2018 年秦淮区二模
数 学 2018.06.05
一、选择题（本大题共 6 小题，每小题 2 分，共 12 分）
1．计算10 + ( -24) ¸ 8 + 2 ´ ( -6) 的结果是 （ ）
A． -5 B． -1 C． 1 D． 5
2．计算 26 ´ (22 )3 ¸ 24 的结果是 （ ）
A． 23 B． 27 C． 28 D． 29
3．已知圆锥的母线长为 12，底面圆半径为 6，则圆锥的侧面积是 （ ）
A． 24p B． 36p C． 70p D． 72p
4．甲、乙两位射击运动员参加射击训练，各射击 20 次，成绩如下表所示：
甲 乙
环数
7
8
9
10
击中次数
5
5
5
5
环数
7
8
9
10
击中次数
4
6
6
4
设甲、乙两位运动员射击成绩的方差分别为 S甲 2 和 S乙 2 ，则下列说法正确的是（ ）
A．S甲 2 ＜S乙 2 B．S甲 2＝ S乙 2
C．S甲 2＞ S乙 2 D． 无法比较S甲 2 和 S乙 2的大小
5．某农场开挖一条 480m 的渠道，开工后，每天比原计划多挖 20m，结果提前 4 天完成任务．若 设原计划每天挖 x m，根据题意，下列方程正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
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6．下列函数的图像和二次函数 y = a ( x + 2)2 + 3 （ a 为常数， a ¹ 0 ）的图像关于点
（1，0）对称的是 （ ）
A． y = -a ( x - 4)2 - 3 B． y = -a ( x - 2)2 - 3
C． y = a ( x - 4)2 - 3 D． y = a ( x - 2)2 - 3
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二、填空题（本大题共 10 题，每小题 2 分，共 20 分）
7．10 = ， 2-2 = ．
8．每年四、五月间，南京街头杨絮飞舞，如漫天飞雪，给市民生活带来了不少烦恼．据测定， 杨絮纤维的直径约为 0.0000105 m，将 0.0000105 用科学计数法可表示为 ．
9．若式子在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是 ．
10．分解因式 b3 - b 的结果是 ．
11．若 A（1，m）在反比例函数y =的图像上，则 m 的值为 .
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12．如图，AB 是半圆的直径，C、D 是半圆上的两个点，若∠BAD=55°， 则∠ACD= °．
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H
A G
D
C B F
C E
A B D
（第 12 题） （第 13 题）
13．如图，CF、CH 是正八边形 ABCDEFGH 的对角线，则∠HCF= °．
14．已知 x 与代数式 ax2 + bx + c 的部分对应值如下表：
x
L
2
3
4
5
6
L
ax2 + bx + c
L
5
0
-3
-4
-3
L
则的值是 ．
15．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E、F、G、H 分别在 AD、AB、
BC、CD 上，且四边形 EFGH 为正方形，若 AC = 24 ， BD = 10 ，则正方形 EFGH 的边长 是 ．
D
E H
A O C F G
B
（第 15 题）
16．四边形 ABCD 的对角线 AC、BD 的长分别为 m、n．当 AC⊥BD 时，可得四边形 ABCD 的
面积 S = mn ；当 AC 与 BD 不垂直时，设它们所夹的锐角为q ，则四边形 ABCD 的面积
S = ．（用含 m、n、q 的式子表示）
三、解答题（本大题共 11 小题，共 88 分）
17．（6 分）解不等式组，并写出不等式组的整数解．
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18．（6 分）计算
19．（8 分）某校有 3000 名学生．为了解全校学生的上学方式，该校数学兴趣小组以问卷调查 的形式，随机调查了该校部分学生的主要上学方式（参与问卷调查的学生只能从以下六 个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图．
种类
A
B
C
D
E
F
上学方式
电动车
私家车
公共交通
自行车
步行
其他
某校部分学生主要上学方式扇形统计图 某校部分学生主要上学方式条形统计图
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根据以上信息，回答下列问题：
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⑴ 参与本次问卷调查的学生共有 人，其中选择 B 类的人数有 人．
⑵ 在扇形统计图中，求 E 类对应的扇形圆心角a 的度数，并补全条形统计图．
⑶ 若将 A、C、D、E 这四类上学方式视为“绿色出行”，请估计该校每天“绿色出行”的学 生人数．
20．（8 分）甲、乙、丙三名同学准备去公园游玩，他们每人分别从玄武湖公园和莫愁湖公园 中随机选择一家．
⑴ 丙同学选择去玄武湖公园游玩的概率是 ．
⑵ 求甲、乙、丙三名同学恰好选择了同一家公园的概率．
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21．（8 分）有下列命题
①一组对边平行，一组对角相等的四边形是平行四边形．
②两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
③一组对边相等，一组对角相等的四边形是平行四边形．
④一组对边平行，一条对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形．
⑴上述四个命题中，是真命题的是 （填写序号）；
⑵请选择一个真命题进行证明．（写出已知、求证，并完成证明） 已知： ．
求证： ． 证明：
A D
B C
（第 21 题）
22．（8 分）按要求完成下列尺规作图（不写作法，保留作图痕迹）．
⑴ 如图①，线段 AB 沿某条直线 l 折叠后，点 A 恰好落在 A ' 处，求作直线 l ．
⑵ 如图②，线段 MN 绕某个点 O 顺时针旋转 60°后，点 M 恰好落在点 M ' 处，求作点 O．
A M
A' M'
B N
① ②
（第 22 题）
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23．（8 分）如图，长度为 6m 的梯子 AB 斜靠在垂直于地面的墙 OM 上，梯子和水平地面的夹 角为 60°．若将梯子的顶端 A 竖直向下移动，记移动后的位置为 A ' ，底端 B 移动后的位 置为 B ' ．研究发现：当 AA ' £ 0.9 m 时，梯子可保持平衡，当 AA ' > 0.9 m 时，梯子失去平 衡滑落至地面．在平衡状态下，求梯子与地面的夹角 ÐA ' B ' O 的最小值．
（参考数据：» 1.73 ， sin 45°40 ' » 0.715 ， cos 45°40 ' » 0.699 ， sin 44°20 ' » 0.699 ，
cos 44°20 ' » 0.715 ， sin 20°30 ' » 0.35 ， cos 20°30 ' » 0.94 ）
M
A
A'
B' B
O
（第 23 题）
24．（8 分）已知函数 y = - x2 + ( m - 2) x + 1 （m 为常数）．
⑴ 求证：该函数与 x 轴有两个交点．
⑵ 当 m 为何值时，该函数图像的顶点纵坐标有最小值？最小值是多少？
25．（8 分）如图，在△ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作⊙O，分别交 AC、BC 于点 D、E， 点 F 在 AC 的延长线上，且∠A=2∠CBF．
⑴ 求证：BF 与⊙O 相切．
⑵ 若 BC = CF = 4 ，求 BF 的长度．
A
D O
C E
B F
（第 25 题）
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26．（10 分）甲、乙两车同时从 A 地出发，匀速开往 B 地．甲车行驶到 B 地后立即沿原路线 以原速度返回 A 地，到达 A 地后停止运动；当甲车到达 A 地时，乙车恰好到达 B 地，并 停止运动．已知甲车的速度为 150km/h．设甲车出发 x h 后，甲、乙两车之间的距离为 y km， 图中的折线 OMNQ 表示了整个运动过程中 y 与 x 之间的函数关系．
⑴ A、B 两地的距离是 km，乙车的速度是 km/h；
⑵ 指出点 M 的实际意义，并求线段 MN 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式；
⑶ 当两车相距 150km 时，直接写出 x 的值．
y/km
720
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600
480
360
240
120
o
M
N
1 2 3 4 5 6
Q
7 8 9
x/h
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（第 26 题）
27．（10 分）
我们知道，对于线段 a、b、c，如果 a2 = b × c ，那么线段 a 叫作线段 b 和 c 的比例中项．
⑴ 观察下列图形：
① 如图①，在△ABC 中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为 D；
② 如图②，在△ABC 中，AB=BC，∠B=36°，∠ACB 的平分线交 AB 于点 D；
③ 如图③，A 是⊙O 外一点，AC 与⊙O 相切，切点为 C，过点 A 作射线，分别于⊙O
相交于点 B、D．
其中，AC 是 AD 和 AB 的比例中项的是 （填写序号）．
B
C
C D
O
A B D
A D B A C
① ② ③
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⑵ 如图④，直线 l 与⊙O 相切于点 A，B 是 l 上一点，连接 OB，C 是 OB 上一点．若⊙O 的半径 r 是 OB 与 OC 的比例中项，请用直尺和圆规作出点 C．（保留作图痕迹， 不写作法）
O1
F
D
O
O E B C
2
l
A B A
④ ⑤
⑶ 如图⑤，A 是⊙O1 外一点，以 O1 A 为直径的⊙ O2 交⊙ O1 于点 B、C， O1 A 与 BC 交于点 D，E 为直线 BC 上一点（点 E 不与点 B、C、D 重合），作直线 O1 E ，与⊙ O2 交于点 F， 若⊙ O 的半径是 r ，求证： r 是 O E 与 O F 的比例中项．
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