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13.3.2 等边三角形
学校：___________姓名：___________班级：___________
一．选择题（共 12 小题）
1．如图，△AOB 是边长为 2 的等边三角形，顶点 A 的坐标是（ ）
A．（ ， ） B．（ ，﹣1） C．（﹣1， ） D．（ ，﹣1）
2．平面上，若点 P 与 A、B、C 三点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点 P 是 A、B、C
三点的巧妙点．若 A、B、C 三点构成三角形，也称点 P 是△ABC 的巧妙点．则平面上等边△
ABC 的巧妙点有（ ）个．
A．7 B．8 C．9 D．10
3．在△ABC 中，AB=BC=AC=6，则△ABC 的面积为（ ）
A．9 B．18 C．9 D．18
4．下列几种三角形：①有一个角为 60°的等腰三角形；②三个外角都相等的三角形；③一
边上的高也是这边上的中线的三角形；④有一外角为 120°的等腰三角形．其中是等边三角
形的有（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
5．等腰△ABC 的顶角 A 为 120°，过底边上一点 D 作底边 BC 的垂线交 AC 于 E，交 BA 的延
长线于 F，则△AEF 是（ ）
A．等边三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰但非等边三角形
6．如图，E 是等边△ABC 中 AC 边上的点，∠1=∠2，BE=CD，则△ADE 的形状是（ ）2
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．不等边三角形 D．不能确定形状
7．下面给出几种三角形：（1）有两个角为 60°的三角形；（2）三个外角都相等的三角形；
（3）一边上的高也是这边上的中线的三角形；（4）有一个角为 60°的等腰三角形，其中
是等边三角形的个数是（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
8．在下列结论中：
（1）有一个外角是 120°的等腰三角形是等边三角形；
（2）有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；
（3）有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；
（4）三个外角都相等的三角形是等边三角形．
其中正确的个数是（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
9．已知：在△ABC 中，∠A=60°，如要判定△ABC 是等边三角形，还需添加一个条件．现有
下面三种说法：
①如果添加条件“AB=AC”，那么△ABC 是等边三角形；
②如果添加条件“∠B=∠C”，那么△ABC 是等边三角形；
③如果添加条件“边 AB、BC 上的高相等”，那么△ABC 是等边三角形．
上述说法中，正确的有（ ）
A．3 个 B．2 个 C．1 个 D．0 个
10．如图，在△ABC 中，AB=AC，D、E 是△ABC 内的两点，AD 平分∠BAC，∠EBC=∠
E=60°．若 BE=6cm，DE=2cm，则 BC 的长为（ ）
A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm
11．如图，在四边形 ABCD 中，AB=AC，∠ABD=60°，∠ADB=78°，∠BDC=24°，则∠DBC=
（ ）3
A．18° B．20° C．25° D．15°
12．在下列结论中：
①有一个外角是 120°的等腰三角形是等边三角形；
②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形；
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形；
④有一个角是 60°，且是轴对称的三角形是等边三角形．
其中正确的个数是（ ）
A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个
二．填空题（共 8 小题）
13．如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，则∠BAD= ．
14．将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形 ABC，设点 A 表示的数为 x﹣3，
点 B 表示的数为 2x+1，点 C 表示的数为﹣4，若将△ABC 向右滚动，则 x 的值等于 ，
数字 2012 对应的点将与△ABC 的顶点 重合．
15．如图，∠MON=30°，点 A1，A2，A3，…在射线 ON 上，点 B1，B2，B3，…在射线 OM 上，△
A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4…均为等边三角形．若 OA1=1，则△AnBnAn+1 的边长为 ．4
16．下列三角形：（1）有两个角等于 60°；（2）有一个角等于 60°的等腰三角形；（3）
三个外角都相等的三角形；（4）一腰上的中线也是这条腰上的高的等腰三角形，其中是等
边三角形的有 ．
17．在直角坐标系中，已知△ABC 三个顶点的坐标分别是 A（0， ），B（﹣1，0），C
（1，0）．
（1）△ABC 为 三角形．
（2）若△ABC 三个顶点的纵坐标不变，横坐标分别加 3，则所得的图形与原来的三角形相比，
主要的变化是 ．
18．如果三角形的三边 a、b、c 适合（a2﹣2ac）（b﹣a）=c2（a﹣b），则 a、b、c 之间满
足的关系是 ；有同学分析后判断△ABC 是等边三角形，你的判断是 ．
19．如图，AB=AC，DB=DC，若∠ABC 为 60°，BE=3cm，则 AB= cm．
20．如图是两块完全一样的含 30°角的直角三角板，将它们重叠在一起并绕其较长直角边
的中点 M 转动，使上面一块三角板的斜边刚好过下面一块三角板的直角顶点 C．已知 AC=5，
则这块直角三角板顶点 A、A′之间的距离等于 ．
三．解答题（共 5 小题）
21．已知：在△ABC 中，AB=AC，∠A=60°，求：∠B、∠C 的度数，△ABC 是什么三角形？5
22．如图，在等边△ABC 中，AC=6，点 O 在 AC 上，且 AO=2，点 P 是 AB 上一动点，连接 OP，
将线段 OP 绕点 O 逆时针旋转 60°得到线段 OD．要使点 D 恰好落在 BC 上，则 AP 的长是多少？
23．如图，在△ABC 中，∠BAC=90°，BE 平分∠ABC，AM⊥BC 于点 M，交 BE 于点 G，AD 平分∠
MAC，交 BC 于点 D，交 BE 于点 F．
（1）判断直线 BE 与线段 AD 之间的关系，并说明理由；
（2）若∠C=30°，图中是否存在等边三角形？若存在，请写出来并证明；若不存在，请说
明理由．6
24．如图一，AB=AC，BD、CD 分别平分∠ABC 和∠ACB．问：（答题时，注意书写整洁）
（1）图一中有几个等腰三角形？（写出来，不需要证明）
（2）过 D 点作 EF∥BC，交 AB 于 E，交 AC 于 F，如图二，图中现在增加了几个等腰三角形，
选一个进行证明．
（3）如图三，若将题中的△ABC 改为不等边三角形，其他条件不变，图中有几个等腰三角
形？（写出来，不需要证明）线段 EF 与 BE、CF 有什么关系，并证明．
25．如图，△ABC 中，AB=BC=AC=12cm，现有两点 M、N 分别从点 A、点 B 同时出发，沿三角
形的边运动，已知点 M 的速度为 1cm/s，点 N 的速度为 2cm/s．当点 N 第一次到达 B 点时，
M、N 同时停止运动．
（1）点 M、N 运动几秒后，M、N 两点重合？
（2）点 M、N 运动几秒后，可得到等边三角形△AMN？
（3）当点 M、N 在 BC 边上运动时，能否得到以 MN 为底边的等腰三角形 AMN？如存在，请求7
出此时 M、N 运动的时间．
8
参考答案与试题解析
一．选择题（共 12 小题）
1．
解：如图，过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E，
∵△AOB 是等边三角形，
∴AE⊥OB，∠OAE=30°，
∴OE= OA=1，AE= ．
∵点 A 位于第二象限，
∴（﹣1， ）．
故选：C．
2．
解：（1）点 P 在三角形内部时，点 P 是边 AB、BC、CA 的垂直平分线的交点，是三角形的外
心，
（2）点 P 在三角形外部时，一个对称轴上有三个点，如图：
共有 9 个点符合要求，
∴具有这种性质的点 P 共有 10 个．
故选：D．9
3．
解：如图，作 AD⊥BC 于 D，
∵AB=BC=AC=6，
∵AD 为 BC 边上的高，则 D 为 BC 的中点，
∴BD=DC=3，
∴AD= ，
∴等边△ABC 的面积= BC•AD= ×6×3 =9 ．
故选：C．
4．
解：因为有三角都是 60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，
那么可由①，②，④推出等边三角形，
而③只能得出这个三角形是等腰三角形．
故选：B．
10
5．
解：如图，∵AB=AC，
∴∠B=∠C．
∵∠AEF=∠DEC=90°﹣∠C，
∠F=90°﹣∠B，
∴∠AEF=∠F．
又∠A=120°，
∴∠FAE=60°．
∴△AEF 是等边三角形．
故选：A．
6．
解：∵△ABC 为等边三角形
∴AB=AC
∵∠1=∠2，BE=CD
∴△ABE≌△ACD
∴AE=AD，∠BAE=∠CAD=60°
∴△ADE 是等边三角形．
故选：B．
7．
解：有三角都是 60°，或有三边相等的三角形是等边三角形，
那么可由（1），（2），（4）推出等边三角形，
而（3）只能得出这个三角形是等腰三角形．
故选：B．
11
8．
解：（1）：因为外角和与其对应的内角的和是 180°，已知有一个外角是 120°，即是有一
个内角是 60°，有一个内角为 60°的等腰三角形是等边三角形．该结论正确．
（2）：两个外角相等说明该三角形中两个内角相等，而等腰三角形的两个底角是相等的，
故不能确定该三角形是等边三角形．该结论错误．
（3）：等腰三角形的底边上的高和中线本来就是重合的，“有一边”可能是底边，故不能
保证该三角形是等边三角形．该结论错误．
（4）若每一个角各取一个外角，则所有内角相等，即三角形是等边三角形；若一个顶点取 2
个的话，就不成立，该结论错误．
故选：D．
9．
解：①若添加的条件为 AB=AC，由∠A=60°，
利用有一个角为 60°的等腰三角形为等边三角形可得出△ABC 为等边三角形；
②若添加条件为∠B=∠C，
又∵∠A=60°，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠A=∠B=∠C，
则△ABC 为等边三角形；
③若添加的条件为边 AB、BC 上的高相等，如图所示：
已知：∠BAC=60°，AE⊥BC，CD⊥AB，且 AE=CD，
求证：△ABC 为等边三角形．
证明：∵AE⊥BC，CD⊥AB，
∴∠ADC=∠AEC=90°，
在 Rt△ADC 和 Rt△CEA 中，
，12
∴Rt△ADC≌Rt△CEA（HL），
∴∠ACE=∠BAC=60°，
∴∠BAC=∠B=∠ACB=60°，
∴AB=AC=BC，即△ABC 为等边三角形，
综上，正确的说法有 3 个．
故选：A．
10．
解：延长 ED 交 BC 于 M，延长 AD 交 BC 于 N，
∵AB=AC，AD 平分∠BAC，
∴AN⊥BC，BN=CN，
∵∠EBC=∠E=60°，
∴△BEM 为等边三角形，
∴△EFD 为等边三角形，
∵BE=6cm，DE=2cm，
∴DM=4cm，
∵△BEM 为等边三角形，
∴∠EMB=60°，
∵AN⊥BC，
∴∠DNM=90°，
∴∠NDM=30°，
∴NM=2cm，
∴BN=4cm，
∴BC=2BN=8cm．
故选：C．13
11．
解：如图延长 BD 到 M 使得 DM=DC，
∵∠ADB=78°，
∴∠ADM=180°﹣∠ADB=102°，
∵∠ADB=78°，∠BDC=24°，
∴∠ADC=∠ADB+∠BDC=102°，
∴∠ADM=∠ADC，
在△ADM 和△ADC 中，
，
∴△ADM≌△ADC，
∴AM=AC=AB，
∵∠ABD=60°，
∴△AMB 是等边三角形，
∴∠M=∠DCA=60°，
∵∠DOC=∠AOB，∠DCO=∠ABO=60°，
∴∠BAO=∠ODC=24°，
∵∠CAB+∠ABC+∠ACB=180°，
∴24°+2（60°+∠CBD）=180°，
∴∠CBD=18°，
故选：A．
12．14
解：①有一个外角是 120°的等腰三角形是等边三角形，正确；
②有两个外角相等的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；
③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形不一定是等边三角形，错误；
④有一个角是 60°，且是轴对称的三角形是等边三角形，正确．
故选：C．
二．填空题（共 8 小题）
13．
解：∵△ABC 是等边三角形，
∴∠BAC=60°，AB=AC．
又点 D 是边 BC 的中点，
∴∠BAD= ∠BAC=30°．
故答案是：30°．
14．
解：∵将数轴按如图所示从某一点开始折出一个等边三角形 ABC，设点 A 表示的数为 x﹣3，
点 B 表示的数为 2x+1，点 C 表示的数为﹣4，
∴﹣4﹣（2x+1）=2x+1﹣（x﹣3）；
∴﹣3x=9，
x=﹣3．
故 A 表示的数为：x﹣3=﹣3﹣3=﹣6，
点 B 表示的数为：2x+1=2×（﹣3）+1=﹣5，
即等边三角形 ABC 边长为 1，
数字 2012 对应的点与﹣4 的距离为：2012+4=2016，
∵2016÷3=672，C 从出发到 2012 点滚动 672 周，
∴数字 2012 对应的点将与△ABC 的顶点 C 重合．
故答案为：﹣3，C．
15．15
解：∵△A1B1A2 是等边三角形，
∴A1B1=A2B1，∠3=∠4=∠12=60°，
∴∠2=120°，
∵∠MON=30°，
∴∠1=180°﹣120°﹣30°=30°，
又∵∠3=60°，
∴∠5=180°﹣60°﹣30°=90°，
∵∠MON=∠1=30°，
∴OA1=A1B1=1，
∴A2B1=1，
∵△A2B2A3、△A3B3A4 是等边三角形，
∴∠11=∠10=60°，∠13=60°，
∵∠4=∠12=60°，
∴A1B1∥A2B2∥A3B3，B1A2∥B2A3，
∴∠1=∠6=∠7=30°，∠5=∠8=90°，
∴A2B2=2B1A2，B3A3=2B2A3，
∴A3B3=4B1A2=4，
A4B4=8B1A2=8，
A5B5=16B1A2=16，
以此类推：△AnBnAn+1 的边长为 2n﹣1．
故答案是：2n﹣1．
16．16
解：
（1）根据已知求出∠A=∠B=∠C，所以△ABC 是等边三角形；
（2）有一个角为 60°的等腰三角形是等边三角形；
（3）由三个外角都相等，得出三角形的三个内角也相等，根据三角都相等的三角形是等边
三角形；所以是等边三角形；
（4）、
∵AD=DC，BD⊥AC，
∴AB=BC，
∵AB=AC，
∴AB=AC=BC，
∴△ABC 是等边三角形；
故答案为（1）（2）（3）（4）．
17．
解：（1）如图，
由题中条件可得，BC=2，OA= ，OB=OC=1，
∴AB=AC=2=BC，
∴△ABC 是等边三角形；
（2）如上图，若将△ABC 三个顶点的纵坐标不变，横坐标分别加 3，
则所得的图形与原来的三角形全等，只不过相当于将△ABC 向右平移 3．17
18．
解：∵（a2﹣2ac）（b﹣a）=c2（a﹣b），
∴a≠b，
∴a2﹣2ac=﹣c2，
∴（a﹣c）2=0，
∴a=c，
∴△ABC 是等腰三角形，
∴a、b、c 之间满足的关系是 a=c≠b，
故答案为：a=c≠b，△ABC 是等腰三角形．
19．
解：在△ABD 和△ACD 中 ，
∴△ABD≌△ACD．
∴∠BAD=∠CAD．
又∵AB=AC，
∴BE=EC=3cm．
∴BC=6cm．
∵AB=AC，∠BAC=60°，
∴△ABC 为等边三角形．
∴AB=6cm．
故答案为：6．
18
20．
解：连接 AA′，
∵点 M 是线段 AC、线段 A′C′的中点，AC=5，
∴AM=MC=A′M=MC′=2.5，
∵∠MA′C=30°，
∴∠MCA′=∠MA′C=30°，
∴∠MCB′=180°﹣30°=150°，
∴∠C′MC=360°﹣（∠MCB′+∠B′+∠C′）=360°﹣（150°+60°+90°）=60°，
∴∠AMA′=∠C′MC=60°，
∴△AA′M 是等边三角形，
∴AA′=AM=2.5．
故答案为：2.5．
三．解答题（共 5 小题）
21．
解：∵在△ABC 中，AB=AC，∠A=60°，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠B=∠C=60°．
22．
解：连接 DP，
∵∠DOP=60°，OD=OP，
∴△ODP 是等边三角形，19
∴∠OPD=60°，PO=PD，
∵等边三角形 ABC，
∴∠A=∠B=60°，
∴∠AOP+∠OPA=120°，∠OPA+∠DPB=120°，
∴∠AOP=∠DPB，
在△AOP 和△BPD 中
，
∴△AOP≌△BPD，
∴AO=BP=2，
∴AP=AB﹣AP=6﹣2=4
23．
解：（1）BE 垂直平分 AD，理由：
∵AM⊥BC，
∴∠ABC+∠5=90°，
∵∠BAC=90°，
∴∠ABC+∠C=90°，
∴∠5=∠C；
∵AD 平分∠MAC，
∴∠3=∠4，
∵∠BAD=∠5+∠3，∠ADB=∠C+∠4，∠5=∠C，
∴∠BAD=∠ADB，
∴△BAD 是等腰三角形，
又∵∠1=∠2，
∴BE 垂直平分 AD．
（2）△ABD 是等边三角形．理由：
∵∠5=∠C=30°，AM⊥BC，
∴∠ABD=60°，20
∵∠BAC=90°，
∴∠CAM=60°，
∵AD 平分∠CAM，
∴∠4= ∠CAM=30°，
∴∠ADB=∠3+∠C=60°，
∴∠BAD=60°，
∴∠ABD=∠BDA=∠BAD，
∴△ABD 是等边三角形．
24．
解：（1）①∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵BD、CD 分别是角平分线，
∴∠DBC= ∠ABC= ∠ACB=∠DCB，
∴DB=DC，
∴△BDC 是等腰三角形，
即在图 1 中共有两个等腰三角形；
②∵EF∥BC，
∴∠EDB=∠DBC，
∵BD 平分∠ABC，
∴∠DBE=∠DBC，
∴∠DBE=∠EDB，
∴EB=ED，
∴△EBD 为等腰三角形，同理△FDC 为等腰三角形，
∵EF∥BC，
∴∠AEF=∠AFE，
∵AB=AC，
∴△AEF 为等腰三角形，
即在图 2 中增加了三个等腰三角形；21
（2）同②可证明得△EBD 为等腰三角形，△FDC 为等腰三角形，
所以 EF=BE+CF，
即只有两个等腰三角形．
25．
解：（1）设点 M、N 运动 x 秒后，M、N 两点重合，
x×1+12=2x，
解得：x=12；
（2）设点 M、N 运动 t 秒后，可得到等边三角形△AMN，如图①，
AM=t×1=t，AN=AB﹣BN=12﹣2t，
∵三角形△AMN 是等边三角形，
∴t=12﹣2t，
解得 t=4，
∴点 M、N 运动 4 秒后，可得到等边三角形△AMN．
（3）当点 M、N 在 BC 边上运动时，可以得到以 MN 为底边的等腰三角形，
由（1）知 12 秒时 M、N 两点重合，恰好在 C 处，
如图②，假设△AMN 是等腰三角形，
∴AN=AM，
∴∠AMN=∠ANM，
∴∠AMC=∠ANB，
∵AB=BC=AC，
∴△ACB 是等边三角形，
∴∠C=∠B，
在△ACM 和△ABN 中，
∵ ，
∴△ACM≌△ABN，
∴CM=BN，22
设当点 M、N 在 BC 边上运动时，M、N 运动的时间 y 秒时，△AMN 是等腰三角形，
∴CM=y﹣12，NB=36﹣2y，CM=NB，
y﹣12=36﹣2y，
解得：y=16．故假设成立．
∴当点 M、N 在 BC 边上运动时，能得到以 MN 为底边的等腰三角形 AMN，此时 M、N 运动的时
间为 16 秒．
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