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2018年 八年级数学下册 期末压轴题练习（含答案）
一 、填空题：
如图，在矩形ABCD中，AD=6，AE⊥BD，垂足为E，ED=3BE，点P、Q分别在BD，AD上，则AP+PQ的最小值为 .
如图，Rt△ABC中，∠C=90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC=5，OC=6，则另一直角边BC的长为 ．
如图，已知正方形ABCD边长为3，点E在AB边上且BE=1，点P，Q分别是边BC，CD的动点（均不与顶点重合），当四边形AEPQ的周长取最小值时，四边形AEPQ的面积是 ．
如图所示，现有一张边长为4的正方形纸片ABCD，点P为正方形AD边上的一点(不与点A．点D重合)将正方形纸片折叠，使点B落在P处，点C落在G处，PG交DC于H，折痕为EF，连接BP、BH.现给出以下四个命题
（1）∠APB=∠BPH;（2）当点P在边AD上移动时，△PDH的周长不发生变化;
（3）∠PBH=450 ; （4）BP=BH.
其中正确的命题是 ．
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如图，正方形ABCD的边长为4，∠DAC的平分线交DC于点E，若点P、Q分别是AD和AE上的动点，则DQ+PQ的最小值是 ．
二 、综合题：
(1)如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.求证：CE=CF；
(2)如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE=45°，请你利用(1)的结论证明：GE=BE+GD.
(3)运用(1)(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：
如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC(BC＞AD)，∠B=90°，AB=BC，E是AB上一点，且∠DCE=45°，BE=4，DE=10，求直角梯形ABCD的面积.
如图，已知等腰Rt△ABC和△CDE，AC=BC,CD=CE，连接BE、AD，P为BD中点，M为AB中点、N为DE中点，连接PM、PN、MN.
（1）试判断△PMN的形状，并证明你的结论；
（2）若CD=5，AC=12，求△PMN的周长.
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已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．
（1）①当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是： ．
②当E点旋转到CB的延长线上时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：
（2）当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图3），（1）中的结论是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由．
（3）已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图4），则图中阴影部分的面积和的最大值是 cm2．
一位同学拿了两块45°的三角尺△MNK、△ACB做了一个探究活动：将△MNK的直角顶点M放在△ABC的斜边AB的中点处，设AC=BC=a．
（1）如图1，两个三角尺的重叠部分为△ACM，则重叠部分的面积为 ，周长为 ；
（2）将图1中的△MNK绕顶点M逆时针旋转45°，得到图2，此时重叠部分的面积为 ，周长为 ；
（3）如果将△MNK绕M旋转到不同于图1，图2的位置，如图3所示，猜想此时重叠部分的面积为多少？并试着加以验证．
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在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，且∠EAF=∠CEF=45°．
（1）将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△ABG（如图①），求证：△AEG≌△AEF；
（2）若直线EF与AB，AD的延长线分别交于点M，N（如图②），求证：EF2=ME2+NF2；
（3）将正方形改为长与宽不相等的矩形，若其余条件不变（如图③），请你直接写出线段EF，BE，DF之间的数量关系．
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参考答案
答案为：3.
答案为：7；
解法一：如图1所示，过O作OF⊥BC，过A作AM⊥OF，
∵四边形ABDE为正方形，∴∠AOB=90°，OA=OB，∴∠AOM+∠BOF=90°，
又∠AMO=90°，∴∠AOM+∠OAM=90°，∴∠BOF=∠OAM，
在△AOM和△BOF中，，∴△AOM≌△BOF（AAS），∴AM=OF，OM=FB，
又∠ACB=∠AMF=∠CFM=90°，∴四边形ACFM为矩形，∴AM=CF，AC=MF=5，∴OF=CF，
∴△OCF为等腰直角三角形，∵OC=6，∴根据勾股定理得：CF2+OF2=OC2，解得：CF=OF=6，
∴FB=OM=OF﹣FM=6﹣5=1，则BC=CF+BF=6+1=7．故答案为：7．
解法二：如图2所示，过点O作OM⊥CA，交CA的延长线于点M；过点O作ON⊥BC于点N．
易证△OMA≌△ONB，∴OM=ON，MA=NB．∴O点在∠ACB的平分线上，∴△OCM为等腰直角三角形．
∵OC=6，∴CM=ON=6．∴MA=CM﹣AC=6﹣5=1，∴BC=CN+NB=6+1=7．故答案为：7．
答案为：4.5．
答案为：（1）（2）（3）．
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答案为：2；
解：作D关于AE的对称点D′，再过D′作D′P′⊥AD于P′，
∵DD′⊥AE，∴∠AFD=∠AFD′，∵AF=AF，∠DAE=∠CAE，∴△DAF≌△D′AF，
∴D′是D关于AE的对称点，AD′=AD=4，∴D′P′即为DQ+PQ的最小值，
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAD′=45°，∴AP′=P′D′，
∴在Rt△AP′D′中，P′D′2+AP′2=AD′2，AD′2=16，
∵AP′=P′D'，2P′D′2=AD′2，即2P′D′2=16，∴P′D′=2，
即DQ+PQ的最小值为2，
(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴BC=CD，∠B=∠CDF=90°，
∵∠ADC=90°，∴∠FDC=90°.∴∠B=∠FDC，∵BE=DF，
∴△CBE≌△CDF(SAS).∴CE=CF.
(2)证明：如图2，延长AD至F，使DF=BE，连接CF.
由(1)知△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF.
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°，
又∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°.
∵CE=CF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG.∴GE=GF，∴GE=GF=DF+GD=BE+GD.
(3)解：如图3，过C作CG⊥AD，交AD延长线于G.
在直角梯形ABCD中，∵AD∥BC，∴∠A=∠B=90°，
又∵∠CGA=90°，AB=BC，∴四边形ABCG为正方形.∴AG=BC.…
∵∠DCE=45°，根据(1)(2)可知，ED=BE+DG.…∴10=4+DG，即DG=6.
设AB=x，则AE=x﹣4，AD=x﹣6，在Rt△AED中，
∵DE2=AD2+AE2，即102=(x﹣6)2+(x﹣4)2.
解这个方程，得：x=12或x=﹣2(舍去).…∴AB=12.
∴S梯形ABCD=0.5(AD+BC)•AB=0.5×(6+12)×12=108.
即梯形ABCD的面积为108.…
解：（1）①∵正方形ABCD和正方形AEFG有公顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转，E点旋转到DA的延长线上，∴AE=AG，AB=AD，∠EAB=∠GAD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），∴△ABE的面积=△ADG的面积；
②作GH⊥DA交DA的延长线于H，如图2，∴∠AHG=90°，
∵E点旋转到CB的延长线上，∴∠ABE=90°，∠HAB=90°，∴∠GAH=∠EAB，
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在△AHG和△AEB中，∴△AHG≌△AEB，∴GH=BE，
∵△ABE的面积=0.5EB•AB，△ADG的面积=0.5GH•AD，∴△ABE的面积=△ADG的面积；
（2）结论仍然成立．理由如下：
作GH⊥DA交DA的延长线于H，EP⊥BA交BA的延长线于P，如图3，
∵∠PAD=90°，∠EAG=90°，∴∠PAE=∠GAH，
在△AHG和△AEP中，∴△AHG≌△AEP（AAS），∴GH=BP，
∵△ABP的面积=0.5EP•AB，△ADG的面积=0.5GH•AD，∴△ABP的面积=△ADG的面积；
（3）∵AB=5cm，BC=3cm，∴AC==4cm，∴△ABC的面积=0.5×3×4=6（cm2）；
根据（2）中的结论得到阴影部分的面积和的最大值=△ABC的面积的3倍=18cm2．
故答案为相等；相等；18．
解：（1）∵AM=MC=AC=a，则
∴重叠部分的面积是△ACB的面积的一半为0.25a2，周长为（1+）a．
（2）∵重叠部分是正方形∴边长为0.5a，面积为0.25a2，周长为2a．
（3）猜想：重叠部分的面积为0.25a2．
理由如下：过点M分别作AC、BC的垂线MH、MG，垂足为H、G
设MN与AC的交点为E，MK与BC的交点为F
∵M是△ABC斜边AB的中点，AC=BC=a∴MH=MG=0.5a
又∵∠HME+∠HMF=∠GMF+∠HMF，∴∠HME=∠GMF，
∴Rt△MHE≌Rt△MGF∴阴影部分的面积等于正方形CGMH的面积
∵正方形CGMH的面积是MG•MH=0.5a×0.5a =0.25a2,∴阴影部分的面积是0.25a2．
（1）证明：∵△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,∴AF=AG,∠FAG=90°，
∵∠EAF=45°,∴∠GAE=45°，在△AGE与△AFE中，，∴△AGE≌△AFE（SAS）；
（2）证明：设正方形ABCD的边长为a.将△ADF绕着点A顺时针旋转90°,得到△ABG,连结GM．
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则△ADF≌△ABG，DF=BG．由（1）知△AEG≌△AEF，∴EG=EF．
∵∠CEF=45°，∴△BME、△DNF、△CEF均为等腰直角三角形，
∴CE=CF，BE=BM，NF=DF，∴a﹣BE=a﹣DF，∴BE=DF，∴BE=BM=DF=BG，
∴∠BMG=45°，∴∠GME=45°+45°=90°，∴EG2=ME2+MG2，
∵EG=EF，MG=BM=DF=NF，∴EF2=ME2+NF2；
（3）解：EF2=2BE2+2DF2．
如图所示，延长EF交AB延长线于M点，交AD延长线于N点，将△ADF绕着点A顺时针旋转90°，得到△AGH，连结HM，HE．由（1）知△AEH≌△AEF，则由勾股定理有（GH+BE）2+BG2=EH2，即（GH+BE）2+（BM﹣GM）2=EH2
又∴EF=HE，DF=GH=GM，BE=BM，所以有（GH+BE）2+（BE﹣GH）2=EF2，即2（DF2+BE2）=EF2
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