二次函数与幂函数
【考点梳理】
1．二次函数
(1)二次函数解析式的三种形式
一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
顶点式：f(x)＝a(x－h)2＋k(a≠0)，顶点坐标为(h，k)；
零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．
(2)二次函数的图象与性质
函数
y＝ax2＋bx＋c(a＞0)
y＝ax2＋bx＋c(a＜0)
图象
定义域
R
值域
单调性
在上减，
在上增
在上增，
在上减
对称性
函数的图象关于x＝－对称
2．幂函数
(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．
(2)五种常见幂函数的图象与性质
函数
特征
性质
y＝x
y＝x2
y＝x3
y＝x
y＝x－1
图象
定义域
R
R
R
{x|x≥0}
{x|x≠0}
值域
R
{y|y≥0}
R
{y|y≥0}
{y|y≠0}
奇偶性
奇
偶
奇
非奇非偶
奇
单调性
增
(－∞，0)减，
(0，＋∞)增
增
增
(－∞，0)和
(0，＋∞)减
公共点
(1,1)
【考点突破】
考点一、求二次函数的解析式
【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则此二次函数的解析式是 ．
[答案] f(x)＝－4x2＋4x＋7
[解析] 法一(利用一般式)：
设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).
由题意得
解得
∴所求二次函数为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
法二(利用顶点式)：
设f(x)＝a(x－m)2＋n.
∵f(2)＝f(－1)，
∴抛物线的图象的对称轴为x＝＝.
∴m＝.又根据题意函数有最大值8，∴n＝8.
∴y＝f(x)＝a2＋8.
∵f(2)＝－1，∴a2＋8＝－1，解得a＝－4，
∴f(x)＝－42＋8＝－4x2＋4x＋7.
法三(利用零点式)：
由已知f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，
故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，
即f(x)＝ax2－ax－2a－1.
又函数的最大值是8，即＝8，
解得a＝－4，
∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7.
【类题通法】
用待定系数法求二次函数的解析式，关键是灵活选取二次函数解析式的形式，选法如下
【对点训练】
已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，它在x轴上截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式是 ．
[答案] f(x)＝x2－4x＋3
[解析] ∵f(2－x)＝f(2＋x)对x∈R恒成立，
∴f(x)的对称轴为x＝2.
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3.
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)．
又∵f(x)的图象过点(4，3)，
∴3a＝3，a＝1.
∴所求f(x)的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
考点二、二次函数的图象与性质
【例2】如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，图象过点A(－3，0)，对称轴为x＝－1.给出下面四个结论：
①b2>4ac；②2a－b＝1；③a－b＋c＝0；④5a0，即b2>4ac，①正确；
对称轴为x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，②错误；
结合图象知，当x＝－1时，y>0，即a－b＋c>0，③错误；
由对称轴为x＝－1知，b＝2a，又函数图象开口向下，∴a0，∴c>0，而f(0)＝c0，－>0，∴b0，∴c
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