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一元二次方程
小结与复习
类型之一 一元二次方程的有关概念
1．下列关于 x 的方程中，是一元二次方程的是( )
A．x2＋
1
x2＝0
B．ax2＋bx＋c＝0
C．(x－1)(x＋2)＝1
D．5x(x－1)＋7＝5x2－4
2．2017·菏泽关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0 的一个根是 0，则 k 的值
是________．
类型之二 一元二次方程的解法
3．一元二次方程 x2＋6x－5＝0 配方后变形正确的是( )
A．(x－3)2＝14 B．(x＋3)2＝4
C．(x＋6)2＝
1
2 D．(x＋3)2＝14
4．选择适当的方法解下列方程：
(1)(x－1)2＋2x(x－1)＝0; (2)x2－6x－6＝0；
(3)6000(1－x)2＝4860;
(4)(10＋x)(50－x)＝800；
(5)3x(x－2)＝2(2－x)．
类型之三 一元二次方程根的判别式2
5．已知关于 x 的一元二次方程 3x2＋4x－5＝0，下列说法正确的是( )
A．方程有两个相等的实数根
B．方程有两个不相等的实数根
C．没有实数根
D．无法确定
6．2017·凉山州若关于 x 的一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0 有实数根，则 k 的取值
范围是________．
7．已知关于 x 的方程 x2－(2m＋1)x＋m(m＋1)＝0.
(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；
(2)已知方程的一个根为 x＝0，求代数式(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5 的值．
类型之四 一元二次方程根与系数的关系
8．2017·张家界已知一元二次方程 x2 －3x－4＝0 的两根是 m，n，则 m2 ＋n2 ＝
________．
9．2017·黄冈已知关于x 的一元二次方程 x2＋(2k＋1)x＋k2＝0 有两个不相等的实数根．
(1)求 k 的取值范围；
(2)设方程的两个实数根分别为 x1，x2，当 k＝1 时，求 x12＋x22 的值．
类型之五 一元二次方程的应用
10．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字大 7，且十位上的数字与个位上的数字
和的平方等于这个两位数，这个两位数是________．
11．某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出 20 件，每件赢利 40 元，为了扩大销售，
增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降
价 1 元，那么商场平均每天可多售出 2 件．
(1)若商场平均每天要赢利 1200 元，则每件衬衫应降价多少元？
(2)每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？3
12．如图 2－X－1，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长 25 m)，另
外三边用木栏围成，木栏长 40 m.
(1)若养鸡场面积为 200 m2，求养鸡场平行于墙的一边长．
(2)养鸡场的面积能达到 250 m2 吗？如果能，请给出设计方案；如果不能，请说明理
由．
图 2－X－1
13．2017·桂林为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已
知 2015 年该市投入基础教育经费 5000 万元，2017 年投入基础教育经费 7200 万元．
(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；
(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划 2018 年用不超过当年
基础教育经费的 5%购买电脑和实物投影仪共 1500 台，调配给农村学校，若购买一台电脑需
3500 元，购买一台实物投影仪需 2000 元，则最多可购买电脑多少台？
类型之六 数学活动
14．在一块长 16 m，宽 12 m 的矩形荒地上，要建造一个花园，要求花园面积是荒地面积
的一半，如图 2－X－2 是小华与小芳的设计方案．4
图 2－X－2
(1)同学们都认为小华的方案是正确的，但对小芳的方案是否符合条件有不同意见，你认
为小芳的方案符合条件吗？若不符合，请用方程的方法说明理由；
(2)你还有其他的设计方案吗？请在图③中画出你所设计的草图，将花园部分涂上阴影，
并加以说明．
5
1．C [解析] 一元二次方程必须满足三个条件：(1)是整式方程；(2)含有一个未知数；
(3)未知数的最高次数是 2.
2．0 [解析] 由于关于x 的一元二次方程(k－1)x2＋6x＋k2－k＝0 的一个根是 0，把 x＝
0 代入方程，得 k2－k＝0，解得 k1＝1，k2＝0.当 k＝1 时，由于二次项系数 k－1＝0，方程(k
－1)x2＋6x＋k2－k＝0 不是关于 x 的二次方程，故 k≠1.所以 k 的值是 0.
3．D [解析] 原方程变形为 x2＋6x＝5，方程两边都加上 32，
得 x2＋6x＋32＝14，∴(x＋3)2＝14.
4．(1)x1＝1，x2＝
1
3
(2)x1＝3＋ 15，x2＝3－ 15
(3)x1＝1.9，x2＝0.1
(4)x1＝10，x2＝30
(5)x1＝－
2
3，x2＝2
5．B [解析] ∵Δ＝b2－4ac＝42－4×3×(－5)＝76＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．故选 B.
6．k≤5 且 k≠1 [解析] ∵一元二次方程(k－1)x2＋4x＋1＝0 有实数根，
∴k－1≠0，且 b2－4ac＝16－4(k－1)≥0，解得 k≤5 且 k≠1.
7．解：(1)证明：∵b2－4ac＝[－(2m＋1)]2－4m(m＋1)＝1＞0，∴方程总有两个不相等
的实数根．
(2)(2m－1)2＋(3＋m)(3－m)＋7m－5＝4m2－4m＋1＋9－m2＋7m－5＝3m2＋3m＋5＝3m(m
＋1)＋5，
∵方程的一个根为 x＝0，
∴m(m＋1)＝0，
∴原式＝3m(m＋1)＋5＝5.
8．17 [解析] ∵m，n 是一元二次方程 x2－3x－4＝0 的两个根，
∴m＋n＝3，mn＝－4，
则 m2＋n2＝(m＋n)2－2mn＝9＋8＝17.
9．解：(1)∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ＝b2－4ac＝(2k＋1)2－4k2＝4k＋1＞0，
解得 k＞－
1
4.
(2)当 k＝1 时，方程为 x2＋3x＋1＝0，
∵x1＋x2＝－3，x1x2＝1，
∴x12＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝9－2＝7.
10．81 [解析] 设这个两位数个位上的数字为 x，则十位上的数字为 x＋7，
依题意，得(x＋7＋x)2＝10(x＋7)＋x，
整理得 4x2＋17x－21＝0，
解得 x1＝1，x2＝－
21
4 (舍去)，所以 x＝1，x＋7＝8，所以这个两位数是 81.
11．解：(1)设每件衬衫应降价 x 元，
根据题意得(40－x)(20＋2x)＝1200，
整理得 2x2－60x＋400＝0，6
解得 x1＝20，x2＝10.
因为要尽量减少库存，在获利相同的条件下，降价越多，销售越快，故每件衬衫应降价 20
元．
(2)设每件衬衫降价 x 元时，商场平均每天赢利 y 元，则 y＝(20＋2x)(40－x)
＝－2x2＋60x＋800
＝－2(x2－30x－400)
＝－2[(x－15)2－625]
＝－2(x－15)2＋1250.
所以当 x＝15 时，y 取最大值．
答：每件衬衫降价 15 元时，商场平均每天赢利最多．
12．解：(1)设养鸡场垂直于墙的一边长为xm，则平行于墙的一边长为(40－2x)m，根据
题意得
x(40－2x)＝200，－2x2＋40x－200＝0，
解得 x1＝x2＝10，则 40－2x＝20.
答：养鸡场平行于墙的一边长为 20 m.
(2)假设能达到，根据(1)中所设，根据题意得 x(40－2x)＝250，
∴－2x2＋40x－250＝0.
∵b2－4ac＝402－4×(－2)×(－250)＜0，
∴方程无实数根，
∴不能使养鸡场的面积达到 250 m2.
13．解：(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为 x，
根据题意得 5000(1＋x)2＝7200，
解得 x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．
答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为 20%.
(2)2018 年投入基础教育经费为 7200×(1＋20%)＝8640(万元)．
设购买电脑 m 台，则购买实物投影仪(1500－m)台，
根据题意得 3500m＋2000(1500－m)≤86400000×5%，解得 m≤880.
答：最多可购买电脑 880 台．
14．解：(1)不符合．理由：设小路的宽度均为 x m，根据题意，得(16－2x)(12－2x)＝
1
2×16×12.
解这个方程得 x1＝2，x2＝12.
但 x＝12 不符合题意，应舍去，∴x＝2.
∴小芳的方案不符合条件，小路的宽度应为 2 m.
(2)答案不唯一. 例如：
说明略．
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