23届初二组练习题.docx

第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题 (初中二年级组) 总分 第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛 决赛试题（初中二年级组·练习用）‎ 一、填空题（每小题 10 分, 共 80 分）‎ ‎1. 计算 .‎ ‎2. 一块正三角形草坪边长为 12 米，三个顶点处都安有喷水装置，每个喷水装 置都可以从三角形的一边到另一边旋转 60º来回喷水．假定三个喷水装置 的射程相等，要使草坪上所有区域都可以被喷水覆盖，那么被重复喷水的 最小面积是 平方米．‎ ‎3. 从 -2，- 3，- 4，- 5 这四个数中，任取两个数 p, q( p ¹ q) ，构成函数 y = px + 2 和 y = -x + q ，如果这两个函数图象的交点在直线 x = 2 的左侧，那么这样的有 序数对 ( p, q) 共有 个．‎ ‎4. 设 p 为质数，如果二次方程 x2 - 2 px + p2 - 5 p - 1 = 0 的两个根都是整数，那么 p 可能取的值有 个.‎ ‎5. 如果（其中 n 是整数，且1986≤n≤2018 ），那么满足条件的 n 的 个数是 . ‎ ‎6. 如图所示，在正六边形 ABCDEF 内放有一个正方形 MNPQ ，正方形的顶点分别在正六边形的 4 条边上， 且 MN //BC ．若正方形 MNPQ 的面积为12 -6平方 厘米，则正六边形 ABCDEF 的面积是 平方厘米．‎ ‎7. 将 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11 这 11 个数排成一行，使得任意 5‎ 个相邻的数的和都是 5 的倍数．那么这样的排列方法有 种．‎ ‎8. 四张卡片，每张写着一个自然数，任取 2 张，或者 3 张，或者 4 张，把卡 片上的数求和，可以得到 11 个不同的和，那么 4 张卡片上所有数的和最小 为 ．‎ 第二十三届华罗庚金杯少年数学邀请赛决赛试题(初中二年级组)‎ 二、解答下列各题（每小题 10 分, 共 40 分, 要求写出简要过程）‎ ‎9. 有 A ，B 两队野外徒步旅行，A 队在 B 队的西偏北 45 度处，两队相距8 千 米．如果 A 队向东继续行走， B 队同时沿西偏南 45 度路线行走，且 A 队与 B 队的速度比是 ，求 A ， B 两队最近时的距离．‎ ‎10. 如果实数 x, y, z 同时满足关系式 x( y2 + z) = z(z + xy) ， y(z2 + x) = x(x + yz) ，‎ z(x2 + y) = y( y + zx) ，那么，实数 x, y, z 是否一定都相等？请给出证明．‎ ‎11. 如图，在四边形 ABCD 中，ÐABC = ÐBCD = 120° ，‎ AB = BC ． 对角线 AC ， BD 相交于点 E ． 若 AE = 3CE ，求证： AB = 2CD ．‎ ‎12. 从 76 个连续自然数 1，2，…，76 中任取 39 个数，其中必有 2 个数的差是 p ，求 p 的值．‎ 三、解答下列各题（每小题 15 分, 共 30 分, 要求写出详细过程）‎ ‎13. 如图，在五边形 ABCDE 中， AB = AE = 1 ， ÐCAD = 45° ， E D ÐE = ÐEAB = ÐB = 90° ，求点 A 到直线CD 的距离． C A B ‎14. 如图，一个由 81 个小方格组成的9 ´ 9 网格．先将其中的 任意 n 个方格染黑，然后按照以下规则继续染色：如果某 个方格至少与 2 个黑格都恰好有 1 个公共顶点，那么就 将这个方格染黑．现在要按照这个方法将整个棋盘都染 成黑色，那么 n 的最小值是多少？说明你的结论．‎