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13.3.1 等腰三角形
学校：___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共 12 小题）
1．已知等腰三角形的两条边长分别为 2 和 3，则它的周长为（ ）
A．7 B．8 C．5 D．7 或 8
2．已知等腰三角形的顶角为 40°，则这个等腰三角形的底角为（ ）
A．40° B．70° C．100° D．140°
3．如图，已知 DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C 的度数是（ ）
A．55° B．45° C．35° D．65°
4．如图，△ABC 中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，且 AD=AE，则∠EDC 等于（ ）
A．10° B．12.5° C．15° D．20°
5．已知△ABC 的三条边长分别为 3，4，6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割
成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5 条 B．6 条 C．7 条 D．8 条
6．如图，已知每个小方格的边长为 1，A，B 两点都在小方格的格点（顶点）上，请在图中
找一个格点 C，使△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形，这样的格点 C 有（ ）
A．4 个 B．5 个 C．6 个 D．72
7．如图，A、B 两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为 1 的正方形，点 C 也在格
点上，且△ABC 是等腰三角形，则符合条件是点 C 共有（ ）个．
A．8 B．9 C．10 D．11
8．已知△ABC 的三条边长分别为 3，5，7，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割
成两个三角形，使其中有一个边长为 3 的等腰三角形，则这样的直线最多可画（ ）
A．5 条 B．4 条 C．3 条 D．2 条
9．如图，∠AOB=45°，点 M，N 在边 OA 上，OM=2，ON=4，点 P 是边 OB 上的点，则能使点
P，M，N 构成等腰三角形的点 P 的个数有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
10．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若 AC=5，BC=3，则 BD
的长为（ ）
A．1 B．1.5 C．2 D．4
11．如图，D 为△ABC 内一点，CD 平分∠ACB，BD⊥CD，∠A=∠ABD，若 AC=5，BC=3，则 CD
的长是（ ）
A．2 B．2.5 C．2 D．
12．如图，在△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，E、F 为垂足，则下列四
个结论：（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD 平分∠EDF；（4）EF 垂直平分 AD．其3
中正确的有（ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
二．填空题（共 6 小题）
13．等腰三角形的一个底角为 50°，则它的顶角的度数为 ．
14．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记
作 k，若 k= ，则该等腰三角形的顶角为 度．
15．已知△ABC 的三条边长分别为 3，4，6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割
成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条．
16．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A（2，﹣2），在坐标轴上确定一点 B，使△AOB 为
等腰三角形，则符合条件的点 B 有 个．
17．如图，下列 4 个三角形中，均有 AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将
这个三角形分成两个小等腰三角形的是 （填序号）．
18．已知：如图，△ABC 中，BO，CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，过 O 点的直线分别交
AB、AC 于点 D、E，且 DE∥BC．若 AB=6cm，AC=8cm，则△ADE 的周长为 ．
三．解答题（共 4 小题）
19．数学课上，张老师举了下面的例题：4
例 1 等腰三角形 ABC 中，∠A=110°，求∠B 的度数．（答案：35°）
例 2 等腰三角形 ABC 中，∠A=40°，求∠B 的度数，（答案：40°或 70°或 100°）
张老师启发同学们进行变式，小敏编了如下一题：
变式 等腰三角形 ABC 中，∠A=80°，求∠B 的度数．
（1）请你解答以上的变式题．
（2）解（1）后，小敏发现，∠A 的度数不同，得到∠B 的度数的个数也可能不同，如果在
等腰三角形 ABC 中，设∠A=x°，当∠B 有三个不同的度数时，请你探索 x 的取值范围．
20．如图，将一块三角板 ABC 的直角顶点 C 放在直尺的一边 PQ 上，直尺的另一边 MN 与三角
板的两边 AC、BC 分别交于两点 E、D，且 AD 为∠BAC 的平分线，∠B=30°，∠ADE=15°．
（1）求∠BDN 的度数；
（2）求证：CD=CE．
21．如图，在△ABC 中，AB=AC，CD 是∠ACB 的平分线，DE∥BC，交 AC 于点 E．
（1）求证：DE=CE．
（2）若∠CDE=35°，求∠A 的度数．5
22．（1）操作实践：△ABC 中，∠A=90°，∠B=22.5°，请画出一条直线把△ABC 分割成两
个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）
（2）分类探究：△ABC 中，最小内角∠B=24°，若△ABC 被一直线分割成两个等腰三角形，
请画出相应示意图并写出△ABC 最大内角的所有可能值；
（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请
你至少写出两个条件，无需证明）
6
参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题）
1．
解：①2 是腰长时，能组成三角形，周长=2+2+3=7，
②3 是腰长时，能组成三角形，周长=3+3+2=8，
所以，它的周长是 7 或 8．
故选：D．
2．
解：∵等腰三角形的顶角为 50°，
∴这个等腰三角形的底角为：（180°﹣40°）÷2=70°，
故选：B．
3．
解：∵∠1=125°，
∴∠ADE=180°﹣125°=55°，
∵DE∥BC，AB=AC，
∴AD=AE，∠C=∠AED，
∴∠AED=∠ADE=55°，
又∵∠C=∠AED，
∴∠C=55°．
故选：A．
4．
解：∵△ABC 中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，
∴∠DAC=∠BAD=30°（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），
∵AD=AE（已知），
∴∠ADE=75°7
∴∠EDC=90°﹣∠ADE=15°．
故选：C．
5．
解：如图所示：
当 BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7 时都能得到符合题意的等
腰三角形．
故选：C．
6．
解：当 AB 为腰时，分别以 A、B 点为顶点，以 AB 为半径作圆，可找出格点点 C 的个数有 6
个；
当 AB 为底时，作 AB 的垂直平分线，可找出格点 C 的个数有 2 个，
使△ABC 是以 AB 为腰的等腰三角形，这样的格点 C 有 6 个．
故选：C．
7．
解：①点 C 以点 A 为标准，AB 为底边，符合点 C 的有 5 个；
②点 C 以点 B 为标准，AB 为等腰三角形的一条边，符合点 C 的有 4 个．
所以符合条件的点 C 共有 9 个．8
故选：B．
8．
解：如图所示，当 AB=AF=3，BA=BD=3，AB=AE=3，BG=AG，都能得到符合题意的等腰三角
形．
故选：B．
9．
解：如右图 1 所示，当点 P 在线段 MN 的垂直平分线上时，PM=PN，此时点 P，M，N 构成等腰
三角形；
如右图 2 所示，当 MN=MP 时，此时点 P，M，N 构成等腰三角形；
∵∠AOB=45°，OM=2，ON=4，
∴点 N 到 OB 的距离是 4×sin45°=2 ＞2，
∴不存在 NM=NP 的情况，
故选 B．9
10．
解：延长 BD 与 AC 交于点 E，
∵∠A=∠ABD，
∴BE=AE，
∵BD⊥CD，
∴BE⊥CD，
∵CD 平分∠ACB，
∴∠BCD=∠ECD，
∴∠EBC=∠BEC，
∴△BEC 为等腰三角形，
∴BC=CE，
∵BE⊥CD，
∴2BD=BE，
∵AC=5，BC=3，
∴CE=3，
∴AE=AC﹣EC=5﹣3=2，
∴BE=2，
∴BD=1．
故选：A．
11．10
解：延长 BD，与 AC 交于点 E，
∵CD 平分∠ACB，
∴∠ACD=∠BCD，
∵BD⊥CD，
∴∠BDC=∠EDC=90°，
在△BCD 和△ECD 中，
，
∴△BCD≌△ECD（ASA），
∴BC=EC=3，BD=DE，
∵∠A=∠ABE，
∴AE=BE=AC﹣EC=AC﹣BC=5﹣3=2，
∴BD=1，
在 Rt△BDC 中，BD=1，BC=3，
根据勾股定理得：CD= =2 ．
故选：C．
12．
解：∵AB=AC，AD 平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
∴△ABC 是等腰三角形，AD⊥BC，BD=CD，∠BED=∠DFC=90°
∴DE=DF
∴AD 垂直平分 EF
∴（4）错误；
又∵AD 所在直线是△ABC 的对称轴，
∴（1）∠DEF=∠DFE；（2）AE=AF；（3）AD 平分∠EDF．
故选：C．
11
二．填空题（共 6 小题）
13．
解：∵等腰三角形底角相等，
∴180°﹣50°×2=80°，
∴顶角为 80°．
故填 80°．
14．
解：
∵△ABC 中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作 k，若
k= ，
∴∠A：∠B=1：2，
即 5∠A=180°，
∴∠A=36°，
故答案为：36．
15．
解：如图所示：
当 BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7 时，都能得到符合题意的
等腰三角形．12
故答案为：7．
16．
8 解：（1）若 AO 作为腰时，有两种情况，当 A 是顶角顶点时，B 是以 A 为圆心，以 OA 为半
径的圆与坐标轴的交点，共有 2 个（除 O 点）；
当 O 是顶角顶点时，B 是以 O 为圆心，以 OA 为半径的圆与坐标轴的交点，有 4 个；
（2）若 OA 是底边时，B 是 OA 的中垂线与坐标轴的交点，有 2 个．
以上 8 个交点没有重合的．故符合条件的点有 8 个．
故答案为：8．
17．
解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，
①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和 36°，72°72°，能；
②不能；
③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；
④中的为 36°，72，72°和 36°，36°，108°，能．
故答案为：②
18．
解：∵DE∥BC
∴∠DOB=∠OBC，
又∵BO 是∠ABC 的角平分线，
∴∠DBO=∠OBC，
∴∠DBO=∠DOB，
∴BD=OD，
同理：OE=EC，
∴△ADE 的周长=AD+OD+OE+AE=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm．
故答案是：14cm．13
三．解答题（共 4 小题）
19．
解：（1）若∠A 为顶角，则∠B=（180°﹣∠A）÷2=50°；
若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B=180°﹣2×80°=20°；
若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B=80°；
故∠B=50°或 20°或 80°；
（2）分两种情况：
①当 90≤x＜180 时，∠A 只能为顶角，
∴∠B 的度数只有一个；
②当 0＜x＜90 时，
若∠A 为顶角，则∠B=（ ）°；
若∠A 为底角，∠B 为顶角，则∠B=（180﹣2x）°；
若∠A 为底角，∠B 为底角，则∠B=x°．
当 ≠180﹣2x 且 180﹣2x≠x 且 ≠x，
即 x≠60 时，∠B 有三个不同的度数．
综上所述，可知当 0＜x＜90 且 x≠60 时，∠B 有三个不同的度数．
20．
（1）解：在直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，∠B=30°，
∴∠BAC=60°，又 AD 平分∠BAC，
∴∠CAD=30°，又∠ACD=90°，
∴∠CDA=60°
又∠ADE=15°，
∴∠CDE=∠CDA﹣∠ADE=60°﹣15°=45°14
∴∠BDN=∠CDE=45°；
（2）证明：在△CED 中，∠ECD=90°，∠CDE=45°
∴∠CED=45°
∴CD=CE．
21．
（1）证明：∵CD 是∠ACB 的平分线，
∴∠BCD=∠ECD．
∵DE∥BC，
∴∠EDC=∠BCD，
∴∠EDC=∠ECD，
∴DE=CE．
（2）解：∵∠ECD=∠EDC=35°，
∴∠ACB=2∠ECD=70°．
∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=70°，
∴∠A=180°﹣70°﹣70°=40°．
22．
解：（1）如图所示：
（4 分）
（2）设分割线为 AD，相应用的角度如图所示：15
（8 分）
图 1 的最大角=39°+78°=117°，图 2 的最大角=24°+180°﹣2×48°=108°，
图 3 的最大角=24°+66°=90°，图 4 的最大角=84°，
故△ABC 的最大内角可能值是 117°或 108°或 90°或 84°；（10 分）
（3）若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足的条件如下：
①该三角形是直角三角形；
②该三角形有一个角是另一个角的 2 倍；
③该三角形有一个角是另一个角的 3 倍．（14 分）
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