空间几何体的表面积与体积
【考点梳理】
1．多面体的表(侧)面积
因为多面体的各个面都是平面，所以多面体的侧面积就是所有侧面的面积之和，表面积是侧面积与底面面积之和．
2．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式
圆柱
圆锥
圆台
侧面展开图
侧面积公式
S圆柱侧＝2πrl
S圆锥侧＝πrl
S圆台侧＝π(r1＋r2)l
3．柱、锥、台和球的表面积和体积
名称
几何体
表面积
体积
柱体(棱柱和圆柱)
S表面积＝S侧＋2S底
V＝Sh
锥体(棱锥和圆锥)
S表面积＝S侧＋S底
V＝Sh
台体(棱台和圆台)
S表面积＝S侧＋S上＋S下
V＝(S上＋S下＋)h
球
S＝4πR2
V＝πR3
【考点突破】
考点一、空间几何体的表面积
【例1】(1)如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为( )
A．18＋36 B．54＋18 C．90 D．81
(2)圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正视图和俯视图如图所示．若该几何体的表面积为16＋20π，则r＝( )
A．1 B．2 C．4 D．8
[答案] (1) B (2) B
[解析] (1)由三视图可知该几何体是底面为正方形的斜四棱柱，其中有两个侧面为矩形，另两个侧面为平行四边形，则表面积为(3×3＋3×6＋3×3)×2＝54＋18.故选B.
(2) 如图，该几何体是一个半球与一个半圆柱的组合体，球的半径为r，圆柱的底面半径为r，高为2r，则表面积S＝×4πr2＋πr2＋4r2＋πr·2r＝(5π＋4)r2.又S＝16＋20π，∴(5π＋4)r2＝16＋20π，∴r2＝4，r＝2，故选B.
【类题通法】
1．(1)多面体与旋转体的表面积等于侧面面积与底面面积之和．(2)简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的处理．
2．若以三视图的形式给出，解题的关键是对给出的三视图进行分析，从中发现几何体中各元素间的位置关系及数量关系，得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
【对点训练】
1．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积等于( )
A．8＋2 B．11＋2 C．14＋2 D．15
[答案] B
[解析] 由三视图知，该几何体是一个直四棱柱，上、下底面为直角梯形，如图所示．直角梯形斜腰长为＝，所以底面周长为4＋，侧面积为4＋2＋2＋2＝8＋2，两底面的面积和为2××1×(1＋2)＝3.所以该几何体的表面积为8＋2＋3＝11＋2.
2．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为( )
A．20π B．24π C．28π D．32π
[答案] C
[解析] 几何体是圆锥与圆柱的组合体，设圆柱底面圆半径为r，周长为c，圆锥母线长为l，圆柱高为h.由三视图知r＝2，c＝2πr＝4π，h＝4.所以l＝＝4.故该几何体的表面积S表＝πr2＋ch＋cl＝4π＋16π＋8π＝28π.
考点二、空间几何体的体积
【例2】(1)已知一个四棱锥的底面是平行四边形，该四棱锥的三视图如图所示(单位：m)，则该四棱锥的体积为________m3.
(2)如图所示，正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为2，侧棱长为，D为BC中点，则三棱锥A－B1DC1的体积为( )
A．3 B． C．1 D．
(3)在梯形ABCD中，∠ABC＝，AD∥BC，BC＝2AD＝2AB＝2.将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A． B． C． D．2π
[答案] (1) 2 (2) C (3) C
[解析] (1)由三视图知，四棱锥的高为3，底面平行四边形的一边长为2，对应高为1，所以其体积V＝Sh＝×2×1×3＝2.
(2)在正△ABC中，D为BC中点，则有AD＝AB＝，又∵平面BB1C1C⊥平面ABC，AD⊥BC，AD⊂平面ABC，由面面垂直的性质定理可得AD⊥平面BB1C1C，即AD为三棱锥A－B1DC1的底面B1DC1上的高，∴VA－B1DC1＝S△B1DC1·AD＝××2××＝1.
(3)过点C作CE垂直AD所在直线于点E，梯形ABCD绕AD
所在直线旋转一周而形成的旋转体是由以线段AB的长为底面圆半径，线段BC为母线的圆柱挖去以线段CE的长为底面圆半径，ED为高的圆锥，如图所示．
【类题通法】
1．若所给定的几何体是柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
2．若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法(转换的原则是使底面面积和高易求)、分割法、补形法等方法进行求解．
3．若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
【对点训练】
1．已知三棱锥的四个面都是腰长为2的等腰三角形，该三棱锥的正视图如图所示，则该三棱锥的体积是________.
[答案]
[解析] 由题可知，∵三棱锥每个面都是腰为2的等腰三角形，由正视图可得如右俯视图，且三棱锥高为h＝1，则体积V＝Sh＝××1＝.
2．高为4的直三棱柱被削去一部分后得到一个几何体，它的直观图和三视图中的侧视图、俯视图如图所示，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的________．
[答案]
[解析] 由侧视图、俯视图知该几何体是高为2、底面积为 ×2×(2＋4)＝6的四棱锥，其体积为×6×2＝4.而直三棱柱的体积为×2×2×4＝8，则该几何体的体积是原直三棱柱的体积的.
3．如图，直角梯形ABCD中，AD⊥DC，AD∥BC，BC＝2CD＝2AD＝2，若将该直角梯形绕BC边旋转一周，则所得的几何体的表面积为________．
[答案] (＋3)π
[解析] 根据题意可知，此旋转体的上半部分为圆锥(底面半径为1，高为1)，下半部分为圆柱(底面半径为1，高为1)，如图所示．则所得几何体的表面积为圆锥的侧面积、圆柱的侧面积以及圆柱的下底面积之和，即表面积为π·1·＋2π·12＋π·12＝(＋3)π.
考点三、多面体与球的切、接问题
【例3】在封闭的直三棱柱ABCA1B1C1内有一个体积为V的球．若AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，AA1＝3，则V的最大值是( )
A．4π B． C．6π D．
[答案] B
[解析] 由AB⊥BC，AB＝6，BC＝8，得AC＝10，要使球的体积V最大，则球与直三棱柱的部分面相切，若球与三个侧面相切，设底面△ABC的内切圆的半径为r.则×6×8＝×(6＋8＋10)·r，则r＝2.
此时2r＝4＞3，不合题意．
因此球与三棱柱的上、下底面相切时，球的半径R最大．
由2R＝3，即R＝.
故球的最大体积V＝πR3＝π.
【变式1】若本例中的条件变为“直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上”，若AB＝3，AC＝4，AB⊥AC，AA1＝12，求球O的表面积．
[解析] 将直三棱柱补形为长方体ABECA′B′E′C′，
则球O是长方体ABECA′B′E′C′的外接球，
∴体对角线BC′的长为球O的直径．
因此2R＝＝13，
故S球＝4πR2＝169π.
【变式2】若本例中的条件变为“正四棱锥的顶点都在球O的球面上”，若该棱锥的高为4，底面边长为2，求该球的体积．
[解析] 如图，设球心为O，半径为r，
则在Rt△AOF中，(4－r)2＋()2＝r2，
解得r＝，
则球O的体积V球＝πr3＝π×3＝.
【类题通法】
1．与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平面问题．
2．若球面上四点P，A，B，C中PA，PB，PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题．
【对点训练】
1．已知A，B是球O的球面上两点，∠AOB＝90°，C为该球面上的动点．若三棱锥OABC体积的最大值为36，则球O的表面积为( )
A．36π B．64π C．144π D．256π
[答案] C
[解析] 如图，设球的半径为R，∵∠AOB＝90°，∴S△AOB＝R2.
∵VOABC＝VCAOB，而△AOB面积为定值，
∴当点C到平面AOB的距离最大时，VOABC最大，
∴当C为与球的大圆面AOB垂直的直径的端点时，体积VOABC最大为×R2×R＝36，
∴R＝6，∴球O的表面积为4πR2＝4π×62＝144π.故选C.
2．三棱锥P ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，AC＝BC＝1，PA＝，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A．5π B．π C．20π D．4π
[答案] A
[解析] 把三棱锥P ABC看作由一个长、宽、高分别为1、1、的长方体截得的一部分(如图)．易知该三棱锥的外接球就是对应长方体的外接球．又长方体的体对角线长为＝，故外接球半径为，表面积为4π×2＝5π.
3．一个直六棱柱的底面是边长为2的正六边形，侧棱长为3，则它的外接球的体积为________．
[答案]
[解析] 由直六棱柱的外接球的直径为直六棱柱中最长的对角线，知该直六棱柱的外接球的直径为＝5，∴其外接球的表面积为.
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