1
1.3 绝对值
学校:___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共 12 小题）
1．﹣9 的绝对值是（ ）
A．﹣9 B．9 C． D．
2．下列说法不正确的是（ ）
A．0 既不是正数，也不是负数
B．绝对值最小的数是 0
C．绝对值等于自身的数只有 0 和 1
D．平方等于自身的数只有 0 和 1
3．已知 a，b，c 为非零的实数，则 的可能值的个数为（ ）
A．4 B．5 C．6 D．7
4．下列运算结果为﹣2 的是（ ）
A．+（﹣2） B．﹣（﹣2） C．+|﹣2| D．|﹣（+2）|
5．如果 a+b+c=0，且|a|＞|b|＞|c|．则下列说法中可能成立的是（ ）
A．b 为正数，c 为负数 B．c 为正数，b 为负数
C．c 为正数，a 为负数 D．c 为负数，a 为负数
6．﹣ 的相反数是（ ）
A． B． C． D．
7．下列说法正确的个数有（ ）
①﹣|a|一定是负数
②只有两个数相等时，它们的绝对值才相等
③若一个数小于它的绝对值，则这个数是负数
④若|a|=b，则 a 与 b 互为相反数
⑤若|a|+a=0，则 a 是非正数．
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
8．|﹣2|的值是（ ）2
A．﹣2 B．2 C． D．﹣
9．已知数轴上的三点 A、B、C，分别表示有理数 a、1、﹣1，那么|a+1|表示为（ ）
A．A、B 两点间的距离 B．A、C 两点间的距离
C．A、B 两点到原点的距离之和 D．A、C 两点到原点的距离之和
10．如果对于某一特定范围内的任意允许值，p=|1﹣2x|+|1﹣3x|+…+|1﹣9x|+|1﹣10x|的
值恒为一常数，则此值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．﹣2018 的绝对值是（ ）
A．2018 B．﹣2018 C． D．﹣
12．绝对值最小的数是（ ）
A．0.000001 B．0 C．﹣0.000001 D．﹣100000
二．填空题（共 10 小题）
13．已知 x＞3，化简：|3﹣x|= ．
14．如果一个零件的实际长度为 a，测量结果是 b，则称|b﹣a|为绝对误差， 为相对
误 差 ． 现 有 一 零 件 实 际 长 度 为 5.0cm ， 测 量 结 果 是 4.8cm ， 则 本 次 测 量 的 相 对 误 差
是 ．
15．绝对值等于它的相反数的数是 ．
16．绝对值是 5 的有理数是 ．
17 ． 有 理 数 a 、 b 、 c 在 数 轴 的 位 置 如 图 所 示 ， 且 a 与 b 互 为 相 反 数 ， 则
|a﹣c|﹣|b+c|= ．
18．若|﹣m|=2018，则 m= ．
19．|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为 ．
20．如果 a•b＜0，那么 = ．
21．如图，若|a+1|=|b+1|，|1﹣c|=|1﹣d|，则 a+b+c+d= ．3
22．化简：﹣（﹣5）= ，﹣|﹣4|= ，+|﹣3|= ．
三．解答题（共 5 小题）
23．问当 x 取何值时，|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|取得最小值，并求出最小值．
24．.阅读下列材料并解决有关问题：我们知道|x|= ，
所以当 x＞0 时， = =1； 当 x＜0 时， = =﹣1．现在我们可以用这个结论来解
决下面问题：
（1）已知 a，b 是有理数，当 ab≠0 时， + = ；
（2）已知 a，b，c 是有理数，当 abc≠0 时， + + = ；
（3）已知 a，b，c 是有理数，a+b+c=0，abc＜0，则 + + = ．
25．认真阅读下面的材料，完成有关问题．
材料：在学习绝对值时，老师教过我们绝对值的几何含义，如|5﹣3|表示 5、3 在数轴上对
应的两点之间的距离；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示 5、﹣3 在数轴上对应的两点之
间的距离；|5|=|5﹣0|，所以|5|表示 5 在数轴上对应的点到原点的距离．一般地，点 A、B
在数轴上分别表示有理数 a、b，那么 A、B 之间的距离可表示为|a﹣b|．
（1）点 A、B、C 在数轴上分别表示有理数 x、﹣2、1，那么 A 到 B 的距离与 A 到 C 的距离4
之和可表示为 （用含绝对值的式子表示）．
（ 2 ） 利 用 数 轴 探 究 ： ① 找 出 满 足 |x﹣3|+|x+1|=6 的 x 的 所 有 值 是 ， ② 设
|x﹣3|+|x+1|=p，当 x 的值取在不小于﹣1 且不大于 3 的范围时，p 的值是不变的，而且是 p
的最小值，这个最小值是 ；当 x 的值取在 的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，
这个最小值是 ．
（3）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值为 ，此时 x 的值为 ．
（4）求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|的最小值，求此时 x 的取值范围．
26．阅读下面材料并解决有关问题：
我们知道：|x|= ．现在我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，现在
我们可以用这一结论来化简含有绝对值的代数式，如化简代数式|x+1|+|x﹣2|时，可令
x+1=0 和 x﹣2=0，分别求得 x=﹣1，x=2（称﹣1，2 分别为|x+1|与|x﹣2|的零点值）．在实
数范围内，零点值 x=﹣1 和，x=2 可将全体实数分成不重复且不遗漏的如下 3 种情况：
①x＜﹣1；②﹣1≤x＜2；③x≥2．
从而化简代数式|x+1|+|x﹣2|可分以下 3 种情况：
①当 x＜﹣1 时，原式=﹣（x+1）﹣（x﹣2）=﹣2x+1；
②当﹣1≤x＜2 时，原式=x+1﹣（x﹣2）=3；
③当 x≥2 时，原式=x+1+x﹣2=2x﹣1．综上讨论，原式= ．
通过以上阅读，请你解决以下问题：
（1）化简代数式|x+2|+|x﹣4|．
（2）求|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值．5
27．设 x1，x2，x3，x4，x5，x6 是六个不同的正整数，取值于 1，2，3，4，5，6，记
S=|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|，求 S 的最小值．
6
参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题）
1．
【解答】解：根据绝对值的性质，得|﹣9|=9．
故选：B．
2．
【解答】解：A、B、D 均正确，绝对值等于它自身的数是所有非负数，所以 C 错误，
故选：C．
3．
【解答】解：①a、b、c 三个数都是正数时，a＞0，ab＞0，ac＞0，bc＞0，
原式=1+1+1+1
=4；
②a、b、c 中有两个正数时，
设为 a＞0，b＞0，c＜0，
则 ab＞0，ac＜0，bc＜0，
原式=1+1﹣1﹣1
=0；
设为 a＞0，b＜0，c＞0，
则 ab＜0，ac＞0，bc＜0，
原式=1﹣1+1﹣1
=0；
设为 a＜0，b＞0，c＞0，
则 ab＜0，ac＜0，bc＞0，
原式=﹣1﹣1﹣1+1
=﹣2；
③a、b、c 有一个正数时，
设为 a＞0，b＜0，c＜0，7
则 ab＜0，ac＜0，bc＞0，
原式=1﹣1﹣1+1
=0；
设为 a＜0，b＞0，c＜0，
则 ab＜0，ac＞0，bc＜0，
原式=﹣1﹣1+1﹣1
=﹣2；
设为 a＜0，b＜0，c＞0，
则 ab＞0，ac＜0，bc＜0，
原式=﹣1+1﹣1﹣1
=﹣2；
④a、b、c 三个数都是负数时，即 a＜0，b＜0，c＜0，
则 ab＞0，ac＞0，bc＞0，
原式=﹣1+1+1+1
=2．
综上所述， 的可能值的个数为 4．
故选：A．
4．
【解答】解：A、+（﹣2）=﹣2，此选项符合题意；
B、﹣（﹣2）=2，此选项不符合题意；
C、+|﹣2|=2，此选项不符合题意；
D、|﹣（+2）=2，此选项不符合题意；
故选：A．
5．
【解答】解：由题目答案可知 a，b，c 三数中只有两正一负或两负一正两种情况，
如果假设两负一正情况合理，
要使 a+b+c=0 成立，8
则必是 b＜0、c＜0、a＞0，
否则 a+b+c≠0，
但题中并无此答案，则假设不成立，D 被否定，
于是应在两正一负的答案中寻找正确答案，
若 a，b 为正数，c 为负数时，
则：|a|+|b|＞|c|，
∴a+b+c≠0，
∴A 被否定，
若 a，c 为正数，b 为负数时，
则：|a|+|c|＞|b|，
∴a+b+c≠0，
∴B 被否定，
只有 C 符合题意．
故选：C．
6．
【解答】解：﹣ 的相反数是 ，
故选：B．
7．
【解答】解：﹣|0|=0，不是负数，故①不正确；
|﹣3|=|3|，故②不正确；
当 a=b 时，|a|=b，故④不正确；
正数和 0 的绝对值等于它本身，负数小于它的绝对值，故③正确；
当 a 是非正数时，|a|+a=0，故⑤正确．
综上正确的是③⑤．
故选：B．
8．9
【解答】解：∵﹣2＜0，
∴|﹣2|=2．
故选：B．
9．
【解答】解：∵|a+1|=|a﹣（﹣1）|，
∴|a+1|表示为 A、C 两点间的距离．
故选：B．
10．
【解答】解：∵P 为定值，
∴P 的表达式化简后 x 的系数为 0；
由于 2+3+4+5+6+7=8+9+10；
∴x 的取值范围是：1﹣7x≥0 且 1﹣8x≤0，即 ≤x≤ ；
所 以 P= （ 1﹣2x ） + （ 1﹣3x ） +…+ （ 1﹣7x ） ﹣ （ 1﹣8x ） ﹣ （ 1﹣9x ） ﹣ （ 1﹣10x ）
=6﹣3=3．
故选：B．
11．
【解答】解：﹣2018 的绝对值是 2018．
故选：A．
12．
【 解 答 】 解 ： |0.000001|=0.000001 ， |0|=0 ， |﹣0.000001|=0.000001 ，
|﹣100000|=100000，
所以绝对值最小的数是 0．
故选：B．
二．填空题（共 10 小题）10
13．
【解答】解：∵x＞3，
∴3﹣x＜0，
∴|3﹣x|=x﹣3，
故答案为：x﹣3．
14．
【解答】解：若实际长度为 5.0cm，测量结果是 4.8cm，
则本次测量的相对误差为 =0.04，
故答案为：0.04．
15．
【解答】解：绝对值等于它的相反数的数是负数和 0，
故答案为：负数和 0；
16．
【解答】解：绝对值是 5 的有理数是±5，
故答案为：±5
17．
【解答】解：由图知，a＞0，b＜0，c＞a，且 a+b=0，
∴|a﹣c|﹣|b+c|=c﹣a﹣c﹣b=﹣（a+b）=0．
18．
【解答】解：因为|﹣m|=|m|，
又因为|±2018|=2018，
所以 m=±2018
故答案为：±2018
11
19．
【解答】解：当 x≤﹣1 时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=﹣x﹣1﹣x+2﹣x+3=﹣3x+4；
当﹣1＜x≤2 时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1﹣x+2﹣x+3=﹣x+6；
当 2＜x≤3 时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x﹣2﹣x+3=x+2；
当 x＞3 时，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|=x+1+x﹣2+x﹣3=3x﹣4．
综上所述，|x+1|+|x﹣2|+|x﹣3|的值为 ．
故答案为： ．
20．
【解答】解：∵a•b＜0，
∴|a|和|b|必有一个是它本身，一个是它的相反数，|ab|是它的相反数，
∴ =1﹣1﹣1=﹣1；或 =﹣1+1﹣1=﹣1．
故答案为：﹣1．
21．
【解答】解：根据数轴，可知 a＜﹣1＜b＜0＜c＜1＜d，
所以 a+1＜0，b+1＞0，1﹣c＞0，1﹣d＜0，
则﹣a﹣1=b+1，即 a+b=﹣2；1﹣c=d﹣1 即 d+c=2，
则 a+b+c+d=﹣2+2=0．
22．
【解答】解：﹣（﹣5）=5，﹣|﹣4|=﹣4，+|﹣3|=3，
故答案为：5、﹣4、3．
三．解答题（共 5 小题）12
23．
【 解 答 】 解 ： 1﹣2011 共 有 2011 个 数 ， 最 中 间 一 个 为 1006 ， 此 时
|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|取得最小值，
最小值为|x﹣1|+|x﹣2|+|x﹣3|+…+|x﹣2011|
=|1006﹣1|+|1006﹣2|+|1006﹣3|+…+|1006﹣2011|
=1005+1004+1003+…+2+1+0+1+2+3+…+1005
=1011030．
24．
【解答】解：（1）已知 a，b 是有理数，当 ab≠0 时，
①a＜0，b＜0， + =﹣1﹣1=﹣2；
②a＞0，b＞0， + =1+1=2；
③a、b 异号， + =0．
故 + =±2 或 0；
（2）已知 a，b，c 是有理数，当 abc≠0 时，
①a＜0，b＜0，c＜0， + + =﹣1﹣1﹣1=﹣3；
②a＞0，b＞0，c＞0， + + =1+1+1=3；
③a、b、c 两负一正， + + =﹣1﹣1+1=﹣1；
④a、b、c 两正一负， + + =﹣1+1+1=1．
故 + + =±1 或±3；
（3）已知 a，b，c 是有理数，a+b+c=0，abc＜0，
则 b+c=﹣a，a+c=﹣b，a+b=﹣c，a、b、c 两正一负，
则 + + ═﹣ ﹣ ﹣ =1﹣1﹣1=﹣1．
故答案为：±2 或 0；±1 或±3；﹣1．
25．13
【解答】解：（1）A 到 B 的距离与 A 到 C 的距离之和可表示为|x+2|+|x﹣1|；
（2）①满足|x﹣3|+|x+1|=6 的 x 的所有值是﹣2、4，
②这个最小值是 4；当 x 的值取在不小于 0 且不大于 2 的范围时，|x|+|x﹣2|取得最小值，
这个最小值是 2；
（3）由分析可知，
当 x=2 时能同时满足要求，把 x=2 代入原式=1+0+3=4；
（4）|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=（|x﹣3|+|x+2|）+（|x﹣2|+|x+1|）
要使|x﹣3|+|x+2|的值最小，x 的值取﹣2 到 3 之间（包括﹣2、3）的任意一个数，要使
|x﹣2|+|x+1|的值最小，x 取﹣1 到 2 之间（包括﹣1、2）的任意一个数，显然当 x 取﹣1
到 2 之间（包括﹣1、2）的任意一个数能同时满足要求，不妨取 x=0 代入原式，得
|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=3+2+1+2=8；
方法二：当 x 取在﹣1 到 2 之间（包括﹣1、2）时，|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|+|x+2|=﹣
（x﹣3）﹣（x﹣2）+（x+1）+（x+2）=﹣x+3﹣x+2+x+1+x+2=8．
故答案为：|x+2|+|x﹣1|；﹣2，4；4；不小于 0 且不大于 2；2；4，2．
26．
【解答】解：（1）当 x＜﹣2 时，|x+2|+|x﹣4|=﹣x﹣2+4﹣x=﹣2x+2；
当﹣2≤x＜4 时，|x+2|+|x﹣4|=x+2+4﹣x=6；
当 x≥4 时，|x+2|+|x﹣4|=x+2+x﹣4=2x﹣2；
（2）当 x＜﹣1 时，原式=3x+5＜2，
当﹣1≤x≤1 时，原式=﹣5x﹣3，﹣8≤﹣5x﹣3≤2，
当 x＞1 时，原式=﹣3x﹣5＜﹣8，
则|x﹣1|﹣4|x+1|的最大值为 2．
27．
【解答】解：S=|x1﹣x2|+|x2﹣x3|+|x3﹣x4|+|x4﹣x5|+|x5﹣x6|+|x6﹣x1|，
S 最小值=1+1+1+1+1+5=10，
则 S 的最小值是 10．
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