2018_2019学年度九年级数学上册第二十二章二次函数22.2二次函数与一元二次方程同步练习新版新人教版.doc

1 22.2 二次函数与一元二次方程 学校：___________姓名：___________班级：___________ 一．选择题（共 12 小题） 1．抛物线 y=x2﹣x﹣6 与 x 轴的交点坐标是（　　） A．（3，0） B．（﹣2，0） C．（﹣6，0），（1，0） D．（3，0），（﹣2，0） 2．下列二次函数中，（　　）的图象与 x 轴没有交点． A．y=3x2 B．y=2x2﹣4 C．y=3x2﹣3x+5 D．y=8x2+5x﹣3 3．如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象与 x 轴两交点的横坐标分别为 x1，x2，且 x1＜0＜x2， 则当 ax2+bx+c≤0 时，x 的取值范围是（　　） A．x1＜x＜x2 B．x1≤x≤x2 C．﹣x1≤x≤x2 D．x≤x1 或 x≥x2 4．如果二次函数 y=﹣x2﹣2x+c 的图象在 x 轴的下方，则 c 的取值范围为（　　） A．c＜﹣1 B．c≤﹣1 C．c＜0 D．c＜1 5．根据抛物线 y=x2+3x﹣1 与 x 轴的交点的坐标，可以求出下列方程中哪个方程的近似解 （　　） A．x2﹣1=﹣3x B．x2+3x+1=0 C．3x2+x﹣1=0 D．x2﹣3x+1=0 6．已知二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标（﹣1，﹣3.2）及部分图象（如图），由 图象可知关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根分别是 x1=1.3 和 x2=（　　） A．﹣1.3 B．﹣2.3 C．﹣0.3 D．﹣3.3 7．如图，二次函数 y=ax2+bx+c 的图象经过点 A（﹣1，0）、点 B（3，0）、点 C（4，y1）， 若点 D（x2，y2）是抛物线上任意一点，有下列结论：2 ①二次函数 y=ax2+bx+c 的最小值为﹣4a； ②若﹣1≤x2≤4，则 0≤y2≤5a； ③若 y2＞y1，则 x2＞4； ④一元二次方程 cx2+bx+a=0 的两个根为﹣1 和 其中正确结论的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 8．函数 y=ax2+2ax+m（a＜0）的图象过点（2，0），则使函数值 y＜0 成立的 x 的取值范围 是（　　） A．x＜﹣4 或 x＞2 B．﹣4＜x＜2 C．x＜0 或 x＞2 D．0＜x＜2 9．对于抛物线 y=ax2+（2a﹣1）x+a﹣3，当 x=1 时，y＞0，则这条抛物线的顶点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 10．已知函数 y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3，并且 a，b 是方程（x﹣m）（x﹣n）=3 的两个根， 则实数 m，n，a，b 的大小关系可能是（　　） A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜b＜n D．a＜m＜n＜b 11．关于 x 的方程（x﹣3）（x﹣5）=m（m＞0）有两个实数根 α，β（α＜β），则下列 选项正确的是（　　） A．3＜α＜β＜5 B．3＜α＜5＜β C．α＜2＜β＜5 D．α＜3 且 β＞5 12．若关于 x 的一元二次方程 x2+bx+c=0 的两个根分别为 x1=1，x2=2，那么抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为直线（　　） A．x=1 B．x=2 C．x= D．x=﹣ 　 二．填空题（共 5 小题） 13．若函数 y=x2+2x﹣m 的图象与 x 轴有且只有一个交点，则 m 的值为　 　．3 14．如图，抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A（﹣2，4），B（1，1）， 则方程 ax2=bx+c 的解是　 　． 15．已知二次函数 y=ax2+bx+c 的部分图象如图所示，则关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的两个根 的和为　 　． 16．已知抛物线 y=x2﹣（k﹣1）x﹣3k﹣2 与 x 轴交于 A （α，0），B（β，0）两点，且 α2+β2=17，则 k=　 　． 17．已知一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）=5 的两个实数根分别为 x 1，x2．则抛物线 y= （x﹣x1）（x﹣x2）+5 与 x 轴的交点坐标为　 　． 　 三．解答题（共 4 小题） 18．已知关于 x 的一元二次方程 mx2+（1﹣5m）x﹣5=0（m≠0）． （1）求证：无论 m 为任何非零实数，此方程总有两个实数根； （2）若抛物线 y=mx 2+（1﹣5m）x﹣5=0 与 x 轴交于 A（x 1，0）、B（x 2，0）两点，且 |x1﹣x2|=6，求 m 的值； （3）若 m＞0，点 P（a，b）与 Q（a+n，b）在（2）中的抛物线上（点 P、Q 不重合），求 代数式 4a2﹣n2+8n 的值．4 19．设二次函数 y=ax2+bx﹣（a+b）（a，b 是常数，a≠0）． （1）判断该二次函数图象与 x 轴的交点的个数，说明理由． （2）若该二次函数图象经过 A（﹣1，4），B（0，﹣1），C（1，1）三个点中的其中两个 点，求该二次函数的表达式． （3）若 a+b＜0，点 P（2，m）（m＞0）在该二次函数图象上，求证：a＞0． 20．已知二次函数 y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）（m 为常数）． （1）求证：不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点； （2）当 m 取什么值时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方？5 21．如图，抛物线 y=﹣ x2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，已知点 A（﹣1， 0），点 C（0，2） （1）求抛物线的函数解析式； （2）若 D 是抛物线位于第一象限上的动点，求△BCD 面积的最大值及此时点 D 的坐标． 　6 参考答案与试题解析 　 一．选择题（共 12 小题） 1． 解：令 y=0，求出 x 的值为﹣2 与 3，故交点坐标为（3，0），（﹣2，0）， 故选：D． 　 2． 解：利用△=b2﹣4ac 分别判断每个二次函数， A 项函数△=0，图象与 x 轴一个交点； B 项函数△=32＞0，图象与 x 轴有两个交点； C 项函数△=﹣51＜0，图象与 x 轴没有交点； D 项函数△=76＞0，图象与 x 轴有两个交点． 故选：C． 　 3． 解：当 ax2+bx+c≤0 时，即 y≤0，由图象可知：x1≤x≤x2 时，y≤0 ∴当 ax2+bx+c≤0 时，x 的取值范围是 x1≤x≤x2． 故选：B． 　 4． 解：由题意得 ，解得 c＜﹣1， 故选：A． 　 5． 解：∵抛物线 y=x2+3x﹣1 与 x 轴的交点的横坐标就是方程 x2+3x﹣1=0 的根， ∴可以求出方程 x2+3x﹣1=0 的根， 方程 x2﹣1=﹣3x 与方程 x2+3x﹣1=0 等价， ∴可以求出方程 x2﹣1=﹣3x 的根．7 故选：A． 　 6． 解：方法一： ∵二次函数 y=ax2+bx+c 的顶点坐标（﹣1，﹣3.2） ∴﹣ =﹣1 则﹣ =﹣2 ∵x1x2 是一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两根 ∴x1+x2=﹣ 又∵x1=1.3 ∴x1+x2=1.3+x2=﹣2 解得 x2=﹣3.3． 方法二： 根据对称轴为；x=﹣1，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0 的两个根分别是 x1=1.3， 则 =﹣1，即 =﹣1， 解得：x2=﹣3.3， 故选：D． 　 7． 解：抛物线解析式为 y=a（x+1）（x﹣3）， 即 y=ax2﹣2ax﹣3a， ∵y=a（x﹣1）2﹣4a， ∴当 x=1 时，二次函数有最小值﹣4a，所以①正确； 当 x=4 时，y=a•5•1=5a， ∴当﹣1≤x2≤4，则﹣4a≤y2≤5a，所以②错误； ∵点 C（1，5a）关于直线 x=1 的对称点为（﹣2，﹣5a）， ∴当 y2＞y1，则 x2＞4 或 x＜﹣2，所以③错误； ∵b=﹣2a，c=﹣3a， ∴方程 cx2+bx+a=0 化为﹣3ax2﹣2ax+a=0，8 整理得 3x2+2x﹣1=0，解得 x1=﹣1，x2= ，所以④正确． 故选：B． 　 8． 解：抛物线 y=ax2+2ax+m 得对称轴为直线 x=﹣ =﹣1， 而抛物线与 x 轴的一个交点坐标为（2，0）， ∴抛物线与 x 轴的另一个交点坐标为（﹣4，0）， ∵a＜0， ∴抛物线开口向下， ∴当 x＜﹣4 或 x＞2 时，y＜0． 故选：A． 　 9． 解：把 x=1，y＞0 代入解析式可得：a+2a﹣1+a﹣3＞0， 解得：a＞1， 所以可得：﹣ ， ， 所以这条抛物线的顶点一定在第三象限， 故选：C． 　 10． 解：函数 y=﹣（x﹣m）（x﹣n）+3， 令 y=0，根据题意得到方程（x﹣m）（x﹣n）=3 的两个根为 a，b， ∵当 x=m 或 n 时，y=3＞0， ∴实数 m，n，a，b 的大小关系为 a＜m＜n＜b． 故选：D． 　 11． 解：将抛物线 y=（x﹣3）（x﹣5）往下平移 m 个单位可得出抛物线 y=（x﹣3）（x﹣5） ﹣m，9 画出函数图象，如图所示． ∵抛物线 y=（x﹣3）（x﹣5）与 x 轴的交点坐标为（3，0）、（5，0），抛物线 y=（x﹣3） （x﹣5）﹣m 与 x 轴的交点坐标为（α，0）、（β，0）， ∴α＜3＜5＜β． 故选：D． 　 12． 解：∵方程 x2+bx+c=0 的两个根分别为 x1=1、x2=2， ∴抛物线 y=x2+bx+c 与 x 轴的交点坐标为（1，0）、（2，0）， ∴抛物线 y=x2+bx+c 的对称轴为直线 x= = ． 故选：C． 　 二．填空题（共 5 小题） 13． 解：∵函数 y=x2+2x﹣m 的图象与 x 轴有且只有一个交点， ∴△=22﹣4×1×（﹣m）=0， 解得：m=﹣1． 故答案为：﹣1． 　 14． 解：∵抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A（﹣2，4），B（1，1）， ∴方程组 的解为 ， ， 即关于 x 的方程 ax2﹣bx﹣c=0 的解为 x1=﹣2，x2=1．10 所以方程 ax2=bx+c 的解是 x1=﹣2，x2=1 故答案为 x1=﹣2，x2=1． 　 15． 解：∵二次函数 y=ax2+bx+c 的对称轴为 x=1， ∴﹣ =1， ∴b=﹣2a， ∴关于 x 的方程 ax2+bx+c=0 的两个根的和为﹣ =2． 故答案为：2． 　 16． 解：∵抛物线 y=x2﹣（k﹣1）x﹣3k﹣2 与 x 轴交于 A （α，0），B（β，0）两点， ∴α+β=k﹣1，αβ=﹣3k﹣2， ∵α2+β2=17， ∴α2+β2=（α+β）2﹣2αβ=（k﹣1）2﹣2（﹣3k﹣2）=17， 解得，k=2 或 k=﹣6， ∵△≥0， ∴k=2． 故答案为：2． 　 17． 解：∵一元二次方程（x﹣1）（x﹣3）=5 的两个实数根分别为 x1、x2， ∴抛物线 y=（x﹣1）（x﹣3）﹣5 与 x 轴交于点（x1，0）、（x2，0）， ∴y=（x﹣1）（x﹣3）﹣5=（x﹣x1）（x﹣x2）， ∴y=（x﹣x1）（x﹣x2）+5=（x﹣1）（x﹣3）， ∴抛物线 y=（x﹣x1）（x﹣x2）+5 与 x 轴的交点坐标为（1，0）、（3，0）． 故答案为：（1，0）、（3，0）． 　 三．解答题（共 4 小题）11 18． （1）证明：由题意可得： △=（1﹣5m）2﹣4m×（﹣5） =1+25m2﹣20m+20m =25m2+1＞0， 故无论 m 为任何非零实数，此方程总有两个实数根； （2）解：mx2+（1﹣5m）x﹣5=0， 解得：x1=﹣ ，x2=5， 由|x1﹣x2|=6， 得|﹣ ﹣5|=6， 解得：m=1 或 m=﹣ ； （3）解：由（2）得，当 m＞0 时，m=1， 此时抛物线为 y=x2﹣4x﹣5，其对称轴为：x=2， 由题已知，P，Q 关于 x=2 对称， ∴ =2，即 2a=4﹣n， ∴4a2﹣n2+8n=（4﹣n）2﹣n2+8n=16． 　 19． 解：（1） 由题意△=b2﹣4•a[﹣（a+b）]=b2+4ab+4a2=（2a+b）2≥0 ∴二次函数图象与 x 轴的交点的个数有两个或一个 （2）当 x=1 时，y=a+b﹣（a+b）=0 ∴抛物线不经过点 C 把点 A（﹣1，4），B（0，﹣1）分别代入得12 解得 ∴抛物线解析式为 y=3x2﹣2x﹣1 （3）当 x=2 时 m=4a+2b﹣（a+b）=3a+b＞0① ∵a+b＜0 ∴﹣a﹣b＞0② ①②相加得： 2a＞0 ∴a＞0 　 20． （1）证明：当 y=0 时，2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=0， 解得：x1=1，x2=m+3． 当 m+3=1，即 m=﹣2 时，方程有两个相等的实数根； 当 m+3≠1，即 m≠﹣2 时，方程有两个不相等的实数根． ∴不论 m 为何值，该函数的图象与 x 轴总有公共点； （2）解：当 x=0 时，y=2（x﹣1）（x﹣m﹣3）=2m+6， ∴该函数的图象与 y 轴交点的纵坐标为 2m+6， ∴当 2m+6＞0，即 m＞﹣3 时，该函数的图象与 y 轴的交点在 x 轴的上方． 　 21． 解：（1）将 A，C 代入得： ， 解得： ， 则抛物线的函数解析式为 y=﹣ x2+ x+2； （2）连接 OD，则有 B（4，0），设 D（m，﹣ m2+ m+2）， ∵S 四边形 OCDB﹣S△OCD﹣S△OBD= ×2m+ ×4（﹣ m2+ m+2）=﹣m2+4m+4，13 ∴S△BCD=S 四边形 OCDB﹣S△OBC=﹣m2+4m+4﹣ ×4×2=﹣m2+4m=﹣（m﹣2）2+4， 当 m=2 时，S△BCD 取得最大值 4， 此时 yD=﹣ ×4+ ×2+2=3，即 D（2，3）．