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东城21．如图，在菱形ABCD中，，点E在对角线BD上. 将线段CE绕点C顺时针旋转，得到CF，连接DF.
（1）求证：BE=DF；
（2）连接AC， 若EB=EC ，求证：.
21 . (1) 证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴，.
∵，
∴ .
∴.
∵线段由线段绕点顺时针旋转得到，
∴.
在和中，
∴≌.
∴ ----------------------------------------------------------------------2分
(2) 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴，.
∴.
∵，
∴.
由（1）可知，
∵，
∴.
∴.
∴. ---------------------------------------------------------------------5分
西城21.如图，在Rt△ABC中，，CD⊥AB于点D，
BE⊥AB于点B，BE=CD，连接CE，DE．
（1）求证：四边形CDBE为矩形；
（2）若AC=2，，求DE的长．
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21. （1）证明：如图2.
∵ CD⊥AB于点D，BE⊥AB于点B，
∴ ．
∴ CD∥BE．………………………………… 1分
图2
又∵ BE=CD，
∴ 四边形CDBE为平行四边形．……………2分
又∵，
∴ 四边形CDBE为矩形．……………………………………………… 3分
（2）解：∵ 四边形CDBE为矩形，
∴ DE=BC．………………………………………………………………… 4分
∵ 在Rt△ABC中，，CD⊥AB，
可得 ．
∵ ，
∴ ．
∵ 在Rt△ABC中，，AC=2，，
∴ ．
∴ DE=BC=4．…………………………………………………………… 5分
海淀21．如图，在四边形中，， 交于，是的中点，连接并延长，交于点，恰好是的中点.
（1）求的值；
（2）若，求证：四边形是矩形.
21．（1）解：
∵AB∥CD，
∴∠ABE=∠EDC.
∵∠BEA=∠DEF，
∴△ABE∽△FDE.
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∴.
∵E是BD的中点，
∴BE=DE.
∴AB=DF.
∵F是CD的中点，
∴CF=FD.
∴CD=2AB.
∵ ∠ABE=∠EDC，∠AGB=∠CGD，
∴△ABG∽△CDG.
∴ .
（2）证明：
∵AB∥CF，AB=CF，
∴ 四边形ABCF是平行四边形.
∵CE=BE，BE=DE，
∴CE=ED.
∵CF=FD，
∴EF垂直平分CD.
∴∠CFA=90°.
∴四边形是矩形.
朝阳22. 如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，延长CD到E，使DE=CD，连接AE．
（1）求证：四边形ABDE是平行四边形；
（2）连接OE，若∠ABC=60°，且AD=DE=4，求OE的长．
22. （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵DE＝CD，
∴AB＝DE.
∴四边形ABDE是平行四边形. ……………………2分
（2）解：∵AD＝DE＝4，
∴AD＝AB＝4.
∴□ABCD是菱形. …………………………………………3分
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∴AB＝BC，AC⊥BD，BO＝，∠ABO＝.
又∵∠ABC＝60°，
∴∠ABO＝30°.
在Rt△ABO中，
，.
∴BD＝.
∵四边形ABDE是平行四边形，
∴AE∥BD，.
又∵AC⊥BD，
∴AC⊥AE.
在Rt△AOE中，.…………………………5分
丰台21．如图，BD是△ABC的角平分线，过点D作DE∥BC交AB于点E，DF∥AB交BC于点F．
（1）求证：四边形BEDF为菱形；
（2）如果∠A = 90°，∠C = 30°，BD = 12，求菱形BEDF的面积．
21．（1）证明：∵DE∥BC，DF∥AB，∴四边形BEDF为平行四边形………………1分
∴∠1=∠3.
∵BD是△ABC的角平分线，∴∠1=∠2.
∴∠2=∠3.∴BF=DF.
∴四边形BEDF为菱形.………………………2分
（2）解：过点D作DG⊥BC于点G，则∠BGD=90°.
∵∠A=90°，∠C=30°，∴∠ABC=60°.
由（1）知，BF=DF，∠2=30°，DF∥AB，∴∠DFG=∠ABC=60°.
∵BD=12，∴在Rt△BDG中，DG=6.
∴在Rt△FDG中，DF=. ………………………4分
∴BF= DF=.
∴S菱形BEDF. ………………………5分
（其他证法相应给分）
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石景山21．如图，在四边形中，，，
是边的垂直平分线，连接．
（1）求证：；
（2）若，，求的长．
21．（1）证明：∵是边的垂直平分线，
∴，， ………… 1分
∵，
∴，
又∵，，
∴△≌△.
∴. ………… 2分
（2）解：过点作于点，
可得，，
设，则，
在△中，
， ……… 3分
即，
解之，，（不合题意，舍），………… 4分
即.
∴. ………… 5分
（第21题）
昌平21.如图，已知△ACB中，∠ACB=90°，CE是△ACB的中线，分别过点A、点C作CE和AB的平行线，交于点D．
（1）求证：四边形ADCE是菱形；
（2）若CE=4，且∠DAE=60°，求△ACB的面积．
21．(1)证明：∵AD//CE，CD//AE
∴四边形AECD为平行四边形………………………1分
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∵∠ACB=90°，CE是△ACB的中线
∴CE=AE…………………………………2分
∴四边形ADCE是菱形
（2）解：∵CE=4，AE=CE=EB
∴AB=8，AE=4
∵四边形ADCE是菱形,∠DAE=60°
∴∠CAE=30°…………………………………3分
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，AB=8
，
∴AC =…………………………………4分
∴…………………………………………………5分
房山21. 已知：如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AD=CD，E是对角线BD上一点，且EA=EC．
（1）求证：四边形ABCD是菱形；
（2）如果∠BDC=30°，DE=2，EC=3，求CD的长．
21. 解：（1）∵AD=CD,EA=EC,DE=DE
∴△ADE≌△CDE
∴∠ADE=∠CDE
∵AD∥BC
∴∠ADB=∠DBC
∴∠DBC=∠BDC
∴BC=CD
∴AD=BC
又∵AD∥BC
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∴四边形ABCD是平行四边形…………………………………………………2′
∵AD=CD
∴四边形ABCD是菱形…………………………………………………………3′
（2）作EF⊥CD于F
∵∠BDC=30°，DE=2
∴EF=1,DF=……………………………………………………………………4′
∵CE=3
∴CF=2
∴CD=2+ …………………………………………………………………5′
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