九年级数学下册第1章解直角三角形复习题（新版）浙教版.doc

1 第 1 章　解直角三角形 类型之一　锐角三角函数的概念 图 1－X－1 1．如图 1－X－1，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(4，3)，那么 cosα的值是(　　) A. 3 4 　　B. 4 3 C. 3 5 　　D. 4 5 2．直角三角形纸片的两直角边长分别为 6，8，现将△ABC 如图 1－X－2 那样折叠，使 点 A 与点 B 重合，折痕为 DE，则 tan∠CBE 的值是(　　) 图 1－X－2 A. 24 7 B. 7 3 C. 7 24 D. 1 3 3．如图 1－X－3，在△ABC 中，∠A＝120°，AB＝4，AC＝2，则 sinB 的值是(　　) A. 5 5 14 B. 3 5 C. 21 7 D. 21 14 图 1－X－3 　　 图 1－X－4 4．如图 1－X－4，点 P 在等边三角形 ABC 的内部，且 PC＝6，PA＝8，PB＝10，将线段 PC 绕点 C 顺时针旋转 60°得到 P′C，连结 AP′，则 sin∠PAP′的值为________．2 类型之二　特殊角的三角函数值的计算 5．若 α 的余角是 30°，则 cosα的值是(　　) A. 1 2 B. 3 2 C. 2 2 D. 3 3 6．点 M(－sin60°，cos60°)关于 x 轴对称的点的坐标是(　　) A.( 3 2 ， 1 2) B.(－ 3 2 ，－ 1 2) C.(－ 3 2 ， 1 2) D.(－ 1 2，－ 3 2 ) 7．计算： (1) 12＋2－1－4cos30°＋|－ 1 2 |； (2)|2－ 3|＋2sin60°＋( 1 2)－1－( 2018＋1) 0 ； (3)2cos45°－(n＋1 ) 0 ＋ 1 4＋( 1 2)－1(n 是自然数)． 类型之三　解直角三角形及其应用3 8．2017·南宁如图 1－X－5，一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 45°方向，距离灯塔 60 n mile 的 A 处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的北偏东 30°方向上的 B 处， 这时，B 处与灯塔 P 之间的距离为(　　) A．60 3 n mile B．60 2 n mile C．30 3 n mile D．30 2 n mile 图 1－X－5 　　 图 1－X－6 9．如图 1－X－6，将 45°的∠AOB 按下面的方式放置在一把刻度尺上：顶点 O 与尺下 沿的端点重合，OA 与尺下沿重合，OB 与尺上沿的交点 B 在尺上的读数恰为 2cm.若按相同的 方式将 37 °的∠AOC 放置在该刻度尺上，则 OC 与尺上的交点 C 在尺上的读数约为 ________cm.(结果精确到 0.1 cm，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈ 0.75) 图 1－X－7 10．如图 1－X－7，∠AOB 的边 OB 与 x 轴正半轴重合，P 是 OA 上的一动点，N(3，0)是OB 上的一定点，M 是 ON 的中点，∠AOB ＝30 °，要使 PM ＋PN 最小，则点 P 的坐标为 ________． 11．2016·舟山太阳能光伏建筑是现代绿色环保建筑之一，老张准备把自家屋顶改建成 光伏瓦面，改建前屋顶截面△ABC 如图 1－X－8 所示，BC＝10 米，∠ABC＝∠ACB＝36°，改 建后顶点 D 在 BA 的延长线上，且∠BDC＝90°，求改建后屋顶面边沿增加部分 AD 的长．(结 果精确到 0.1 米)(参考数据：sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32，sin36°≈ 0.59，cos36°≈0.81，tan36°≈0.73)4 图 1－X－8 12．2017·岳阳某太阳能热水器的横截面示意图如图 1－X－9 所示，已知真空热水管AB 与支架 CD 所在直线相交于点 O，且 OB＝OD.支架 CD 与水平线 AE 垂直，∠BAC＝∠CDE＝30 °，DE＝80 cm，AC＝165 cm. (1)求支架 CD 的长； (2)求真空热水管 AB 的长．(结果均保留根号) 图 1－X－9 13．2017·株洲如图 1－X－10，从一架水平飞行的无人机 AB 的尾端点 A 测得正前方的 桥的左端点 P 的俯角为 α，其中 tanα＝2 3，无人机的飞行高度 AH＝500 3米，桥的长 度为 1255 米． (1)求点 H 到桥的左端点 P 的距离； (2)若从无人机前端点 B 测得正前方的桥的右端点 Q 的俯角为 30°，求这架无人机的长 度．5 图 1－X－10 14．2016·杭州如图 1－X－11，已知四边形 ABCD 和四边形 DEFG 均为正方形，点 E 在 线段 DC 上，点 A，D，G 在同一直线上，且 AD＝3，DE＝1，连结 AC，CG，AE，并延长 AE 交 CG 于点 H. (1)求 sin∠EAC 的值； (2)求线段 AH 的长． 图 1－X－116 详解详析 1．D 2．C　[解析] 根据题意，BE＝AE. 设 CE＝x，则 BE＝AE＝8－x， 在 Rt△BCE 中，根据勾股定理，得 BE2＝BC2＋CE2，即(8－x)2＝62＋x2， 解得 x＝ 7 4，∴tan∠CBE＝ CE CB＝ 7 4 6＝ 7 24. 故选 C. 3．D　[解析] 过点 C 作 CD⊥BA 交 BA 的延长线于点 D. ∵∠BAC＝120°，AB＝4，AC＝2, ∴∠DAC＝60°，∠ACD＝30°， ∴2AD＝AC＝2， ∴AD＝1，CD＝ 3， ∴BD＝5，∴BC＝2 7， ∴sinB＝ 3 2 7＝ 21 14 . 4. 3 5　[解析] 连结 PP′，∵线段 PC 绕点 C 顺时针旋转 60°得到 P′C， ∴CP＝CP′＝6，7 ∠PCP′＝60°， ∴△CPP′为等边三角形， ∴PP′＝PC＝6. ∵△ABC 为等边三角形， ∴CB＝CA，∠ACB＝60°， ∴∠PCB＝∠P′CA， ∴△PCB≌△P′CA(SAS)， ∴PB＝P′A＝10. ∵62＋82＝102，∴PP′2＋AP2＝P′A2， ∴△APP′为直角三角形，且∠APP′＝90°， ∴sin∠PAP′＝ PP′ P′A＝ 6 10＝ 3 5. 5．A　[解析] α＝90°－30°＝60°，cosα＝cos60°＝ 1 2.故选 A. 6．B　[解析] ∵sin60°＝ 3 2 ，cos60°＝ 1 2， ∴点 M 的坐标为(－ 3 2 ， 1 2). ∵点 P(m，n)关于 x 轴对称的点为 P′(m，－n)， ∴点 M 关于 x 轴的对称点的坐标是(－ 3 2 ，－ 1 2).故选 B. 7．解：(1)原式＝2 3＋ 1 2－4× 3 2 ＋ 1 2 ＝2 3＋ 1 2－2 3＋ 1 2 ＝1. (2)原式＝2－ 3＋2× 3 2 ＋2－1＝3. (3)原式＝2× 2 2 －1＋ 1 2＋2＝ 2＋ 3 2.8 8．B　[解析] 如图，作 PE⊥AB 于点 E. 在 Rt△ PAE 中，∵∠PAE＝45°， PA＝60 n mile，∴ PE＝AE＝ 2 2 ×60＝30 2(n mile)． 在 Rt△PBE 中，∵∠B＝30°， ∴PB＝2PE＝60 2 n mile. 9．2.7 10．( 3 2， 3 2 )　[解析]作点 N 关于 OA 的对称点 N′，连结 MN′交 OA 于点 P，则点 P 为 所求．显然 ON＝ON′，∠NON′＝2∠AOB＝2×30°＝60°，∴△ONN′为等边三角形，MN′⊥ ON.∵OM＝ 3 2，∴PM＝OM·tan30°＝ 3 2× 3 3 ＝ 3 2 ，∴点 P 的坐标为(3 2， 3 2 ). 11．解：∵∠BDC＝90°，BC＝10 米，sinB＝ CD BC， ∴CD＝BC·sinB≈10×0.59＝5.9(米)． ∵在 Rt△BCD 中，∠BCD＝90°－∠B＝90°－36°＝54°， ∴∠ACD＝∠BCD－∠ACB＝54°－36°＝18°， ∴在 Rt△ACD 中，tan∠ACD＝ AD CD， ∴AD＝CD·tan∠ACD≈5.9×0.32＝1.888≈1.9(米)， 则改建后屋顶面边沿增加部分 AD 的长约为 1.9 米． 12．解：(1)在 Rt△CDE 中，∠CDE＝30°，DE＝80 cm，∴cos30°＝ CD 80＝ 3 2 ，解得 CD9 ＝40 3(cm)．故支架 CD 的长为 40 3 cm. (2)在 Rt△OAC 中，∠BAC＝30°，AC＝165 cm，∴tan30°＝ OC 165＝ 3 3 ，解得 OC＝55 3 (cm)， ∴OA＝2OC＝110 3 cm，OB＝OD＝OC－CD＝55 3－40 3＝15 3(cm)， ∴AB＝OA－OB＝110 3－15 3＝95 3(cm)． 故真空热水管 AB 的长为 95 3 cm. 13．解：(1)在 Rt△AHP 中， ∵∠APH＝α，AH＝500 3米， ∴tan∠APH＝ AH HP＝tanα， ∴ 500 3 HP ＝2 3， 解得 HP＝250(米)． 故点 H 到桥的左端点 P 的距离为 250 米． (2)过点 Q 作 QM⊥AB 交其延长线于点 M， 则可得 AM＝HQ＝HP＋PQ＝250＋1255＝1505(米)，QM＝AH＝500 3米． ∵在 Rt△QMB 中，∠QMB＝90°，∠QBM＝30°，QM＝500 3米， ∴BM＝1500 米， ∴AB＝AM－BM＝1505－1500＝5(米)． 故这架无人机的长度为 5 米． 14．解：(1)由题意知 EC＝2，AE＝ 10. 过点 E 作 EM⊥AC 于点 M， 所以∠EMC＝90°，易知∠ACD＝45°， 所以△EMC 是等腰直角三角形， 所以 EM＝ 2，所以 sin∠EAC＝ EM AE＝ 5 5 .10 (2)在△GDC 与△EDA 中， 因为{DG＝DE， ∠GDC＝∠EDA， DC＝DA， 所以△GDC≌△EDA，所以∠GCD＝∠EAD. 又因为∠HEC＝∠DEA， 所以∠EHC＝∠EDA＝90°，所以 AH⊥GC. 由△GDC≌△EDA，得 GC＝EA＝ 10. 因为 S△AGC＝ 1 2AG·DC＝ 1 2GC·AH， 所以 1 2×4×3＝ 1 2× 10×AH， 所以 AH＝ 6 5 10.