6 第1课时 一元二次方程的实际应用(一)
知识点 1 用一元二次方程解决几何图形问题
1．某中学准备建一个面积为375 m2的矩形游泳池，且游泳池的宽比长短10 m．设游泳池的长为x m，则可列方程为( )
A．x(x－10)＝375 B．x(x＋10)＝375
C．2x(2x－10)＝375 D．2x(2x＋10)＝375
2．2017·贵阳期末如图2－6－1所示，某小区计划在一块长20 m，宽15 m的矩形荒地上建造一个花园(图中阴影部分)，使得花园所占面积为荒地面积的一半，其中每个角上的扇形都相同，则每个扇形的半径x是多少？(精确到0.1 m)
图2－6－1
知识点 2 用一元二次方程解决动态几何图形问题
3．如图2－6－2，A，B，C，D为矩形的四个顶点，AB＝16 cm，BC＝6 cm，动点P，Q
8
分别从点A，C出发，点P以3 cm/s的速度向点B移动，一直到达点B为止；同时点Q以2 cm/s的速度向点D移动．当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动．经过多长时间，P，Q两点之间的距离是10 cm?
图2－6－2
4．教材习题2.9第2题变式题如图2－6－3所示，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝8 cm，BC＝6 cm, 点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速移动，它们的速度都是1 cm/s.当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止移动．经过几秒后，△PCQ的面积为Rt△ACB面积的四分之一？
图2－6－3
5．如图2－6－4所示，一根木棍OE垂直平分柱子AB，AB＝200 cm，OE＝260 cm，一只老鼠C由柱子底端点A以2 cm/s的速度向顶端点B爬行，同时，另一只老鼠D由点O以3 cm/s的速度沿木棍OE爬行，当老鼠C在线段OA上时，是否存在某一时刻，使两只老鼠与点O组成的三角形的面积为1800 cm2？若存在，求出爬行的时间；若不存在，请说明理由．
图2－6－4
8
6．如图2－6－5，在矩形ABCD中，AB＝6 cm，BC＝12 cm，点P从点A沿边AB向点B以1 cm/s的速度移动；同时，点Q从点B沿边BC向点C以2 cm/s的速度移动，经过x s后△PDQ的面积等于28 cm2，则x的值为( )
A．1或4 B．1或6
C．2或4 D．2或6
图2－6－5
图2－6－6
7．如图2－6－6，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝BC＝12 cm，点D从点A开始沿AB边以2 cm/s的速度向点B移动，移动过程中始终保持DE∥BC，DF∥AC，则点D出发________时，四边形DFCE的面积为20 cm2.
8．某单位准备将院内一块长30 m、宽20 m的长方形空地建成一个矩形花园．要求在花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的地方种植花草，如图2－6－7所示．要使种植花草的面积为532 m2，那么小道进出口的宽度应为多少？(注：所有小道进出口的宽度相等，且每段小道均为平行四边形)
8
图2－6－7
9．如图2－6－8所示，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，同时点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另外一点也随之停止．
(1)几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?
(2)几秒后，PQ的长度等于5 cm?
(3)△PBQ的面积能否等于7 cm2?
图2－6－8
10．如图2－6－9，已知一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风中心正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风中心20海里的圆形区域(包括边界)都属台风区．当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向的B处，且AB＝100海里，若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求经过多长时间轮船最初遇到台风；若不会，请说明理由．
8
图2－6－9
1．A
2．解：根据题意，得4×πx2＝×20×15，
解得x1≈6.9，x2≈－6.9(舍去)．
答：每个扇形的半径x大约是6.9 m.
3．解：设经过x s，P，Q两点之间的距离是10 cm，根据题意，得
62＋(16－5x)2＝102，
整理，得25x2－160x＋192＝0，
解得x1＝1.6，x2＝4.8.
答：经过1.6 s或4.8 s，P，Q两点之间的距离是10 cm.
4．解：设经过x s后，△PCQ的面积为Rt△ACB面积的四分之一．
8
根据题意，得(6－x)(8－x)＝×6×8×，
化简，得x2－14x＋36＝0，
解得x1＝7＋(舍去)，x2＝7－.
所以经过(7－)s后，△PCQ的面积为Rt△ACB面积的四分之一．
5．解：存在．
因为OE垂直平分AB，AB＝200 cm，
所以OA＝100 cm.
当老鼠C在OA上运动时，设两只老鼠同时爬行x s时，两只老鼠与点O组成的△COD的面积为1800 cm2，
则AC＝2x cm，OC＝(100－2x)cm，OD＝3x cm.
由S△OCD＝OC·OD，
得(100－2x)·3x＝1800.
整理，得x2－50x＋600＝0.
解得x1＝20，x2＝30.
当x＝20时，2x＝407，
说明此时点Q越过点C，不符合要求，舍去，
∴1 s后，△PBQ的面积等于4 cm2.
(2)设y s后PQ的长度等于5 cm，此时AP＝y cm，BP＝(5－y)cm，BQ＝2y cm.
由BP2＋BQ2＝52，
得(5－y)2＋(2y)2＝52.
整理，得y2－2y＝0.
解得y1＝0(不合题意，舍去)，y2＝2.
∴2 s后，PQ的长度等于5 cm.
(3)假设△PBQ的面积能等于7 cm2，此时点P，Q的运动时间为z s，则(5－z)·2z＝7，
整理，得z2－5z＋7＝0.
∵(－5)2－4×7＝－3
微信/支付宝扫码支付