2019高考数学考点突破——三角函数与解三角形：同角三角函数的基本关系与诱导公式Word版含解析.doc

同角三角函数的基本关系与诱导公式 ‎【考点梳理】‎ ‎1．同角三角函数的基本关系式 ‎(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；‎ ‎(2)商数关系：tan α＝.‎ ‎2．诱导公式 组序 一 二 三 四 五 六 角 ‎2kπ＋‎ α(k∈Z)‎ π＋α ‎－α π－α －α ＋α 正弦 sin α ‎－sin α ‎－sin α sin α cos α cos_α 余弦 cos α ‎－cos α cos α ‎－cos_α sin α ‎－sin α 正切 tan α tan α ‎－tan α ‎－tan_α 口诀 函数名不变，符号看象限 函数名改变符号看象限 记忆 规律 奇变偶不变，符号看象限 ‎【考点突破】‎ 考点一、同角三角函数基本关系式的应用 ‎【例1】已知α∈，sin α＝，则tan α＝________.‎ ‎[答案] － ‎[解析] ∵α∈，sin α＝，∴cos α＝－＝－，∴tan α＝＝－.‎ ‎【类题通法】‎ 利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tan α可以实现角α的弦切互化．‎ ‎【对点训练】‎ 若cos α＝，α∈，则tan α＝________.‎ ‎[答案] －2 ‎[解析] 由已知得sin α＝－＝－ ＝－，所以tan α＝＝－2.‎ ‎【例2】若tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝(　　)‎ A． B． C．1 D． ‎[答案] A ‎[解析] ∵tan α＝，则cos2α＋2sin 2α＝＝ ‎＝＝，故选A.‎ ‎【类题通法】‎ 若已知正切值，求一个关于正弦和余弦的齐次分式的值，则可以通过分子、分母同时除以一个余弦的齐次幂将其转化为一个关于正切的分式，代入正切值就可以求出这个分式的值．‎ ‎【对点训练】‎ 已知tan α＝2，则的值为________.‎ ‎[答案] 3‎ ‎[解析] 原式＝＝＝3.‎ ‎【例3】已知sin αcos α＝，且＜α＜，则cos α－sin α的值为(　　)‎ A．－ B． C．－ D． ‎[答案] B ‎[解析] ∵＜α＜，∴cos α＜0，sin α＜0且cos α＞sin α，∴cos α－sin α＞0.‎ 又(cos α－sin α)2＝1－2sin αcos α＝1－2×＝，∴cos α－sin α＝.‎ ‎【类题通法】‎ 对于sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α这三个式子，知一可求二，若令sin α＋cos α＝t，则sin αcos α＝，sin α－cos α＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．‎ ‎【对点训练】‎ 已知sin θ＋cos θ＝，θ∈，则sin θ－cos θ的值为________.‎ ‎[答案] － ‎[解析] ∵sin θ＋cos θ＝，∴sin θcos θ＝.‎ 又∵(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝，又∵θ∈，‎ ‎∴sin θ－cos θ＝－.‎ 考点二、诱导公式的应用 ‎【例4】(1)化简：＝________.‎ ‎(2)已知cos＝，则cos－sin2的值为________.‎ ‎[答案] (1) 1　(2) － ‎[解析] (1)原式＝＝＝1.‎ ‎(2)∵cos＝cos＝－cos＝－，‎ sin2＝sin2＝sin2＝1－cos2＝1－2＝，‎ ‎∴cos－sin2＝－－＝－.‎ ‎【类题通法】‎ ‎1．利用诱导公式应注意已知角或函数名称与所求角或函数名称之间存在的关系，尤其是角之间的互余、互补关系，选择恰当的公式，向所求角和三角函数进行化归．‎ ‎2．诱导公式的应用原则：负化正、大化小、小化锐、锐求值．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．求值：sin(－1 200°)cos 1 290°＋cos(－1 020°)·sin(－1 050°)＝________.‎ ‎[答案] 1‎ ‎[解析] 原式＝－sin 1 200°cos 1 290°－cos 1 020°sin 1 050°‎ ‎＝－sin(3×360°＋120°)cos(3×360°＋210°)－cos(2×360°＋300°)sin(2×360°＋330°)‎ ‎＝－sin 120°cos 210°－cos 300°sin 330°‎ ‎＝－sin(180°－60°)cos(180°＋30°)－cos(360°－60°)·sin(360°－30°)‎ ‎＝sin 60°cos 30°＋cos 60°sin 30°‎ ‎＝×＋×＝1.‎ ‎2．已知tan＝，则tan＝________.‎ ‎[答案] － ‎[解析] tan＝tan＝tan＝－tan＝－.‎ 考点三、同角关系式与诱导公式的综合应用 ‎【例5】(1)已知α∈，且cos α＝－，则＝(　　)‎ A．　　　　　 B．－ C． D．－ ‎(2)已知θ是第四象限角，且sin＝，则tan＝________.‎ ‎[答案] (1) C　(2) － ‎[解析] (1)∵α∈，且cos α＝－，∴sin α＝，则＝＝＝.‎ ‎(2)由题意知sin＝，θ是第四象限角，所以cos＞0，所以cos＝ ＝.则tan＝tan＝－＝－＝－×＝－.‎ ‎【类题通法】‎ 利用同角三角函数基本关系式和诱导公式化简三角函数的基本思路和化简要求：‎ ‎(1)基本思路：①分析结构特点，选择恰当公式；②利用公式化成单角三角函数；③整理得最简形式．‎ ‎(2)化简要求：①化简过程是恒等变形；②结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值．‎ ‎【对点训练】‎ ‎1．已知sin α＝，α是第二象限角，则tan(π－α)＝________.‎ ‎[答案] ‎[解析] ∵sin α＝，α是第二象限角，∴cos α＝－，∴tan α＝－，故tan(π－α)＝－tan α＝.‎ ‎2．已知cos＝，且－π