九年级数学下册第2章直线与圆的位置关系复习题（新版）浙教版.doc

1 第 2 章　直线与圆的位置关系 类型之一　直线与圆的位置关系 1．以坐标原点 O 为圆心，作半径为 2 的圆，若直线 y＝－x＋b 与⊙O 相交，则 b 的取 值范围是(　　) A．0≤b＜2 2 B．－2 2≤b≤2 2 C．－2 3＜b＜2 3 D．－2 2＜b＜2 2 2．如图 2－X－1 所示，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4.动点 O 在边 CA 上移 动，且⊙O 的半径为 2. (1)若圆心 O 与点 C 重合，则⊙O 与直线 AB 有怎样的位置关系？ (2)当 OC 的长为多少时，⊙O 与直线 AB 相切？ 图 2－X－1 类型之二　切线的判定与性质 3．如图 2－X－2，⊙O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，P 是直线 l 上的一个动 点，PB 切⊙O 于点 B，则 PB 长的最小值为(　　) A. 13 B. 5 C．3 D．2 2 图 2－X－2 　　 图 2－X－3 4．2017·枣庄如图 2－X－3，在平行四边形ABCD 中，AB 为⊙O 的直径，⊙O 与 DC 相切 于点 E，与 AD 相交于点 F，已知 AB＝12，∠C＝60°，则弧 FE 的长为________． 5．如图 2－X－4 所示，AC 是⊙O 的直径，PA 是⊙O 的切线，A 为切点，连结 PC 交⊙O 于点 B，连结 AB，已知 PC＝10，PA＝6. 求：(1)⊙O 的半径； (2)cos∠BAC 的值． 图 2－X－4 6．如图 2－X－5，AB 是⊙O 的直径，OD⊥弦 BC 于点 F，交⊙O 于点 E，连结 CE，AE， CD.若∠AEC＝∠ODC. (1)求证：直线 CD 为⊙O 的切线； (2)若 AB＝5，BC＝4，求线段 CD 的长．3 图 2－X－5 7．如图 2－X－6，已知 AB 是⊙O 的直径，弦 CD 与直径 AB 相交于点 F，点 E 在⊙O 外， 作直线 AE，且∠EAC＝∠D. (1)求证：直线 AE 是⊙O 的切线； (2)若∠BAC＝30°，BC＝4，cos∠BAD＝ 3 4，CF＝ 10 3 ，求 BF 的长． 图 2－X－6 类型之三　切线长定理 8．如图 2－X－7 所示，正方形 ABCD 的边长为 4 cm，以正方形的一边 BC 为直径在正方 形 ABCD 内作半圆，再过点 A 作半圆的切线，与半圆切于点 F，与 CD 交于点 E，求△ADE 的 面积． 图 2－X－74 类型之四　三角形的内切圆 9．图 2－X－8 是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角形，两直 角边长分别为 6 m 和 8 m．按照输油中心 O 到三条支路的距离相等来连结管道，则 O 到三条 支路的管道总长(计算时视管道为线，中心 O 为点)是(　　 ) A．2 m B．3 m C．6 m D．9 m 图 2－X－8 　　　　 图 2－X－9 10．如图 2－X－9，在 Rt△ABC 中，AC＝8，BC＝6，∠C＝90°，⊙I 分别切 AC，BC，AB 于点 D，E，F，则 Rt△ABC 的内心 I 与外心 O 之间的距离为________． 11．已知任意三角形的三边长，如何求三角形的面积？ 古希腊的几何学家海伦解决了这个问题，在他的著作《度量论》一书中给出了计算公式 ——海伦公式 S＝ p（p－a）（p－b）（p－c）(其中 a，b，c 是三角形的三边长，p＝ a＋b＋c 2 ，S 为三角形的面积)． 请解决以下问题： 如图 2－X－10，在△ABC 中，BC＝5，AC＝6，AB＝9. (1)用海伦公式求△ABC 的面积； (2)求△ABC 的内切圆半径 r. 图 2－X－105 类型之五　数学活动 12．如图 2－X－11 所示，在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A(－ 9 4，0)，点C(0，3)，B 是 x 轴上一点(位于点 A 右侧)，以 AB 为直径的圆恰好经过点 C. (1)求∠ACB 的度数． (2)已知抛物线 y＝ax2＋bx＋3 经过 A，B 两点，求抛物线所对应的函数表达式． (3)线段 BC 上是否存在点 D，使△BOD 为等腰三角形？若存在，请求出所有符合条件的 点 D 的坐标；若不存在，请说明理由． 图 2－X－116 详解详析 1.D　[解析] 如图，直线 y＝－x 平分二、四象限，将直线 y＝－x 向上平移得直线 y＝－ x＋b1，当直线 y＝－x＋b1 与⊙O 相切于点 C 时，由平移知∠CAO＝∠AOC＝45°，OC＝2，∴ OA＝b1＝2 2，同理将直线 y＝－x 向下平移，得直线 y＝－x＋b2，当直线 y＝－x＋b2 与⊙O 相切时，此时 b2＝－2 2，∴当直线 y＝－x＋b 与⊙O 相交时，b 的取值范围为－2 2＜ b＜2 2. 2．解：(1)如图所示，过点 C 作 CM⊥AB，垂足为 M. 在 Rt△ABC 中， AB＝ AC2＋BC2＝ 32＋42＝5. ∵S△ABC＝ 1 2AC·BC＝ 1 2AB·CM， ∴CM＝ 12 5 . ∵ 12 5 ＞2，∴当圆心 O 与点 C 重合时，⊙O 与直线 AB 相离． (2)如图所示，设⊙O 与 AB 相切，过点 O 作 ON⊥AB 于点 N，则 ON＝r＝2. ∵CM⊥AB，ON⊥AB，∴ON∥CM， ∴△AON∽△ACM， ∴ AO AC＝ ON CM.7 设 OC＝x，则 AO＝3－x，∴ 3－x 3 ＝ 2 12 5 ， ∴x＝ 1 2，∴当 OC＝ 1 2时，⊙O 与直线 AB 相切． 3．B　 4．π　[解析] 如图，连结 OE，OF， ∵CD 是⊙O 的切线， ∴OE⊥CD， ∴∠OED＝90°. ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠C＝60°，∴∠A＝∠C＝60°，∠D＝120°. ∵OA＝OF，∴∠A＝∠OFA＝60°， ∴∠DFO＝120°， ∴∠EOF＝360°－∠D－∠DFO－∠DEO＝30°，∴EF︵ 的长为 30π 180 ×6＝π.故答案为π. 5．解：(1)∵PA 是⊙O 的切线，AC 为⊙O 的直径， ∴PA⊥AC. 在 Rt△ACP 中，PA＝6，PC＝10， ∴AC＝ PC2－PA2＝8， ∴AO＝ 1 2AC＝4. 故⊙O 的半径为 4. (2)∵AC 为⊙O 的直径， ∴∠ABC＝90°. 又∵∠PAC＝90°，∠ACB＝∠PCA，8 ∴△ABC∽△PAC， ∴∠BAC＝∠P， ∴cos∠BAC＝cosP＝ PA PC＝ 6 10＝ 3 5. 6．解：(1)证明：连结 CO. ∵圆周角∠AEC 与∠ABC 所对的弧相同， ∴∠ABC＝∠AEC. 又∠AEC＝∠ODC，∴∠ABC＝∠ODC. ∵OC＝OB，OD⊥BC， ∴∠OCB＝∠OBC，且∠OCB＋∠COD＝90°. ∴∠ODC＋∠COD＝90°， ∴∠OCD＝180°－∠ODC－∠COD＝90°， 即 OC⊥CD. 又 OC 为⊙O 的半径， ∴直线 CD 为⊙O 的切线． (2)在⊙O 中，OD⊥弦 BC 于点 F， ∴BF＝CF＝ 1 2BC＝2. 又 OB＝ 1 2AB＝ 5 2， ∴OF＝ OB2－BF2＝ 3 2. 由(1)知∠OBF＝∠CDF，且∠OFB＝∠CFD， ∴△OFB∽△CFD， ∴ OF OB＝ CF CD，∴CD＝ OB·CF OF ＝ 5 2 × 2 3 2 ＝ 10 3 .9 7．解：(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BCA＝90°， ∴∠B＋∠BAC＝90°. ∵∠D＝∠B，∠EAC＝∠D，∴∠EAC＝∠B， ∴∠EAC＋∠BAC＝90°，即∠BAE＝90°， ∴BA⊥AE. 又∵AB 是⊙O 的直径， ∴直线 AE 是⊙O 的切线． (2)如图，过点 F 作 FH⊥BC 于点 H， ∵∠BAD＝∠BCD， cos∠BAD＝ 3 4， ∴cos∠BCD＝ 3 4. 在 Rt△CFH 中，∵CF＝ 10 3 ， ∴CH＝CF·cos∠BCD＝ 10 3 × 3 4＝ 5 2. ∵BC＝4， ∴BH＝BC－CH＝4－ 5 2＝ 3 2. ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠BCA＝90°. ∵∠BAC＝30°，10 ∴∠B＝60°， ∴BF＝ BH cos60°＝ 3 2 1 2 ＝3. 8．解：设 DE＝x cm，则 CE＝(4－x)cm. ∵CD，AE，AB 均为⊙O 的切线， ∴EF＝CE＝(4－x)cm，AF＝AB＝4 cm， ∴AE＝AF＋EF＝(8－x)cm. 在 Rt△ADE 中，AE2＝AD2＋DE2， 即(8－x)2＝42＋x2，解得 x＝3. ∴S△ADE＝ 1 2AD·DE＝ 1 2×4×3＝6(cm2)． 9．C　[解析] 在 Rt△ABC 中，BC＝8 m，AC＝6 m， 则 AB＝ BC2＋AC2＝ 82＋62＝10(m)． ∵中心 O 到三条支路的距离相等，设该距离是 r m. △ABC 的面积＝△AOB 的面积＋△BOC 的面积＋△AOC 的面积，即 1 2AC·BC＝ 1 2AB·r＋ 1 2 BC·r＋ 1 2AC·r， ∴6×8＝10r＋8r＋6r， ∴r＝ 48 24＝2. 故 O 到三条支路的管道总长是 2×3＝6(m)． 故选 C.11 10. 5　[解析] 根据题意，得⊙I 的半径 r＝ AC＋BC－AB 2 ＝2. 连结 ID，IE，IF，IO，则四边形 CEID 为正方形，∴ID＝CE＝2，BF＝BE＝4，OF＝1， 在 Rt△IFO 中，IO＝ OF2＋IF2＝ 12＋22＝ 5. 11．解：(1)∵BC＝5，AC＝6，AB＝9， ∴p＝ BC＋AC＋AB 2 ＝ 5＋6＋9 2 ＝10， ∴S＝ p（p－a）（p－b）（p－c） ＝ 10 × 5 × 4 × 1＝10 2. 故△ABC 的面积为 10 2. (2)∵S＝ 1 2r(AC＋BC＋AB)， ∴10 2＝ 1 2r(5＋6＋9)， 解得 r＝ 2， 故△ABC 的内切圆半径 r 为 2. 12．解：(1)90°. (2)在 Rt△ABC 中， ∵OA·OB＝OC2，∴OB＝4. 即点 B 的坐标为(4，0)． 设抛物线所对应的函数表达式为 y＝a(x－4)(x＋ 9 4)＝ax2＋bx＋3. 比较常数项得 a＝－ 1 3， ∴抛物线所对应的函数表达式为 y＝－ 1 3(x－4)(x＋ 9 4)． (3)存在．直线 BC 所对应的函数表达式为 3x＋4y＝12，设点 D 的坐标为(x，y)．12 ①若 BD＝OD，则点 D 在 OB 的垂直平分线上，点 D 的横坐标为 2，纵坐标为 3 2， 即 D1(2， 3 2)． ②若 OB＝BD＝4，则 y CO＝ BD BC， x BO＝ CD BC， 得 y＝ 12 5 ，x＝ 4 5，即 D2( 4 5， 12 5 )． 综上所述，线段 BC 上存在点 D，使△BOD 为等腰三角形，符合条件的点 D 的坐标为(2， 3 2)或( 4 5， 12 5 )．