第1课时　解直角三角形.docx

‎1.3　第1课时　解直角三角形　　　　　　　 　　　　　 　　‎ 一、选择题 ‎1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C所对的边，则下列关系式中错误的是(　　)‎ A．b＝c·cosB B．b＝a·tanB C．a＝c·sinA D．a＝ ‎2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA＝，AC＝6 cm，则BC的长为(　　)‎ A．6 cm B．7 cm C．8 cm D．9 cm ‎3．如图K－43－1，点A(t，3)在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为∠α，tanα＝，则t的值是(　　)‎ A．1 B．1.5 C．2 D．3‎ 图K－43－1‎ ‎4．2017·宜昌△ABC在网格中的位置如图K－43－2所示(每个小正方形的边长为1)，AD⊥BC于点D，则下列选项中错误的是(　　)‎ ‎　　　‎ 图K－43－2‎ A．sinα＝cosα B．tanC＝2‎ C．sinβ＝cosβ D．tanα＝1‎ ‎5．如图K－43－3所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于点E，设∠ADE＝α，且cosα＝，AB＝4，则AD的长为(　　)‎ A. B. C. D. 图K－43－3‎ ‎　　‎ ‎6.如图K－43－4，若△ABC和△DEF的面积分别为S1，S2，则(　　)‎ 图K－43－4‎ A．S1＝S2 B．S1＝S2‎ C．S1＝S2 D．S1＝S2‎ 二、填空题 ‎7．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6，cosB＝，则AB＝________，tanA＝________.‎ ‎8．如图K－43－5，AB是⊙O的直径，AB＝15，AC＝9，则tan∠ADC＝________．‎ 图K－43－5‎ ‎9．如图K－43－6，折叠矩形ABCD的一边AD，使点D落在BC边的点F处，已知折痕AE＝5 cm，且tan∠EFC＝，那么矩形ABCD的周长为________cm.‎ ‎　　　‎ 图K－43－6‎ ‎10．2017·义乌以Rt△ABC的锐角顶点A为圆心，适当长为半径作弧，与边AB，AC各相交于一点，再分别以这两个交点为圆心，适当长为半径作弧，过两弧的交点与点A作直线，与边BC交于点D, 若∠ADB＝60°，点D到AC的距离为2，则AB的长为________．‎ ‎11．2017·随州如图K－43－7，∠AOB的边OB与x轴正半轴重合，P是OA上的一动点，N(3，0)是OB上的一定点，M是ON的中点，∠AOB＝30°，要使PM＋PN的值最小，则点P的坐标为________．‎ 图K－43－7‎ 三、解答题 ‎12．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，b∶c＝∶2，a＝5，求b，c，∠A，∠B.‎ ‎13．2016·上海改编如图K－43－8，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，点D在边AC上，且AD＝2CD，DE⊥AB，垂足为E，连结CE.‎ 求：(1)线段BE的长；‎ ‎(2)∠ECB的余弦值．‎ 图K－43－8‎ ‎14．如图K－43－9，这是一把可调节座椅的侧面示意图，已知头枕上的点A到调节器点O处的距离为80 cm，AO与地面垂直，现调整靠背，把OA绕点O旋转35°到OA′处，求调整后点A′比调整前点A的高度降低了多少厘米．‎ ‎(结果取整数．参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70)‎ 图K－43－9‎ ‎15．分类讨论在△ABC中，O为AC的中点，点P在AC上，若OP＝，tanA＝，∠B ‎＝120°，BC＝2 ，求AP的长．‎ ‎16．分类讨论在△ABC中，AB＝12，AC＝，∠B＝30°，求△ABC的面积．‎ ‎1．[答案] A ‎2．[解析] C　∵sinA＝＝，∴设BC＝4x cm，AB＝5x cm.‎ 又∵AC2＋BC2＝AB2，∴62＋(4x)2＝(5x)2，‎ 解得x1＝2，x2＝－2(舍去)，则BC＝8 cm.‎ 故选C.‎ ‎3．[答案] C ‎4．[答案] C ‎5．[解析] B　∵四边形ABCD为矩形，‎ ‎∴∠ADE＋∠CDE＝90°.‎ ‎∵DE⊥AC，∴∠CDE＋∠DCE＝90°，‎ ‎∴∠DCE＝∠ADE＝α.‎ 又∵DC＝AB＝4，cos∠DCE＝，‎ ‎∴＝，∴AC＝，‎ ‎∴AD＝＝.故选B.‎ ‎6．][答案] C　‎ ‎7．[答案] 10　　‎ ‎8．[答案] 　‎ ‎9．][答案] 36‎ ‎[解析] ∵tan∠EFC＝，‎ ‎∴设CE＝3k cm，则CF＝4k cm，‎ 由勾股定理，得EF＝DE＝5k cm，‎ ‎∴DC＝AB＝8k cm.‎ ‎∵∠AFB＋∠BAF＝90°，∠AFB＋∠EFC＝90°，∴∠BAF＝∠EFC，‎ ‎∴tan∠BAF＝tan∠EFC＝，‎ ‎∴BF＝6k cm，‎ ‎∴AF＝BC＝AD＝10k cm.‎ 在Rt△AFE中，由勾股定理，得AE＝＝＝5 ，‎ 解得k＝1(负值已舍去)，‎ 故矩形ABCD的周长＝2(AB＋BC)＝2(8k＋10k)＝36(cm)．‎ 故答案为36.‎ ‎10．[答案] 2 ‎[解析] 如图，由题意可知AD是∠BAC的平分线．过点D作DE⊥AC，垂足为E，则DE＝2，所以DB＝DE＝2；在Rt△ABD中，tan∠ADB＝，所以AB＝2×＝2.‎ ‎11．[答案] ‎[解析] 作点N关于OA的对称点N′，连结MN′交OA于点P，则点P即为所求．显然ON＝ON′，∠NON′＝2∠AOB＝2×30°＝60°，∴△ONN′为等边三角形，MN′⊥ON.∵OM＝，则PM＝OM·tan30°＝×＝，∴点P的坐标为.‎ ‎12．解：∵sinB＝＝，∴∠B＝60°，‎ ‎∴∠A＝90°－∠B＝30°.‎ ‎∵sinA＝，∴c＝＝＝10.‎ 又∵b∶c＝∶2，∴b∶10＝∶2，‎ ‎∴b＝5 .‎ ‎13．解：(1)∵AD＝2CD，AC＝3，∴AD＝2.‎ 在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝3，‎ ‎∴∠A＝45°，‎ AB＝＝3 .‎ ‎∵DE⊥AB，‎ ‎∴∠AED＝90°，∠ADE＝∠A＝45°，‎ ‎∴AE＝AD·cos45°＝，‎ ‎∴BE＝AB－AE＝2 .‎ 即线段BE的长是2 .‎ ‎(2)如图，过点E作EH⊥BC，垂足为H.‎ 在Rt△BEH中，∠EHB＝90°，∠B＝45°，‎ ‎∴EH＝BH＝EB·cos45°＝2.‎ 又∵BC＝3，∴CH＝1.‎ 在Rt△ECH中，‎ CE＝＝＝，‎ ‎∴cos∠ECB＝＝，‎ 即∠ECB的余弦值是.‎ ‎14．解：如图，过点A′作A′B⊥AO于点B，‎ 根据题意知OA＝OA′＝80 cm，∠AOA′＝35°，‎ ‎∴OB＝OA′·cos35°≈80×0.82＝65.6(cm)，‎ ‎∴AB＝OA－OB≈80－65.6≈14(cm)．‎ 答：调整后点A′比调整前点A的高度降低了约14 cm.‎ ‎1.5‎ 解：如图，过点C作CD⊥AB，交AB的延长线于点D，∵∠ABC＝120°，∴∠CBD＝60°.∵BC＝2 ，‎ ‎∴CD＝BC·sin60°＝2×＝3.‎ ‎∵tanA＝，∴AD＝6，‎ ‎∴AC＝＝3，∴AO＝ .‎ ‎∵点P在AC上，且OP＝，‎ ‎∴AP＝2或. ‎ ‎16．解：分两种情况：‎ ‎(1)如图①，过点A作AD⊥BC，垂足为D，‎ 在Rt△ABD中，‎ ‎∵AB＝12，∠B＝30°，‎ ‎∴AD＝AB＝6，‎ BD＝ABcosB＝12×＝6.‎ 在Rt△ACD中，‎ CD＝＝＝，‎ ‎∴BC＝BD＋CD＝6＋＝7，‎ 则S△ABC＝×BC×AD＝×7×6＝21；‎ ‎(2)如图②，过点A作AD⊥BC，交BC的延长线于点D，‎ 由(1)知，AD＝6，BD＝6，CD＝，‎ 则BC＝BD－CD＝5，‎ ‎∴S△ABC＝×BC×AD＝×5×6＝15.‎ 综上，△ABC的面积为21 或15 .‎