣2 时函数取得最大值可判断④，根据抛物线的开口向下且 对称轴为直线 x=﹣2 知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤． 二、填空题 13.【答案】4a2b2 【考点】幂的乘方与积的乘方 【解析】【解答】解：（﹣2ab）2=4a2b2 ． 故答案为：4a2b2 ． 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则求出答案．此题主要考查了积的乘 方运算与幂的乘方运算，正确掌握运算法则是解题关键． 14.【答案】√5 +2 【考点】二次根式的混合运算 【解析】【解答】解：原式=[（ √5 ﹣2）（ √5 +2）]2016•（ √5 +2） =（5﹣4）2016•（ √5 +2） = √5 +2． 故答案为 √5 +2． 【分析】先利用积的乘方得到原式=[（ √5 ﹣2）（ √5 +2）]2016•（ √5 +2），然后利用平方差 公式计算即可． 15.【答案】4 9 【考点】列表法与树状图法 【解析】【解答】解：根据题意画出相应的树状图， ·13· 所以一共有 9 种情况，两次摸到红球的有 4 种情况， ∴两次摸出都是红球的概率是 4 9 ， 故答案为： 4 9 ． 【分析】根据题意画出相应的树状图，找出所有可能的情况个数，进而找出两次都是红球的情 况个数，即可求出所求的概率大小． 16.【答案】三 【考点】一次函数与系数的关系 【解析】【解答】解：将 A（1，0）和 B（0，2）代入一次函数 y=kx+b 中得： {푘 + 푏 = 0 푏 = 2 ， 解得：{푘 = −2 푏 = 2 ， ∴一次函数解析式为 y=﹣2x+2 不经过第三象限． 故答案为：三． 【分析】将 A（1，0）和 B（0，2）分别代入一次函数解析式 y=kx+b 中，得到关于 k 与 b 的 二元一次方程组，求出方程组的解得到 k 与 b 的值，确定出一次函数解析式，利用一次函数的 性质即可得到一次函数图象不经过第三象限． 17. 【答案】7 考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形。710842 专题： 计算题。 分析： 过 O 作 OF 垂直于 BC，再过 A 作 AM 垂直于 OF，由四边形 ABDE 为正方形，得到 OA=OB，∠AOB 为直角，可得出两个角互余，再由 AM 垂直于 MO，得到△AOM 为 直角三角形，其两个锐角互余，利用同角的余角相等可得出一对角相等，再由一对直 角相等，OA=OB，利用 AAS 可得出△AOM 与△BOF 全等，由全等三角形的对应边 相等可得出 AM=OF，OM=FB，由三个角为直角的四边形为矩形得到 ACFM 为矩 形，根据矩形的对边相等可得出 AC=MF，AM=CF，等量代换可得出 CF=OF，即 △COF 为等腰直角三角形，由斜边 OC 的长，利用勾股定理求出 OF 与 CF 的长，根 据 OF﹣MF 求出 OM 的长，即为 FB 的长，由 CF+FB 即可求出 BC 的长． 解答： 解法一：如图 1 所示，过 O 作 OF⊥BC，过 A 作 AM⊥OF， ∵四边形 ABDE 为正方形， ∴∠AOB=90°，OA=OB， ∴∠AOM+∠BOF=90°， 又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°， ∴∠BOF=∠OAM， ·14· 在△AOM 和△BOF 中， ， ∴△AOM≌△BOF（AAS）， ∴AM=OF，OM=FB， 又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°， ∴四边形 ACFM 为矩形， ∴AM=CF，AC=MF=5， ∴OF=CF， ∴△OCF 为等腰直角三角形， ∵OC=6 ， ∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2， 解得：CF=OF=6， ∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1， 则 BC=CF+BF=6+1=7． 故答案为：7． 解法二：如图 2 所示， 过点 O 作 OM⊥CA，交 CA 的延长线于点 M；过点 O 作 ON⊥BC 于点 N． 易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB． ∴O 点在∠ACB 的平分线上，∴△OCM 为等腰直角三角形． ∵OC=6 ，∴CM=6． ∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1， ∴BC=CN+NB=6+1=7． 故答案为：7． ·15· 18.【答案】略 解：（1）根据勾股定理可得：DB= ， 因为 BE=DF= ， 所以可得 AF= =2.5， 根据勾股定理可得：AE= ，所以 AE+AF= ， 故答案为： ； （2）如图， ·16· 首先确定 E 点，要使 AE+AF 最小，根据三角形两边之和大于第三边可知，需要将 AF 移到 AE 的延长线上，因此可以构造全等三角形，首先选择格点 H 使∠HBC=∠ADB，其次需要构 造长度 BP 使 BP=AD=4，根据勾股定理可知 BH= =5，结合相似三角形选出格点 K，根据 ，得 BP= BH= =4=DA，易证△ADF≌△PBE，因此可得到 PE=AF，线段 AP 即为所求的 AE+AF 的最小值；同理可确定 F 点，因为 AB⊥BC，因此首 先确定格点 M 使 DM⊥DB，其次确定格点 G 使 DG=AB=3，此时需要先确定格点 N，同样 根据相似三角形性质得到 ，得 DG= DM= ×5=3，易证△DFG≌BEA，因此 可得到 AE=GF，故线段 AG 即为所求的 AE+AF 的最小值． 故答案为：取格点 H，K，连接 BH，CK，相交于点 P，连接 AP，与 BC 相交，得点 E，取 格点 M，N 连接 DM，CN，相交于点 G，连接 AG，与 BD 相交，得点 F，线段 AE，AF 即 为所求． 三、解答题 19.【答案】解： { 5푥 − 3 < 4푥① 4(푥 + 1) + 2 ≥ 푥② ， 解不等式①得：x＜3， 解不等式②得：x≥﹣2， 则不等式组的解集是：﹣2≤x＜3． 解集在数轴上表示如下： ·17· ． 【考点】在数轴上表示不等式的解集，解一元一次不等式组 【解析】【分析】首先分别解不等式进而得出不等式组的解集，再数轴上表示出解集即可．此 题主要考查了解一元一次不等式组以及在数轴上表示出不等式的解集，正确解出不等式是解 题关键． 20.【答案】 解：（1）本次接受随机抽样调查的学生人数为： 4 8%=50（人）， 图①中 m 的值为16 50×100=32； 故答案为：50，32 （2）∵这组样本数据中，4 出现了 16 次，出现次数最多， ∴这组数据的众数为 4； ∵将这组数据从小到大排列，其中处于中间的两个数均为 3，有3+3 2 =3， ∴这组数据的中位数是 3； 由条形统计图可得푥−=1×4+2×10+3×14+4×16+5×6 50 =3.2， ∴这组数据的平均数是 3.2． （3）1500×28%=420（人）． 答：估计该校学生家庭中；拥有 3 台移动设备的学生人数约为 420 人． 【考点】用样本估计总体，扇形统计图，条形统计图，中位数、众数 【解析】【分析】（1）根据家庭中拥有 1 台移动设备的人数及所占百分比可得查的学生人数， 将拥有 4 台移动设备的人数除以总人数可得 m 的值； （2）根据众数、中位数、加权平均数的定义计算即可； （3）将样本中拥有 3 台移动设备的学生人数所占比例乘以总人数 1500 即可． 21.【答案】 (1)如图所示，连接 OD， ∵点 E 是△ABC 的内心， ∴∠BAD=∠CAD， ∴BDˆ=CDˆ， ∴OD⊥BC， 又∵∠BDM=∠DAC，∠DAC=∠DBC， ∴∠BDM=∠DBC， ∴BC∥DM， ·18· ∴OD⊥DM， ∴直线 DM 是⊙O 的切线； (2)如图所示，连接 BE， ∵点 E 是△ABC 的内心, ∴∠BAE=∠CAE=∠CBD，∠ABE=∠CBE， ∴∠BAE+∠ABE=∠CBD+∠CBE， 即∠BED=∠EBD， ∴DB=DE， ∵∠DBF=∠DAB，∠BDF=∠ADB， ∴△DBF∽△DAB， ∴DF/DB=DB/DA,即 DB2=DF⋅DA， ∴DE2=DF⋅DA. 【考点】相似三角形的判定与性质，垂径定理，圆周角定理，切线的判定与性质，三角形的内 切圆与内心 【解析】【分析】（1）根据垂径定理的推论即可得到 OD⊥BC，再根据∠BDM=∠DBC，即可 判定 BC∥DM，进而得到 OD⊥DM，据此可得直线 DM 是⊙O 的切线； （2）根据三角形内心的定义以及圆周角定理，得到∠BED=∠EBD，即可得出 DB=DE，再判 定△DBF∽△DAB，即可得到 DB2=DF•DA，据此可得 DE2=DF•DA． 22.【答案】解：延长 DE 交 AB 延长线于点 F，则∠DFA=90°， ∵∠A=45°， ∴AF=DF， 设 EF=x， 则 tan25.6°=퐸퐹 퐵퐹=0.5， 故 BF=2x， 则 AF=50+2x， 故 tan61.4°=퐷퐹 퐵퐹=50+2푥 2푥 =1.8， 解得；x≈31， 故 DE=50+31×2﹣31=81（m）， 答：塔高 DE 大约是 81 米． ·19· 【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题 【解析】【分析】根据锐角三角函数关系表示出 BF 的长，进而求出 EF 的长，进而得出答案． 23.【答案】解：（1）表格 甲（kg） 乙（kg） 件数（件） A 8x 5x x B 4（40-x） 9（40-x） 40-x （2）根据题意得， ， 由①得，x≤25， 由②得，x≥22.5， ∴不等式组的解集是 22.5≤x≤25， ∵x 是正整数， ∴x=23、24、25， 共有三种方案； 方案一：A 产品 23 件，B 产品 17 件， 方案二：A 产品 24 件，B 产品 16 件； 方案三：A 产品 25 件，B 产品 15 件； （3）y=900x+1100（40-x）=-200x+44000， ∵-200＜0， ∴y 随 x 的增大而减小， ∴x=23 时，y 有最大值， 【考点】一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，根据实际问题列一次函数表达式 【解析】【分析】根据实际问题列一次函数表达式. 24.【答案】解：（Ⅰ）当 α=90°时，点 E′与点 F 重合，如图①． ∵点 A（﹣2，0）点 B（0，2）， ·20· ∴OA=OB=2． ∵点 E，点 F 分别为 OA，OB 的中点， ∴OE=OF=1 ∵正方形 OE′D′F′是正方形 OEDF 绕点 O 顺时针旋转 90°得到的， ∴OE′=OE=1，OF′=OF=1． 在 Rt△AE′O 中， AE′= ． 在 Rt△BOF′中， BF′= ． ∴AE′，BF′的长都等于 ． （Ⅱ）当 α=135°时，如图②． ∵正方形 OE′D′F′是由正方形 OEDF 绕点 O 顺时针旋转 135°所得， ∴∠AOE′=∠BOF′=135°． 在△AOE′和△BOF′中， ， ∴△AOE′≌△BOF′（SAS）． ∴AE′=BF′，且∠OAE′=∠OBF′． ∵∠ACB=∠CAO+∠AOC=∠CBP+∠CPB，∠CAO=∠CBP， ∴∠CPB=∠AOC=90° ∴AE′⊥BF′． （Ⅲ）∵∠BPA=∠BOA=90°，∴点 P、B、A、O 四点共圆， ∴当点 P 在劣弧 OB 上运动时，点 P 的纵坐标随着∠PAO 的增大而增大． ∵OE′=1，∴点 E′在以点 O 为圆心，1 为半径的圆 O 上运动， ∴当 AP 与⊙O 相切时，∠E′AO（即∠PAO）最大， 此时∠AE′O=90°，点 D′与点 P 重合，点 P 的纵坐标达到最大． 过点 P 作 PH⊥x 轴，垂足为 H，如图③所示． ·21· ∵∠AE′O=90°，E′O=1，AO=2， ∴∠E′AO=30°，AE′= ． ∴AP= +1． ∵∠AHP=90°，∠PAH=30°， ∴PH= AP= ． ∴点 P 的纵坐标的最大值为 ． 【考点】三角形的外角性质，全等三角形的判定与性质，含 30 度角的直角三角形，勾股定理 【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可求出 AE′，BF′的长．（2）运用全等三角形的判定与性 质、三角形的外角性质就可解决问题．（3）首先找到使点 P 的纵坐标最大时点 P 的位置（点 P 与点 D′重合时），然后运用勾股定理及 30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点 P 的纵坐标的最大值． 25.【答案】解：（Ⅰ）将 k=1，b=1 代入代入得：抛物线的解析式为 y=ax2+x+1，直线的解析 式为 y=x． ∵y=ax2+x+1=a（x+ 1 2푎 ）2+1﹣ 1 4푎 ， ∴抛物线的顶点为（﹣ 1 2푎 ，1﹣ 1 4푎 ）． ∵抛物线的顶点在直线 y=x 上， ∴﹣ 1 2푎 =1﹣ 1 4푎 ，解得：a=﹣ 1 4 ． （Ⅱ）（ i）将直线 y=kx 向上平移 k2+1 个单位，所得直线的解析式为 y=kx+k2+1． ∵无论非零实数 k 取何值，直线与抛物线都只有一个交点， ∴方程 kx+k2+1=ax2+bx+1 有两个相等的实数根，即 ax2+（b﹣k）x﹣k2=0 有两个相等的实数 根， ∴△=（b﹣k）2+4ak2=（4a+1）k2﹣2bk+b2=0． ∵无论非零实数 k 取何值时，（4a+1）k2﹣2bk+b2=0 恒成立， ∴4a+1=0 且 b=0， ∴a=﹣ 1 4 ，b=0． ·22· ∴抛物线的解析式为 y=﹣ 1 4 x2+1． （ii）证明：根据题意，画出图象如图所示： 设点 P 的坐标为（x，﹣ 1 4 x2+1）则点 Q 的坐标为（x，2）， D（x，0）． ∴PD=|﹣ 1 4 x2+1|，OD=|x|，QP=2﹣（﹣ 1 4 x2+1）= 1 4 x2+1． 在 Rt△OPD 中，依据勾股定理得：OP= √푥2 + (− 1 4 푥2 + 1)2 = √ 1 16 푥4 + 1 2 푥2 + 1 = 1 4 x2+1． ∴OP=PQ 【考点】二次函数的图象，二次函数与一次函数的交点问题 【解析】【分析】（1）利用配方法求出顶点坐标，代入 y=x 中即可;（2）可联立直线和抛物线 解析式得到的方程判别式恒等于 0，可得出 a、b 的值；（3）可表示出 OP,PQ,证得二者相等.