第二十七章 相似
27．1 图形的相似
01 基础题
知识点1 相似图形
1．下列各组图形相似的是(B)
2．下列各项中不是相似图形的是(C)
A．放大镜里看到的三角板与原来的三角板
B．同一张底片洗出的2寸相片和1寸相片
C．哈哈镜里看到的人像与真人像
D．课本里的中国地图和教室墙上挂的中国地图
知识点2 成比例线段
3．下列各组线段成比例的是(D)
A．2 cm，5 cm，6 cm，8 cm
B．1 cm，2 cm，3 cm，4 cm
C．3 cm，6 cm，7 cm，9 cm
D．3 cm，6 cm，9 cm，18 cm
4．已知线段a，b，c，d成比例，且＝，其中a＝8 cm，b＝4 cm，c＝12 cm，则d＝6cm.
5．在比例尺为1∶200 000的地图上，测得A，B两地间的图上距离为4.5 cm，则A，B两地间的实际距离为9__000m.
知识点3 相似多边形
6．两个相似多边形一组对应边分别为3 cm，4.5 cm，那么它们的相似比为(A)
A. B. C. D.
7．(2018·重庆A卷)要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5 cm，6 cm和9 cm，另一个三角形的最短边长为2.5 cm，则它的最长边为(C)
A．3 cm B．4 cm C．4.5 cm D．5 cm
8．下列四组图形中，一定相似的是(D)
A．正方形与矩形
B．正方形与菱形
C．菱形与菱形
D．正五边形与正五边形
9．如图是两个相似四边形，已知数据如图所示，则x＝，α＝80°．
10．如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，A′，B′，C′，D′分别是OA，OB，OC，OD的中点，判断四边形ABCD与四边形A′B′C′D′是否相似，并说明理由．
71
解：四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．
理由：∵A′，B′分别是OA，OB的中点，
∴A′B′∥AB，A′B′＝AB.
∴∠OA′B′＝∠OAB，＝.
同理，∠OA′D′＝∠OAD，＝.
∴∠B′A′D′＝∠BAD，＝.
同理，∠A′D′C′＝∠ADC，∠D′C′B′＝∠DCB，∠C′B′A′＝∠CBA，
＝＝＝，
∴四边形ABCD与四边形A′B′C′D′相似．
易错点 没有分情况讨论导致漏解
11．已知三条线段的长分别为1 cm、2 cm、 cm，如果另外一条线段与它们是成比例线段，那么另外一条线段的长为__cm，2__cm或__cm.
02 中档题
12．用一个10倍的放大镜看一个15°的角，看到的角的度数为(C)
A．150° B．105° C．15° D．无法确定大小
13．已知四条线段的长度分别为2，x－1，x＋1，4，且它们是成比例线段，则x的值为(B)
A．2 B．3 C．－3 D．3或－3
14．如图，正五边形FGHMN与正五边形ABCDE相似，若AB∶FG＝2∶3，则下列结论正确的是(B)
A．2DE＝3MN B．3DE＝2MN
C．3∠A＝2∠F D．2∠A＝3∠F
15．(教材P28习题T5变式)如图，DE∥BC，DE＝3，BC＝9，AD＝1.5，AB＝4.5，AE＝1.8，AC＝5.4.
(1)求，，的值；
(2)求证：△ADE与△ABC相似.
71
解：(1)＝＝，
＝＝，
＝＝.
(2)证明：∵DE∥BC,
∴∠D＝∠B，∠E＝∠C.
又∵∠DAE＝∠BAC，＝＝，
∴△ADE与△ABC相似．
16．如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作GE⊥AD，GF⊥AB，垂足分别为点E，F.求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
证明：∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线，
∴∠DAC＝∠BAC＝45°.
又∵GE⊥AD，GF⊥AB，
∴EG＝FG，且AE＝EG，AF＝FG.
∴AE＝EG＝FG＝AF.
又∵∠EAF＝90°，
∴四边形AFGE为正方形．
∴＝＝＝，且∠EAF＝∠DAB，∠AFG＝∠ABC，∠FGE＝∠BCD，∠AEG＝∠ADC.
∴四边形AFGE与四边形ABCD相似．
03 综合题
17．(教材P28习题T8变式)如图，把矩形ABCD对折，折痕为MN，矩形DMNC与矩形ABCD相似，已知AB＝4.
(1)求AD的长；
(2)求矩形DMNC与矩形ABCD的相似比．
71
解：(1)若设AD＝x(x＞0)，则DM＝.
∵矩形DMNC与矩形ABCD相似，
∴＝，
即＝.解得x＝4(舍负)．
∴AD的长为4.
(2)矩形DMNC与矩形ABCD的相似比为
＝＝.
71
27．2 相似三角形
27．2.1 相似三角形的判定
第1课时 平行线分线段成比例
01 基础题
知识点1 相似三角形的有关概念
1．如图所示，△ADE∽△ACB，∠AED＝∠B，那么下列比例式成立的是(A)
A.＝＝ B.＝
C.＝＝ D.＝
2．已知△ABC和△A′B′C′相似，且△ABC与△A′B′C′的相似比为R1，△A′B′C′与△ABC的相似比为R2，则R1与R2的关系是(D)
A．R1＝R2 B．R1R2＝－1
C．R1＋R2＝0 D．R1R2＝1
知识点2 平行线分线段成比例定理及推论
3．如图，AB∥CD∥EF，则下列结论不正确的是(C)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4．(教材P31练习T2变式)如图，在△ABC中，DE∥BC.若＝，则＝(C)
A. B. C. D.
5．(2017·临沂)如图，已知AB∥CD，AD与BC相交于点O.若＝，AD＝10，则AO＝4．
6．(2018·嘉兴)如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF交l1，l2，l3
71
于点D，E，F.已知＝，则＝2．
7．如图，EG∥BC，GF∥CD，AE＝3，EB＝2，AF＝6，求AD的值．
解：∵EG∥BC，∴＝.
∵GF∥CD，∴＝.
∴＝，即＝.
∴FD＝4.
∴AD＝AF＋FD＝10.
知识点3 相似三角形判定的预备定理
8．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，DE∥BC.若BD＝2AD，则(B)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
9．(2017·自贡)如图，在△ABC中，MN∥BC 分别交AB，AC于点M，N.若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为1.
10．如图，在△ABC中，点D在BC上，EF∥BC，分别交AB，AC，AD于点E，F，G，图中共有几对相似三角形？分别是哪几对？
解：共有3对相似三角形，分别是：
△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，△AEF∽△ABC.
71
易错点 图形的不唯一导致漏解
11．在△ABC中，AB＝6，AC＝9，点P是直线AB上一点，且AP＝2，过点P作BC边的平行线，交直线AC于点M，则MC的长为6或12．
02 中档题
12．如图，在△ABC中，AB＝AC＝12，AD⊥BC于点D，点E在AD上，且DE＝2AE，连接BE并延长交AC于点F，则线段AF长为(C)
A．4 B．3 C．2.4 D．2
13．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上．若线段AB＝4 cm，则线段BC＝12cm.
14．小明正在攀登一个如图所示的攀登架，DE和BC是两根互相平行的固定架，DE＝10米，BC＝18米，小明从底部固定点B开始攀登，攀行8米，遇上第二个固定点D，小明再攀行多少米可到达这个攀登架的顶部A?
解：∵DE∥BC，
∴△ABC∽△ADE.
∴＝，
即＝.∴AD＝10.
答：小明再攀行10米可到达这个攀登架的顶部A.
15．如图，已知：AB＝AD，AC＝AE，FG∥DE.求证：△ABC∽△AFG.
证明：∵AB＝AD，AC＝AE，∠BAC＝∠DAE，
∴△ABC≌△ADE.
∴BC＝DE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠AED.
∵FG∥DE，
∴△AFG∽△ADE.
∴＝＝.
71
∴＝＝.
又∵∠C＝∠AED＝∠G，
∠B＝∠ADE＝∠F，
∠BAC＝∠FAG，
∴△ABC∽△AFG.
03 综合题
16．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．
解：∵在△ABC中，EG∥BC，
∴△AEG∽△ABC.
∴＝，
即＝.∴EG＝6.
∵在△BAD中，EF∥AD，
∴△BEF∽△BAD.∴＝，
即＝.∴EF＝.
∴FG＝EG－EF＝.
71
第2课时 相似三角形的判定定理1，2
01 基础题
知识点1 三边成比例的两个三角形相似
1．有甲、乙两个三角形木框，甲三角形木框的三边长分别为1，，，乙三角形木框的三边长分别为5，，，则甲、乙两个三角形(A)
A．一定相似 B．一定不相似
C．不一定相似 D．无法判断
2．(教材P34练习T3变式)已知△ABC的三边长分别为6 cm，7.5 cm，9 cm，△DEF的一边长为4 cm，当△DEF的另两边长是下列哪一组数据时，这两个三角形相似(C)
A．2 cm，3 cm B．4 cm，5 cm
C．5 cm，6 cm D．6 cm，7 cm
3．下列四个三角形中，与图甲中的三角形相似的是(B)
4．如图，在△ABC中，AB＝25，BC＝40，AC＝20.在△ADE中，AE＝12，AD＝15，DE＝24，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由．
解：相似．
理由：∵＝＝，＝＝，
＝＝，
∴＝＝.
∴△ABC∽△ADE.
知识点2 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
5．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是(C)
6．如图，在△ABC与△ADE中，∠BAC＝∠D，要使△ABC与△ADE相似，还需满足下列条件中的(C)
71
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
7．在△ABC和△A′B′C′中，若∠B＝∠B′，AB＝6，BC＝8，B′C′＝4，则当A′B′＝3时，△ABC∽△A′B′C′.
8．如图，已知AB·AD＝AC·AE，∠B＝30°，则∠E＝30°．
9．如图，已知在正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ∽△QCP.
证明：设正方形的边长为4a，则AD＝CD＝BC＝4a.
∵Q是CD的中点，BP＝3PC，
∴DQ＝CQ＝2a，PC＝a.
∴＝＝.
又∵∠D＝∠C＝90°，
∴△ADQ∽△QCP.
易错点 对应边没有确定时容易漏解
10. (2017·随州)在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝或时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．
02 中档题
11．如图，在正方形网格上，若使△ABC∽△PBD，则点P应在________处(C)
A．P1 B．P2 C．P3 D．P4
12．如图，在等边△ABC中，D，E分别在AC，AB上，且AD∶AC＝1∶3，AE＝BE，则有(B)
A．△AED∽△BED B．△AED∽△CBD
C．△AED∽△ABD D．△BAD∽△BCD
71
13．如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.
(1)求证：△ADF∽△ACG；
(2)若＝，求的值．
解：(1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠BAC，
∴∠ADF＝∠C.
又∵＝，
∴△ADF∽△ACG.
(2)∵△ADF∽△ACG.
∴＝＝.
∴＝1.
14．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6 cm，BC＝8 cm，动点P从点B出发，在BA边上以每秒5 cm的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒4 cm的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒(0＜t＜2)，连接PQ.若以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似，求t的值．
解：由题意，得BP＝5t，QC＝4t，AB＝10 cm，BC＝8 cm.
①∵∠PBQ＝∠ABC，
∴若△BPQ∽△BAC，则还需＝，
即＝.解得t＝1.
②∵∠PBQ＝∠CBA，
∴若△BPQ∽△BCA，则还需＝，
即＝.解得t＝.
71
综上所述，当t＝1或时，以B，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似．
03 综合题
15．如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.
(1)通过计算，判断AD2与AC·CD 的大小关系；
(2)求∠ABD 的度数．
解：(1)∵AD＝BC＝，
∴AD2＝()2＝.
∵AC＝1，
∴CD＝1－＝.
∴AD2＝AC·CD.
(2)∵AD2＝AC·CD，
∴BC2＝AC·CD，即＝.
又∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC.∴＝.
又∵AB＝AC，∴BD＝BC＝AD.
∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC.
设∠A＝∠ABD＝x°，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x°.
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x°.
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x°＋2x°＋2x°＝180°.
解得x＝36.
∴∠ABD＝36°.
71
第3课时 相似三角形的判定定理3
01 基础题
知识点1 两角分别相等的两个三角形相似
1．有一个角为30°的两个直角三角形一定(B)
A．全等 B．相似
C．既全等又相似 D．无法确定
2．(教材P36练习T2变式)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，则下列说法中错误的是(C)
A．△ACD∽△CBD
B．△ACD∽△ABC
C．△BCD∽△ABC
D．△BCD∽△BAC
3．(2018·永州)如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为(B)
A．2 B．4 C．6 D．8
4．(2018·邵阳)如图，点E是平行四边形ABCD的边BC延长线上一点，连接AE，交CD于点F，连接BF.写出图中任意一对相似三角形：答案不唯一．如：△EFC∽△AFD，△EAB∽△AFD，△EFC∽△EAB．
5．已知在△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是△EFD，△HGK.
6．如图，点D，E在BC上，且FD∥AB，FE∥AC.求证：△ABC∽△FDE.
证明：∵FD∥AB，FE∥AC，
∴∠B＝∠FDE，∠C＝∠FED.
∴△ABC∽△FDE.
7．甲、乙两位同学同解一道题目：“如图，F，
G是直线AB上的两点，D是AC上的一点，且DF∥CB，∠E＝∠C，请写出与△ABC相似的三角形，并加以证明”．
甲同学的解答得到了老师的好评．
乙同学的解答是这样的：“与△ABC相似的三角形只有△AFD，证明如下：
∵DF∥CB，
∴△AFD∽△ABC.”
71
乙同学的解答正确吗？若不正确，请你改正．
解：乙同学的解答不正确．
与△ABC相似的三角形还有△GFE，应该补上．证明如下：
∵DF∥BC，
∴∠GFE＝∠ABC.
又∵∠E＝∠C，
∴△GFE∽△ABC.
知识点2 斜边和一条直角边成比例的两个直角三角形相似
8．在△ABC和△A1B1C1中，∠A＝∠A1＝90°，添加下列条件不能判定两个三角形相似的是(D)
A．∠B＝∠B1 B.＝
C.＝ D.＝
9．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm和15 cm，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为6 cm和 cm，这两个直角三角形是(填“是”或“不是”)相似三角形．
10．在△ABC和△A′B′C′中，∠C＝∠C′＝90°，AC＝12，AB＝15，A′C′＝8，则当A′B′＝10时，△ABC∽△A′B′C′.
易错点 斜边和直角边比例不唯一导致漏解
11．如图，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝，AC＝2，则AD的长为3或3时，图中两直角三角形相似．
02 中档题
12．如图，点P在△ABC的边AC上，要判断△ABP∽△ACB，添加一个条件，不正确的是(D)
A．∠ABP＝∠C B．∠APB＝∠ABC
C.＝ D.＝
13．如图，在△ABC中，AE交BC于点D，∠C＝∠E，AD∶DE＝3∶5，AE＝8，BD＝4，则DC的长等于(A)
A. B. C. D.
71
14．下列命题：①所有的等腰三角形都相似；②有一个角是50°的两个等腰三角形相似；③有一个角是60°的两个等腰三角形相似；④有一个角是110°的两个等腰三角形相似；⑤所有的等腰直角三角形都相似．其中真命题是③④⑤(填序号)．
15．(2017·齐齐哈尔)经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为113°或92°．
16．如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD＝3，∠ADE＝60°，求AE的长．
解：∵△ABC是边长为9的等边三角形，
∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC＝AC＝9.
∴∠BAD＋∠ADB＝120°.
∵∠ADE＝60°，
∴∠CDE＋∠ADB＝120°.
∴∠BAD＝∠CDE.
又∵∠B＝∠C，
∴△ABD∽△DCE.
∴＝，即＝.∴CE＝2.
∴AE＝9－2＝7.
03 综合题
17．如图，在矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.
(1)求证：△APQ∽△CDQ；
(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD.
∴∠APQ＝∠CDQ.
71
又∵∠AQP＝∠CQD，
∴△APQ∽△CDQ.
(2)当t＝5时，DP⊥AC.
理由：∵t＝5，∴AP＝5.
∴＝.
又∵＝，
∴＝.
又∵∠PAD＝∠ADC＝90°，
∴△PAD∽△ADC.
∴∠ADP＝∠DCA.
∵∠ADP＋∠CDP＝∠ADC＝90°，
∴∠DCA＋∠CDP＝90°.
∴∠DQC＝90°，即DP⊥AC.
71
小专题(四) 相似三角形的基本模型
模型1 X字型及其变形
(1)如图1，对顶角的对边平行，则△ABO∽△DCO；
(2)如图2，对顶角的对边不平行，且∠OAB＝∠OCD，则△ABO∽△CDO.
1．(2018·恩施)如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于点E，对角线BD交AG于点F，已知FG＝2，则线段AE的长度为(D)
A．6 B．8 C．10 D．12
2．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则的值是．
3．如图，已知∠ADE＝∠ACB，BD＝8，CE＝4，CF＝2，求DF的长．
解：∵∠ADE＝∠ACB，
∴180°－∠ADE＝180°－∠ACB，
即∠BDF＝∠ECF.
又∵∠BFD＝∠EFC，
∴△BDF∽△ECF.
∴＝，即＝.
∴DF＝4.
模型2 A字型及其变形
(1)如图1，公共角的对边平行，则△ADE∽△ABC；
(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一对角相等，则△ADE∽△ABC；
(3)如图3，公共角的对边不平行，两个三角形有一条公共边，且有另一对角相等，则△ACD∽△ABC.常见的结论有：AC2＝AD·AB.
71
)
4．如图，在△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(B)
A．4 B．4 C．6 D．4
5．如图，在锐角三角形ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.
证明：∵AF⊥DE，AG⊥BC，
∴∠AFE＝∠AGC＝90°，
∵∠EAF＝∠GAC，
∴∠AEF＝∠ACG.
又∵∠DAE＝∠BAC，
∴△ADE∽△ABC.
6．如图，AD与BC相交于点E，点F在BD上，且AB∥EF∥CD，求证：＋＝.
证明：∵AB∥EF，
∴△DEF∽△DAB.
∴＝.
又∵EF∥CD，
∴△BEF∽△BCD.
∴＝.
∴＋＝＋＝＝1.
∴＋＝.
71
模型3 双垂型
直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似，即△ACD∽△ABC∽△CBD.常见的结论有：CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.
7．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝3，则斜边AB的长为(B)
A．3 B．15 C．9 D．3＋3
8．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝6，AC＝3．
模型4 一线三等角型
(1)如图1，Rt△ABD与Rt△BCE的斜边互相垂直，则有△ABD∽△CEB；
(2)如图2，点B，C，E在同一条直线上，∠B＝∠ACD＝∠E，则△ABC∽△CED.特殊地，连接AD，当点C为BE的中点时，△ABC∽△CED∽△ACD.
图1 图2
9．(2017·江西)如图，在正方形ABCD中，点E，F，G分别在AB，BC，CD上，且∠EFG＝90°.求证：△EBF∽△FCG.
证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B＝∠C＝90°.
∴∠BEF＋∠BFE＝90°.
∵∠EFG＝90°，
∴∠BFE＋∠CFG＝90°.
∴∠BEF＝∠CFG.
71
∴△EBF∽△FCG.
10．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．
(1)求证：△BDE∽△CEF；
(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.
证明：(1)∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C.
∵∠BDE＝180°－∠B－∠DEB，∠CEF＝180°－∠DEF－∠DEB，且∠DEF＝∠B，
∴∠BDE＝∠CEF.
∴△BDE∽△CEF.
(2)∵△BDE∽△CEF，∴＝.
∵点E是BC的中点，∴BE＝CE.∴＝.
∵∠DEF＝∠B＝∠C，∴△DEF∽△ECF.
∴∠DFE＝∠CFE，即FE平分∠DFC.
11．如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且∠BEF＝90°.
(1)求证：△ABE∽△DEF；
(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，
∴∠A＝∠D＝90°.
∴∠ABE＋∠AEB＝90°.
∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.
∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.
(2)∵AB＝AD＝4，E为AD的中点，
∴AE＝DE＝2.
由(1)知，△ABE∽△DEF，
∴＝，即＝.
∴DF＝1.∴CF＝3.
∵ED∥CG，
∴△EDF∽△GCF.
∴＝，即＝.
∴GC＝6.
∴BG＝BC＋GC＝10.
71
周测(27.1～27.2.1)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．如图，已知直线a∥b∥c，直线m交直线a，b，c于点A，B，C，直线n交直线a，b，c于点D，E，F.若＝，则＝(B)
A. B. C. D．1
2．下列两个图形一定相似的是(D)
A．任意两个等腰三角形 B．任意两个矩形
C．任意两个菱形 D．任意两个等边三角形
3．如图，在△ABC中，D，E分别为AB，AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是(C)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4．如图，在▱ABCD中，EF∥AB，DE∶EA＝2∶3，EF＝4，则AB的长为(C)
A. B．8 C．10 D．16
5．在三角形纸片ABC中，AB＝8，BC＝4，AC＝6，按下列方法沿虚线剪下，能使阴影部分的三角形与△ABC相似的是(D)
A B C D
6．如图，D是△ABC的边AB上一点，下列条件：①∠ACD＝∠B；②AC2＝AD·AB；③AB边上与点C距离相等的点D有两个；④∠B＝∠ACB，其中一定使△ABC∽△ACD的有(B)
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
71
7．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，按如下步骤作图：
第一步，分别以点A，D为圆心，以大于AD的长为半径在AD两侧作弧，交于两点M，N；
第二步，连接MN分别交AB，AC于点E，F；
第三步，连接DE，DF.
若BD＝6，AF＝4，CD＝3，则BE的长是(D)
A．2 B．4 C．6 D．8
8．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下：
甲：将边长为3，4，5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距均为1，则新三角形与原三角形相似．
乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形不相似．
对于两人的观点，下列说法正确的是(A)
图1 图2
A．两人都对 B．两人都不对
C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．在比例尺为1∶10 000 000的地图上，量得甲、乙两个城市之间的距离是8 cm，那么甲、乙两个城市之间的实际距离应为800__km.
10．如图，x＝2．
11．如图，已知∠A＝∠D，要使△ABC∽△DEF，还需添加一个条件，你添加的条件是AB∥DE(答案不唯一)．(只需写一个条件，不添加辅助线和字母)
12．如图，点O是△ABC中任意一点，且AD＝OD，BE＝BO，CF＝CO，则△ABC∽△DEF，其相似比为3∶2．
71
13．如图，在△ABC中，AB＝6，点D是AB的中点，过点D作DE∥BC，交AC于点E，点M在DE上，且ME＝DM.则当AM⊥BM时，BC的长为8．
14．如图，AB是半圆直径，半径OC⊥AB于点O，AD平分∠CAB交弧BC于点D，连接CD，OD，给出以下四个结论：
①AC∥OD；②CE＝OE；③△ODE∽△ADO；④2CD2＝CE·AB.
其中正确结论的序号是①④．
三、解答题(共44分)
15．(10分)如图，在△ABC中，已知DE∥BC，AD＝4，DB＝8，DE＝3.求：
(1)的值；
(2)BC的长．
解：(1)∵AD＝4，DB＝8，
∴AB＝AD＋DB＝4＋8＝12.
∴＝＝.
(2)∵DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC.
∴＝.
又∵DE＝3，
∴＝.
∴BC＝9.
16．(10分)如图，在△ABC中，点D为AC边上一点，∠DBC＝∠A.
71
(1)求证：△BDC∽△ABC；
(2)如果BC＝，AC＝3，求CD的长．
解：(1)证明：
∵∠DBC＝∠A，∠C＝∠C，
∴△BDC∽△ABC.
(2)∵△BDC∽△ABC，
∴＝，
即＝.
∴CD＝2.
17．(12分)如图，在平面直角坐标系中，已知OA＝12 cm，OB＝6 cm，点P从点O开始沿OA边向点A以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BO边向点O以1 cm/s的速度移动，如果点P，Q同时出发，用t(单位：s)表示移动的时间(0≤t≤6)，那么当t为何值时，△POQ与△AOB相似？
解：①∵∠POQ＝∠BOA，若△POQ∽△BOA，
则＝，即＝.解得t＝2.
②∵∠POQ＝∠AOB，若△POQ∽△AOB，
则＝，即＝.解得t＝4.
综上所述，当t＝2或4 s时，△POQ与△AOB相似．
18．(12分)如图，在Rt△ACB中，∠ACB＝90°，点O是AC边上的一点，以O为圆心，OC为半径的圆与AB相切于点D，连接OD.
(1)求证：△ADO∽△ACB；
(2)若⊙O的半径为1，求证：AC＝AD·BC.
证明：(1)∵AB是
⊙O的切线，
∴OD⊥AB.
∴∠ADO＝90°.
71
∵∠ACB＝90°，
∴∠ACB＝∠ADO.
又∵∠A＝∠A，
∴△ADO∽△ACB.
(2)由(1)，知△ADO∽△ACB，
∴＝.
∴AD·BC＝AC·OD.
又∵OD＝1，
∴AC＝AD·BC.
71
27．2.2 相似三角形的性质
01 基础题
知识点1 相似三角形对应线段的比等于相似比
1．已知△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为4∶1，则△ABC与△DEF对应边上的高之比为4∶1 .
2．如图，△ABC∽△A′B′C′，相似比为3∶4，AD，A′D′分别是边BC，B′C′上的中线，则AD∶A′D′＝3∶4．
3．若两个三角形相似，相似比为8∶9，则它们对应角平分线之比是8∶9，若其中较小三角形的一条角平分线的长为6 cm，则另一个三角形对应角平分线长为__cm．
4．已知△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，CD＝4 cm，C′D′＝10 cm，AE是△ABC的一条高，AE＝4.8 cm.求△A′B′C′中对应高线A′E′的长．
解：∵△ABC∽△A′B′C′，CD是AB边上的中线，C′D′是A′B′边上的中线，且AE，A′E′是对应的高线，
∴＝，
即＝.
∴A′E′＝12 cm.
知识点2 相似三角形周长的比等于相似比
5．如图，AB∥CD，＝，则△AOB的周长与△DOC的周长的比是(D)
A. B. C. D.
6．如果两个相似三角形的一组对应边分别为3 cm和5 cm，且较小三角形的周长为15 cm，那么较大三角形的周长为25cm.
7．已知△ABC∽△DEF，△ABC和△DEF的周长分别为20 cm和25 cm，且BC＝5 cm，DF＝4 cm，求EF和AC的长．
解：∵相似三角形周长的比等于相似比，
∴＝.
∴EF＝BC＝×5＝(cm)．
同理，＝.
∴AC＝DF＝×4＝(cm)．
71
∴EF的长是 cm，AC的长是 cm.
知识点3 相似三角形面积的比等于相似比的平方
8．(2018·内江)已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1∶3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为(D)
A．1∶1 B．1∶3 C．1∶6 D．1∶9
9．(2018·自贡)如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点．若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为(D)
A．8 B．12 C．14 D．16
10．(2018·荆门)如图，四边形ABCD为平行四边形，E，F为CD边的两个三等分点，连接AF，BE交于点G，则S△EFG∶S△ABG＝(C)
A．1∶3 B．3∶1 C．1∶9 D．9∶1
02 中档题
11．如图，在△ABC中，DE∥BC，＝，则下列结论中正确的是(C)
A.＝
B.＝
C.＝
D.＝
12．(教材P43习题T12变式)(2018·随州)如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则的值为(C)
A．1 B. C.－1 D.＋1
13．如图，直线l1，l2，…，l6是一组等距离的平行线，过直线l1上的点A作两条射线，分别与直线l3，l6相交于点B，E和C，F.若BC＝2，则EF的长是5．
71
14．在▱ABCD中，M，N是AD边上的三等分点，连接BD，MC相交于O点，则S△MOD∶S△COB＝或．
15．如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B，如果△ABD的面积为15，求△ACD的面积．
解：∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，
∴△ACD∽△BCA.
∴＝()2＝()2＝.
∴＝.
∵△ABD的面积为15，
∴S△ACD＝5.
16．两个相似三角形的一对对应边的长分别是35 cm和14 cm，它们的周长相差60 cm，求这两个三角形的周长．
解：∵两个相似三角形的对应边的比是35∶14＝5∶2，周长的比等于相似比，
∴可以设一个三角形的周长是5x，则另一个三角形的周长是2x.
∵周长相差60 cm，∴5x－2x＝60，解得x＝20.
∴这两个三角形的周长分别为100 cm，40 cm.
17．如图，在△ABC中，BC>AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点，连接EF.
(1)求证：EF∥BC；
(2)若四边形BDFE的面积为6，求△ABD的面积．
解：(1)证明：∵DC＝AC，CF平分∠ACB，
∴AF＝DF.
又∵点E是AB的中点，
∴EF是△ABD的中位线．
∴EF∥BD，即EF∥BC.
(2)由(1)知，EF∥BD，∴△AEF∽△ABD.
∴＝()2.
又∵点E是AB的中点，∴＝.
71
∴＝.∴S△AEF＝S△ABD.
∴S△ABD－6＝S△ABD.∴S△ABD＝8.
03 综合题
18．(2017·内江)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，CM是∠BCD的平分线，且CM⊥AB，M为垂足，AM＝AB.若四边形ABCD的面积为，则四边形AMCD的面积是1．
71
小专题(五) 三角形内接特殊四边形问题
——教材P58T11的变式与应用
教材母题：如图，一块材料的形状是锐角三角形ABC，边BC＝120 mm，高AD＝80 mm.把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，这个正方形零件的边长是多少？
【母题分析】 (1)从总体上讲本题考查的是相似三角形的性质：相似三角形对应高的比等于相似比．
(2)解决本题的关键点：由EF∥GH，得到△AEF∽△ABC.
(3)考查形式：正方形内接于三角形，解决正方形的边长与三角形边长之间的关系．
解：设正方形的边长为x mm，则EF＝x mm，
∵AD⊥BC，AD＝80 mm，
∴AK＝(80－x)mm.
∵正方形EFHG内接于△ABC，∴EF∥GH.
∴△AEF∽△ABC.∴＝，
即＝.解得x＝48.
∴这个正方形零件的边长是48 mm.
解决本题的关键：
(1)“内接”，所谓内接就是正方形的四个顶点都在三角形的边上，正因如此，故：①正方形的一边与三角形的一边平行，从而得到三角形相似；②大三角形的高等于正方形的边长与小三角形的高之和．
(2)方程思想：利用相似三角形的性质——“相似三角形对应高的比等于相似比”这个等量关系，将已知边和未知边放在一个方程中．
1．如图，矩形DEFG的边EF在△ABC的边BC上，点D在边AB上，点G在边AC上，△ADG的面积是40，△ABC的面积是90，AM⊥BC于点M，交DG于点N，则AN∶AM＝2∶3．
2．(2018·岳阳)《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．
3．如图，矩形EFGH内接于△ABC，且边FG落在BC上，AD⊥BC，BC＝3，AD＝2，EF＝EH，那么EH的长为．
71
4．如图，已知锐角三角形ABC中，边BC长为12，高AD长为8.矩形EFGH的边GH在BC边上，其余两个顶点E，F分别在AB，AC边上，EF交AD于点K.
(1)求的值；
(2)设EH＝x，矩形EFGH的面积为S，求S与x的函数关系式，并求S的最大值．
解：(1)∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.∵AK，AD分别是△AEF，△ABC的高，
∴＝.
∴＝＝.
(2)∵EH⊥BC，AD⊥BC，∴EH∥AD.
∴△BEH∽△BAD.∴＝①.
∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.
∴＝②.
①＋②，得＋＝1.
∵EH＝x，AD＝8，BC＝12，
∴EF＝12－x.
∴S＝EH·EF＝－x2＋12x＝－(x－4)2＋24.
∵0＜x＜8，
∴当x＝4时，S有最大值，最大值为24.
71
小专题(六) 相似三角形的性质与判定
类型1 利用相似三角形求线段长
1．(2018·北京)如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F.若AB＝4，AD＝3，则CF的长为．
2．如图，已知菱形BEDF内接于△ABC，点E，D，F分别在AB，AC和BC上．若AB＝15 cm，BC＝12 cm，则菱形的边长为cm.
3．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E分别在边BC，AB上，且∠ADE＝∠B.如果DE∶AD＝2∶5，BD＝3，那么AC＝.
4．(2017·深圳)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，在Rt△MPN中，∠MPN＝90°，点P在AC上，PM交AB于点E，PN交BC于点F，当PE＝2PF时，AP＝3.
5．(2018·江西)如图，在△ABC中，AB＝8，BC＝4，CA＝6，CD∥AB，BD是∠ABC的平分线，BD交AC于点E，求AE的长．
解：∵BD为∠ABC的平分线，
∴∠ABD＝∠DBC.
又∵AB∥CD，
∴∠D＝∠ABD.
∴∠DBC＝∠D.∴BC＝CD＝4.
∵∠AEB＝∠CED，
∴△AEB∽△CED.
∴＝.
71
∴＝＝2.
∴AE＝2EC，即EC＝AE.
∵AC＝AE＋EC＝6，
∴AE＋AE＝6，即AE＝4.
类型2 利用相似三角形求角度
6．如图，A，B，C，P四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC的度数是135°.
7．如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且AB2＝BD·CE.若∠BAC＝40°，则∠DAE＝110°.
类型3 利用相似三角形求比值
8．如图，AB∥DC，AC与BD交于点E，EF∥DC交BC于点F，CE＝5，CF＝4，AE＝BC，则等于(B)
A. B. C. D.
9．如图，D，E分别是△ABC的边AB，BC上的点，且DE∥AC，AE，CD相交于点O.若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是(B)
A．1∶3 B．1∶4 C．1∶5 D．1∶25
10．(2018·达州)如图，E，F是▱ABCD对角线AC上两点，AE＝CF＝AC.连接DE，DF并延长，分别交AB，BC于点G，H，连接GH，则的值为(C)
A. B. C. D．1
11
71
．(2017·桂林)如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，过点A作EA⊥CA交DB的延长线于点E.若AB＝3，BC＝4，则的值为.
类型4 利用相似三角形证明等积式与比例式
12．如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，且BD＝2AD，CE＝2AE.求证：
(1)△ADE∽△ABC；
(2)DF·BF＝EF·CF.
证明：(1)∵BD＝2AD，CE＝2AE，
∴AB＝3AD，AC＝3AE.
∴＝＝.
∵∠A＝∠A，
∴△ADE∽△ABC.
(2)∵＝＝，
∴DE∥BC.
∴△DEF∽△CBF.
∴＝.
∴DF·BF＝EF·CF.
13．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，E为AC的中点，ED，CB的延长线交于点F.求证：＝.
证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴∠A＋∠ACD＝∠ACD＋∠BCD，∠ACB＝∠BDC＝90°.
∴∠A＝∠BCD.
∴△ABC∽△CBD.
∴＝，即＝.
又∵E为AC中点，
∴AE＝CE＝ED.
∴∠A＝∠EDA.
∵∠EDA＝∠BDF，
71
∴∠FCD＝∠BDF.
又∵∠F为公共角，
∴△FDB∽△FCD.
∴＝.
∴＝.
类型5 利用相似求点的坐标
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB并延长到C，连接CO.若△COB∽△CAO，则点C的坐标为(B)
A．(1，) B．(，)
C．(，2) D．(，2)
15．如图，已知直线y＝－x＋2与x轴交于点A，与y轴交于点B，在x轴上有一点C，使B，O，C三点构成的三角形与△AOB相似，则点C的坐标为(－4，0)或(－1，0)或(1，0)．
71
小专题(七) 圆与相似
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，已知AD平分∠BAC交⊙O于点D，交BC边于点E，AD＝5，BD＝2，则DE的长为(D)
A. B. C. D.
2．如图，已知⊙O是等腰Rt△ABC的外接圆，D是上一点，BD交AC于点E.若BC＝4，AD＝，则AE的长是(C)
A．3 B．2 C．1 D．1.2
3．(2018·巴中)如图所示，⊙O的两弦AB，CD交于点P，连接AC，BD，得S△ACP∶S△DBP＝16∶9，则AC∶BD＝4∶3．
4．如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，∠ACB的平分线交⊙O于点D，作PD∥AB，交CA的延长线于点P，连接AD，BD.求证：
(1)PD是⊙O的切线；
(2)△PAD∽△DBC.
证明：(1)连接OD.
∵∠DCA＝∠DCB，
∴＝.∴OD⊥AB.
∵AB∥PD，∴OD⊥PD.
∵点D在⊙O上，OD为⊙O的半径，
∴PD是⊙O的切线．
(2)∵∠PAD＋∠CAD＝180°，∠DBC＋∠CAD＝180°，
∴∠PAD＝∠DBC.
由(1)可得：∠PDA＝∠BCD＝45°，
∴△PAD∽△DBC.
5．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN.求证：
(1)△ABC为等腰三角形；
71
(2)AM·CP＝AN·CB.
证明：(1)∵AC为⊙O的直径，
∴∠ANC＝90°.
∵PC是⊙O的切线，
∴∠BCP＝∠CAN.
∵∠BCP＝∠BAN，∴∠BAN＝∠CAN.
又∵AN⊥BC，
∴AB＝AC.∴△ABC为等腰三角形．
(2)连接MN∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
∵∠PBC＋∠ABC＝∠AMN＋∠ACN＝180°，
∴∠PBC＝∠AMN.
由(1)知∠BCP＝∠BAN，
∴△BPC∽△MNA.
∴＝，即AM·CP＝AN·CB.
6．(2018·聊城)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．
(1)求证：AC是⊙O的切线；
(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．
解：(1)证明：连接OE，
∵OB＝OE，
∴∠OBE＝∠OEB.
∵BE平分∠ABC，∠OBE＝∠EBC.∴∠OEB＝∠EBC.∴OE∥BC.
又∵∠C＝90°，∴∠OEA＝90°，即AC⊥OE.
又∵OE是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线．
(2)在△BCE与△BED中，
∵∠C＝∠BED＝90°，∠EBC＝∠DBE，
∴△BCE∽△BED.
∴＝，即BC＝.
∵BE＝4，BD是⊙O的直径，即BD＝5，∴BC＝.
又∵OE∥BC，∴＝.∵AO＝AD＋2.5，AB＝AD＋5，∴＝.
71
解得AD＝.
71
小专题(八) 相似的综合与探究
1．在△ABC中，∠ACB＝90°，BE是AC边上的中线，点D在射线BC上．
猜想：如图1，点D在BC边上，BD∶BC＝2∶3，AD与BE相交于点P，过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，则的值为；
探究：如图2，点D在BC的延长线上，AD与BE的延长线交于点P，CD∶BC＝1∶2，求的值；
应用：在探究的条件下，若CD＝2，AC＝6，求BP的长．
图1 图2
解：探究：过点A作AF∥BC，交BE的延长线于点F，如图2，
设DC＝k，则BC＝2k，
∵AF∥BC，∴△AEF∽△CEB.
∴＝＝1，即AF＝BC＝2k，
∵AF∥BD，
∴△APF∽△DPB.
∴＝＝＝.
应用：CE＝AC＝3，BC＝2CD＝4，
在Rt△BCE中，BE＝＝5，
∴BF＝2BE＝10.
∵AF∥BD，
∴△APF∽△DPB.
∴＝＝.
∴BP＝BF＝×10＝6.
2．如图1，先把一张矩形纸片ABCD上下对折，设折痕为MN；如图2再把点B叠在折痕线上，得到△ABE，过点B向右折纸片，使D，Q，A三点仍保持在一条直线上，得折痕PQ.
(1)求证：△PBE∽△QAB；
(2)你认为△PBE和△BAE相似吗？若相似给出证明；若不相似请说明理由；
(3)延长EB交AD于点H，请直接写出△AEH的形状为等边三角形．
图1 图2
解：(1)证明：∵∠PBE＋∠ABQ＝90°，∠PBE＋∠PEB＝90°，
∴∠ABQ＝∠PEB.
在△PBE与△QAB中，
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∵∠PEB＝∠ABQ，∠BPE＝∠AQB＝90°，
∴△PBE∽△QAB.
(2)△PBE和△BAE相似．
∵△PBE∽△QAB，∴＝.
∵BQ＝PB，∴＝.
又∵∠EPB＝∠EBA＝90°，
∴△PBE∽△BAE.
3．感知：如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°.D，E分别是AC，BC的中点，连接DE，则△CDE和△CAB的面积比是1∶4；
探究：将图1中△CDE绕点C顺时针旋转，使点E在△CAB的内部．再连接AD，BE，延长BE交AC于点O，交AD于点F，如图2.求证：
(1)△ACD∽△BCE；
(2)AD⊥BF；
拓展：将图1中的△CDE绕点C顺时针旋转90°，使点D恰好落在BC的延长线上，点E在AC上．连接AD，BE，并延长BE交AD于点F，其他条件不变，如图3.若AC＝8，BC＝6，求BF的长．
图1 图2 图3
解：探究：(1)证明：∠ACB＝∠DCE＝90°，
∴∠BCE＝∠ACD.
∵D，E分别是AC，BC的中点，
∴＝＝.
∴△ACD∽△BCE.
(2)∵△ACD∽△BCE，
∴∠CBE＝∠CAD.
∵∠BOC＝∠AOF，
∴∠AFO＝∠BCO＝90°.
∴AD⊥BF.
拓展：∵AC＝8，BC＝6，
∴CE＝3，CD＝4.
∴BD＝10.
在Rt△BCE中，根据勾股定理得，BE＝3.
∵BF⊥AD，
∴∠BFD＝∠BCE＝90°.
∵∠EBC＝∠DBF，
∴△EBC∽△DBF.
∴＝.
∴＝.
∴BF＝4.
71
4．(2018·襄阳)如图1，已知点G在正方形ABCD的对角线AC上，GE⊥BC，垂足为点E，GF⊥CD，垂足为点F.
(1)证明与推断：
①求证：四边形CEGF是正方形；
②推断：的值为；
(2)探究与证明：
将正方形CEGF绕点C顺时针方向旋转α角(0°＜α＜45°)，如图2所示，试探究线段AG与BE之间的数量关系，并说明理由；
(3)拓展与运用：
正方形CEGF在旋转过程中，当B，E，F三点在一条直线上时，如图3所示，延长CG交AD于点H.若AG＝6，GH＝2，则BC＝3．
图1 图2 图3
解：(1)①证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BCD＝90°，∠BCA＝45°.
∵GE⊥BC，GF⊥CD，
∴∠CEG＝∠CFG＝∠ECF＝90°.
∴四边形CEGF是矩形，∠CGE＝∠ECG＝45°.
∴EG＝EC.
∴四边形CEGF是正方形．
(2)连接CG，由旋转性质知∠BCE＝∠ACG＝α，
在Rt△CEG和Rt△CBA中，
∵＝，＝，∴＝＝.
∴△ACG∽△BCE，∴＝＝.
∴线段AG与BE之间的数量关系为AG＝BE.
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27.2.3 相似三角形应用举例
01 基础题
知识点1 测量物高
1．如图，某一时刻，测得旗杆的影长为8 m，李明测得小芳的影长为1 m，已知小芳的身高为1.5 m，则旗杆的高度是12m.
2．如图，李明打网球时，球恰好打过网，且落在离网4 m的位置上，则网球拍击球的高度h为1.4__m．
3．如图是一束平行的阳光从教室窗户射入的平面示意图，光线与地面所成角∠AMC＝30°，在教室地面的影长MN＝2米．若窗户的下檐到教室地面的距离BC＝1米，则窗户的上檐到教室地面的距离AC为3米．
4．如图，已知有两堵墙AB，CD，AB墙高2米，两墙之间的距离BC为8米，小明将一架木梯放在距B点3米的E处靠向墙AB时，木梯有很多露出墙外．将木梯绕点E旋转90°靠向墙CD时，木梯刚好达到墙的顶端，则墙CD的高为7.5米．
5．如图是小玲设计的用手电来测量某古城墙高度的示意图．在点P处放一水平的平面镜，光线从点A出发经平面镜反射后，刚好射到古城墙CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，且测得AB＝1.4米，BP＝2.1米，PD＝12米．那么该古城墙CD的高度是多少米？
解：∵∠APB＝∠CPD，∠ABP＝∠CDP，
∴△ABP∽△CDP.
∴＝，即＝.
解得CD＝8.
答：该古城墙CD的高度是8米．
知识点2 测量距离
6．(教材P41练习T2变式)如图，为估算某河的宽度，在河对岸边选定一个目标点A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE＝20 m，EC＝10 m，CD＝20 m，则河的宽度AB等于(B)
A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m
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7．(2018·义乌)学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD绕O点旋转到AC位置，已知AB⊥BD，CD⊥BD，垂足分别为B，D，AO＝4 m，AB＝1.6 m，CO＝1 m，则栏杆C端应下降的垂直距离CD为(C)
A．0.2 m B．0.3 m C．0.4 m D．0.5 m
8．(教材P57复习题T7变式)如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB.若OC∶OA＝1∶2，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x＝2.5__mm.
9．如图，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一棵树，在北岸边每隔60米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为30米．
02 中档题
10．(2018·临沂)如图，利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2 m，测得AB＝1.6 m，BC＝12.4 m，则建筑物CD的高是(B)
A．9.3 m
B．10.5 m
C．12.4 m
D．14 m
11．(2017·绵阳)为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54 m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm，则旗杆DE的高度等于(B)
A．10 m B．12 m C．12.4 m D．12.32 m
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12．(2018·泰安)《九章算术》是中国传统数学最重要的著作，在“勾股”章中有这样一个问题：“今有邑方二百步，各中开门，出东门十五步有木，问：出南门几步而见木？”
用今天的话说，大意是：如图，DEFG是一座边长为200步(“步”是古代的长度单位)的正方形小城，东门H位于GD的中点，南门K位于ED的中点，出东门15步的A处有一树木，求出南门多少步恰好看到位于A处的树木(即点D在直线AC上)？请你计算KC的长为步．
13．某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”以及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量，于是他们首先用平面镜进行测量，方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为C点，镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到D点时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合，这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝2米；然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG＝1.65米．如图，已知AB⊥CD，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计，请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．
解：由题意，得∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，
∠ACB＝∠ECD，∠AFB＝∠GHF，
∴△ABC∽△EDC，△ABF∽△GFH.
∴＝，＝，
即＝，＝.
解得AB＝99.
答：“望月阁”的高AB的长度为99米．
03 综合题
14．某高中学校为高一新生设计的学生板凳如图所示．其中BA＝CD，BC＝20 cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距离分别为40 cm，8 cm，为使板凳两腿底端A，D之间的距离为50 cm，那么横梁EF应为多长？(材质及其厚度等暂忽略不计)
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解：过点C作CM∥AB，分别交EF，AD于点N，M，作CP⊥AD，分别交EF，AD于点Q，P.
由题意，得四边形ABCM是平行四边形，
∴EN＝AM＝BC＝20 cm.
∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．
由题意，知CP＝40 cm，PQ＝8 cm，
∴CQ＝32 cm.
∵EF∥AD，∴△CNF∽△CMD.
∴＝，即＝.
∴NF＝24 cm.
∴EF＝EN＋NF＝20＋24＝44(cm)．
答：横梁EF应为44 cm.
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27．3 位似
第1课时 位似图形的概念及画法
01 基础题
知识点1 位似图形
1．下列说法不正确的是(D)
A．位似图形一定是相似图形
B．相似图形不一定是位似图形
C．位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于相似比
D．位似图形中每组对应点所在的直线必相互平行
2．用作位似图形的方法可以将一个图形放大或缩小，位似中心的位置可选在(D)
A．原图形的外部 B．原图形的内部
C．原图形的边上 D．任意位置
3．已知：△ABC∽△A′B′C′，下列图形中，△ABC与△A′B′C′不存在位似关系的是(D)
4．两个位似图形中，对应点到位似中心的距离之比为2∶3，则这两个图形的相似比为(A)
A．2∶3 B．4∶9 C.∶ D．1∶2
5．如图，两个三角形是位似图形，它们的位似中心是(A)
A．点P B．点O C．点M D．点N
6．如图，△ABC和△A1B1C1是以点O为位似中心的位似三角形．若C1为OC的中点，AB＝4，则A1B1的长为(B)
A．1 B．2 C．4 D．8
7．(2017·成都)如图，四边形ABCD 和四边形A′B′C′D′ 是以点O为位似中心的位似图形．若OA∶OA′＝2∶3，则四边形ABCD与四边形A′B′C′D′的面积比为(A)
A．4∶9 B．2∶5
C．2∶3 D.∶
知识点2 位似图形的画法
8．下列是△ABC位似图形的几种画法，如图，其中正确的个数有(C)
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A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．如图，请在8×8的网格中，以点O为位似中心，作出△ABC的一个位似图形△A′B′C′，使△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶1.
解：如图所示，△A′B′C′为所求的三角形．
02 中档题
10．如图，已知BC∥DE，则下列说法中不正确的是(D)
A．两个三角形是位似图形
B．点A是两个三角形的位似中心
C．∠ADE＝∠B
D．点B与点E，点C与点D是对应点
11．如图，四边形ABCD与四边形AEFG是位似图形，且AC∶AF＝2∶3，则下列结论不正确的是(B)
A．四边形ABCD与四边形AEFG是相似图形
B．AD与AE的比是2∶3
C．四边形ABCD与四边形AEFG的周长比是2∶3
D．四边形ABCD与四边形AEFG的面积比是4∶9
12．如图，放映幻灯片时，通过光源，把幻灯片上的图形放大到屏幕上．若光源到幻灯片的距离为20 cm，到屏幕的距离为60 cm，且幻灯片中图形的高度为6 cm，则屏幕上图形的高度为18__cm．
13．如图，以O为位似中心，将边长为256的正方形OABC依次作位似变换，经第一次变化后得正方形OA1B1C1，其边长OA1缩小为OA的，经第二次变化后得正方形OA2B2C2，其边长OA2缩小为OA1的，经第三次变化后得正方形OA3B3C3，其边长OA3缩小为OA2的，…，依此规律，经第n次变化后，所得正方形OAnBnCn的边长为正方形OABC边长的倒数，则n＝16．
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14．如图，△ABC与△A′B′C′是位似图形，且相似比是1∶2.若AB＝2 cm，则A′B′＝4cm，并在图中画出位似中心O.
解：如图所示．
15．如图，已知△DEO与△ABO是位似图形，△OEF与△OBC是位似图形，求证：OD·OC＝OF·OA.
证明：∵△DEO与△ABO位似，
∴＝.
∵△OEF与△OBC位似，
∴＝.
∴＝.
∴OD·OC＝OF·OA.
03 综合题
16．如图，图中的小方格都是边长为1的正方形，△ABC与△A′B′C′是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上．
(1)画出位似中心O；
(2)求出△ABC与△A′B′C′的相似比；
(3)以点O为位似中心，再画一个△A1B1C1，使它与△ABC的相似比等于1.5.
解：(1)位似中心O的位置如图所示．
(2)∵＝，
∴△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2.
(3)如图所示．
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第2课时 平面直角坐标系中的位似
01 基础题
知识点1 位似图形的坐标变化规律
1．如图，在平面直角坐标系中有两点A(6，3)，B(6，0)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小后得到CD，则点C的坐标为(A)
A．(2，1) B．(2，0) C．(3，3) D．(3，1)
2．(2018·滨州)在平面直角坐标系中，线段AB两个端点的坐标分别为A(6，8)，B(10，2)．若以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩短为原来的后得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为(C)
A．(5，1) B．(4，3) C．(3，4) D．(1，5)
3．如图，在边长为1 的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，△ABO与△A′B′O′是以点P为位似中心的位似图形，它们的顶点均在格点(网格线的交点)上，则点P的坐标为(C)
A．(0，0) B．(0，1)
C．(－3，2) D．(3，－2)
4．某学习小组在讨论“变化的鱼”时，知道大鱼与小鱼是位似图形(如图所示)，则大鱼上的一点(a，b)对应小鱼上的点的坐标是(－0.5a，－0.5b)．
知识点2 坐标系内图形的位似作图
5．如图，在平面直角坐标系中，作出五边形ABCDE的位似图形，使得新图形A1B1C1D1E1与原图形对应线段的比为2∶1，位似中心是坐标原点O.
解：如图所示．
易错点 位似中的漏解
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6．(2018·潍坊)在平面直角坐标系中，点P(m，n)是线段AB上一点，以原点O为位似中心把△AOB放大到原来的两倍，则点P的对应点的坐标为(B)
A．(2m，2n)
B．(2m，2n)或(－2m，－2n)
C．(m，n)
D．(m，n)或(－m，－n)
02 中档题
7．如图，△ABE和△CDE是以点E为位似中心的位似图形，已知点A(3，4)，点C(2，2)，点D(3，1)，则点D的对应点B的坐标是(C)
A．(4，2) B．(4，1) C．(5，2) D．(5，1)
8．如图，正方形ABCD和正方形OEFG中，点A和点F的坐标分别为(3，2)，(－1，－1)，则两个正方形的位似中心的坐标是(D)
A．(1，0) B．(－5，－1)
C．(1，0)或(－5，－1) D．(1，0)或(－5，－2)
9．如图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k，则位似中心的坐标和k的值分别为(C)
A．(0，0)，2 B．(2，2)， C．(2，2)，2 D．(2，2)，3
10．(教材P51习题T5变式)如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，A(2，0)，B(2，1)，C(0，1)，以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的2倍，记所得矩形为OA1B1C1.点B的对应点为B1，且点B1在OB的延长线上，则点B1的坐标为__(4，2)．
11．(2018·菏泽)如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为3∶4，∠OCD＝90°，∠AOB＝60°.若点B的坐标是(6，0)，则点C的坐标是(2，2)．
71
12．如图，已知图中的每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若△ABC与△A′B′C′是位似图形，且顶点都在格点上，在图中画出位似中心的位置，并求出位似中心的坐标.
解：位似中心的位置如图所示，位似中心的坐标为(9，0)．
13．如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△A′B′C′是以坐标原点O为位似中心的位似图形，且点B(3，1)，B′(6，2)．
(1)请你根据位似的特征并结合点B的坐标变化回答下列问题：
①若点A(2.5，3)，则点A′的坐标为(5，6)；
②△ABC与△A′B′C′的相似比为 1∶2；
(2)若△ABC的面积为m，求△A′B′C′的面积．(用含m的代数式表示)
解：∵△ABC与△A′B′C′的相似比为1∶2，
∴＝.
∵△ABC的面积为m，
∴△A′B′C′的面积为4m.
03 综合题
14．如图，在△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是(－1，0)．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点B的对应点B′的横坐标是a，求点B的横坐标．
解：过点B′作B′F⊥x轴于点F，过点B作BE⊥x轴于点E，则∠BEC＝∠B′FC＝90°.
又∵∠BCE＝∠B′CF，
∴△BEC∽△B′FC.
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∴＝.
∵△ABC∽△A′B′C，且相似比为，
∴＝＝.
∵点B′的横坐标是a，点C的坐标是(－1，0)，
∴FO＝a，CO＝1.∴FC＝a＋1.
∴EC＝(a＋1)．
∴点B的横坐标是：－(a＋1)－1＝－(a＋3)．
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周测(27.2.2～27.3)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．在下列图形中，不是位似图形的是(D)
A B C D
2．若△ABC∽△DEF，且对应中线比为2∶3，则△ABC与△DEF的周长比为(B)
A．3∶2 B．2∶3 C．4∶9 D.9∶16
3．已知一棵树的影长是30 m，同一时刻一根长1.5 m的标杆的影长为3 m，则这棵树的高度是(A)
A．15 m B．60 m C．20 m D．10 m
4．△ABC与△A′B′C′是位似图形，且△ABC与△A′B′C′的位似比是1∶2，已知△ABC的面积是3，则△A′B′C′的面积是(D)
A．3 B．6 C．9 D．12
5．如图是小孔成像原理的示意图，根据图中所标注的尺寸，这支蜡烛在暗盒中所成像CD的长是(D)
A. cm B. cm C. cm D．1 cm
6．已知两点A(5，6)，B(7，2)，先将线段AB向左平移一个单位长度，再以原点O为位似中心，在第一象限内将其缩小为原来的得到线段CD，则点A的对应点C的坐标为(A)
A．(2，3) B．(3，1) C．(2，1) D．(3，3)
7．如图，矩形EFGO的两边在坐标轴上，点O为平面直角坐标系的原点，以y轴上的某一点为位似中心，作位似图形ABCD，且点B，F的坐标分别为(－4，4)，(2，1)，则位似中心的坐标为(C)
A．(0，3) B．(0，2.5) C．(0，2) D．(0，1.5)
8．如图，点P为▱ABCD的边AD上的一点，点E，F分别为PB，PC的中点，△PEF，△PDC，△PAB的面积分别为S，S1，S2.若S＝3，则S1＋S2的值为(B)
A．24 B．12 C．6 D．3
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积比S△ADE∶S△ABC＝__.
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10．如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成的两部分面积相等，则＝．
11．如图所示，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离路灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM的长为5米．
12．如图，正方形OABC与正方形ODEF是位似图形，点O为位似中心，相似比为1∶，点A的坐标为(0，1)，则点E的坐标是(，)．
13．“今有邑，东西七里，南北九里，各开中门，出东门一十五里有木，问：出南门几何步而见木？”这段话摘自《九章算术》，意思是说：如图，矩形ABCD，东边城墙AB长9里，南边城墙AD长7里，东门点E，南门点F分别是AB，AD的中点，EG⊥AB，FH⊥AD，EG＝15里，HG经过A点，则FH＝1.05里．
14．如图，双曲线y＝经过Rt△BOC斜边上的点A，且满足＝，与BC交于点D，S△BOD＝21，则k＝8．
三、解答题(共44分)
15．(9分)如图，△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(0，3)，B(3，4)，C(2，2)(正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度)．
(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是(2，－2)；
(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且相似比为2∶1，点C2的坐标是(1，0)；
(3)△A2B2C2的面积是10平方单位．
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解：(1)(2)如图所示．
16．(9分)一位同学想利用树影测量树高，他在某一时刻测得长为1 m的竹竿影长0.8 m，但当他马上测量树影时，因树靠近一幢建筑物，影子不全落在地面上，有一部分影子在墙上，如图所示，他先测得留在墙上的影高为1.2 m，又测得地面部分的影长为5 m，请算一下这棵树的高是多少？
解：延长AD交BC于点E，
∴＝.
∴CE＝0.96 m.
∴BE＝5.96 m.
∵＝，
∴AB＝7.45 m.
答：这棵树的高是7.45 m.
17．(12分)如图，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3.若∠B＋∠B′＝90°，求△ABC与△A′B′C′的面积比．
解：分别作AD⊥BC于点D，A′D′⊥B′C′于点D′，
则∠ADB＝∠A′D′B′＝90°，
∴∠B＋∠BAD＝90°.
又∵∠B＋∠B′＝90°，
∴∠BAD＝∠B′.
∴△ABD∽△B′A′D′.
∴S△ABD∶S△B′A′D′＝()2＝25∶9.
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴S△ABC＝2S△ABD.
同理可得，S△A′B′C′＝2S△B′A′D′.
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∴S△ABC∶S△A′B′C′＝25∶9.
18．(14分)如图，已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处．已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.
(1)求证：△OCP∽△PDA；
(2)若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边AB的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°.
由折叠可得，AP＝AB，PO＝BO，∠PAO＝∠BAO，∠APO＝∠B.
∴∠APO＝90°.
∴∠APD＝90°－∠CPO＝∠POC.
∵∠C＝∠D，∠POC＝∠APD，
∴△OCP∽△PDA.
(2)∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，
∴＝＝＝＝.
∴PD＝2OC，PA＝2OP，DA＝2CP.
∵AD＝8，
∴CP＝4，BC＝8.
设OP＝x，则OB＝x，CO＝8－x.
在Rt△PCO中，
∵∠C＝90°，CP＝4，OP＝x，CO＝8－x，
∴x2＝(8－x)2＋42.解得x＝5.
∴AB＝AP＝2OP＝10.
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章末复习(二) 相似
01 分点突破
知识点1 图形的相似
1．下列各组图形不一定相似的是(D)
A．两个等边三角形
B．各有一个角是100°的两个等腰三角形
C．两个正方形
D．各有一个角是45°的两个等腰三角形
2．如图，四边形ABCD∽四边形GFEH，且∠A＝∠G＝70°，∠B＝60°，∠E＝120°，DC＝24，HE＝18，HG＝21，则∠F＝60°，∠D＝110°，AD＝28．
知识点2 平行线分线段成比例
3．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是(A)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4．如图，已知AD，BC相交于点O，AB∥CD∥EF.如果CE＝2，EB＝4，FD＝1.5，那么AD＝4.5．
知识点3 相似三角形的判定与性质
5．如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE，BE，BD，且AE，BD相交于点F，S△DEF∶S△ABF＝4∶25，则DE∶EC＝(A)
A．2∶3 B．2∶5 C．3∶5 D．3∶2
6．(2017·枣庄)如图，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形不相似的是(C)
7．(2018·黄冈)如图，在Rt
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△ABC中，∠ACB＝90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD＝2，CE＝5，则CD＝(C)
A．2 B．3 C．4 D．2
8．如图，已知在四边形ABCD中，∠ADB＝∠ACB，延长AD，BC相交于点E.求证：
(1)△ACE∽△BDE；
(2)BE·DC＝AB·DE.
证明：(1)∵∠ADB＝∠ACB，
∴∠BDE＝∠ACE.
又∵∠E＝∠E，
∴△ACE∽△BDE.
(2)∵△ACE∽△BDE，
∴＝.∴＝.
又∵∠E＝∠E，∴△ECD∽△EAB.
∴＝.∴BE·DC＝AB·DE.
9．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.
(1)求证：△ADF∽△DEC；
(2)若AB＝4，AD＝3，AE＝3，求AF的长．
解：(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD∥BC.
∴∠B＋∠C＝180°，∠ADF＝∠DEC.
∵∠AFD＋∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，
∴∠AFD＝∠C.
∴△ADF∽△DEC.
(2)∵AE⊥BC，AD∥BC，∴∠DAE＝∠AEB＝90°.
∴在Rt△DAE中，DE＝＝＝6.
由(1)知△ADF∽△DEC，得＝，
∴AF＝＝＝2.
知识点4 相似三角形的应用
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10．九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学校旗杆的高度，如图所示，已知标杆的高度CD＝3 m，标杆与旗杆的水平距离BD＝15 m，人的眼睛与地面的高度EF＝1.6 m，人与标杆CD的距离DF＝2 m，则旗杆AB的高度为13.5m.
知识点5 位似
11．如图，线段AB两个端点的坐标分别为 A(4，4)，B(6，2)，以原点O为位似中心，在第一象限内将线段AB缩小为原来的后得到线段CD，则端点C和D的坐标分别为 (C)
A．(2，2)，(3，2)
B．(2，4)，(3，1)
C．(2，2)，(3，1)
D．(3，1)，(2，2)
02 易错题集训
12．若△ABC与△A′B′C′关于点O位似，相似比为1∶2，OA＝5 cm，则对应点A，A′之间的距离为5或15cm.
13．若一个直角三角形的两条边长分别是6和8，另一个与它相似的直角三角形的边长分别是3，4及x，则x的值为5或．
14.在△ABC中，AB＝6 cm，AC＝5 cm，点D，E分别在AB，AC上．若△ADE与△ABC相似，且S△ADE∶S四边形BCED＝1∶8，则AD＝或2cm.
15．将三角形纸片(△ABC)按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF.已知AB＝AC＝3，BC＝4.若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，则BF的长度是或2．
03 中考题型演练
16．(2018·宜宾)如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4.若AA′＝1，则A′D等于(A)
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A．2 B．3 C. D.
17．(2018·泸州)如图，在正方形ABCD中，E，F分别在边AD，CD上，AF，BE相交于点G.若AE＝3ED，DF＝CF，则的值是(C)
A. B. C. D.
18．(2017·长沙)如图，△AOB三个顶点的坐标分别为A(2，4)，B(6，0)，C(0，0)，以原点O为位似中心，把这个三角形缩小为原来的，可以得到△A′B′O，已知点B′的坐标是(3，0)，则点A′的坐标是(1，2)．
19．(2018·南充)如图，在△ABC中，DE∥BC，BF平分∠ABC，交DE的延长线于点F.若AD＝1，BD＝2，BC＝4，则EF＝．
20．(2017·滨州)如图，将矩形ABCD沿GH对折，点C落在Q处，点D落在AB边上的E处，EQ与BC相交于点F.若AD＝8，AB＝6，AE＝4，则△EBF周长的大小为8.
21．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，连接DF，下列四个结论：①△AEF∽△CAB；②CF＝2AF；③DF＝DC；④S四边形CDEF＝S△ABF.其中正确的结论有4个．
22．(2018·滨州)如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，AD⊥CD于点D，且AC平分∠DAB，求证：
(1)直线DC是⊙O的切线；
(2)AC2＝2AD·AO.
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证明：(1)连接OC，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA.
∵AC平分∠DAB，
∴∠OAC＝∠DAC.
∴∠DAC＝∠OCA.
∴OC∥AD.
又∵AD⊥CD，
∴OC⊥DC.
又∵OC为⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线．
(2)连接BC，
∵AB为⊙O的直径，∴AB＝2AO，∠ACB＝90°.
∵AD⊥DC，∴∠ADC＝∠ACB＝90°.
又∵∠DAC＝∠CAB，∴△DAC∽△CAB.
∴＝，即AC2＝AB·AD.
∵AB＝2AO，
∴AC2＝2AD·AO.
23．(2017·天水)△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC＝∠EDF＝90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合，将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q.
(1)如图1，当点Q在线段AC上，且AP＝AQ时，求证：△BPE≌△CQE；
(2)如图2，当点Q在线段CA的延长线上时，求证： △BPE∽△CEQ，并求当BP＝2，CQ＝9时，BC的长．
解：(1)证明：∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝45°，AB＝AC.
∵AP＝AQ，∴BP＝CQ.
∵E是BC的中点，∴BE＝CE.
在△BPE和△CQE中，
∴△BPE≌△CQE(SAS)．
(2)∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，
∴∠B＝∠C＝∠DEF＝45°.
∵∠BEQ＝∠EQC＋∠C，
即∠BEP＋∠DEF＝∠EQC＋∠C，
∴∠BEP＋45°＝∠EQC＋45°.
∴∠BEP＝∠EQC.
∴△BPE∽△CEQ.
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∴＝.
∵BP＝2，CQ＝9，BE＝CE，
∴BE2＝18.
∴BE＝CE＝3.
∴BC＝6.
24．(2018·咸宁)定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似(不全等)，我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
理解：
(1)如图1，已知Rt△ABC在正方形网格中，请你只用无刻度的直尺在网格中找到一点D，使四边形ABCD是以AC为“相似对角线”的四边形(保留画图痕迹，找出3个即可)；
(2)如图2，在四边形ABCD中，∠ABC＝80°，∠ADC＝140°，对角线BD平分∠ABC.求证：BD是四边形ABCD的“相似对角线”；
运用：
(3)如图3，已知FH是四边形EFGH的“相似对角线”，∠EFH＝∠HFG＝30°，连接EG.若△EFG的面积为2，求FH的长．
解：(1)如图所示．
(2)证明：∵∠ABC＝80°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC＝40°.∴∠A＋∠ADB＝140°.
∵∠ADC＝140°，∴∠BDC＋∠ADB＝140°.
∴∠A＝∠BDC.
∴△ABD∽△DBC.
∴BD是四边形ABCD的“相似对角线”．
(3)∵FH是四边形EFGH的“相似对角线”，
∴△FEH∽△FHG.∴＝.
∴FH2＝FE·FG.
过点E作EQ⊥FG，垂足为Q.
∵∠EFQ＝∠EFH＋∠HFG＝60°，
∴∠FEQ＝30°.
∴FQ＝EF，EQ＝EF.
∵FG·EQ＝2，∴FG·FE＝2.
∴FG·FE＝8.
∴FH2＝FE·FG＝8.
∴FH＝2.
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单元测试(二) 相似(A卷)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．下列四条线段中，不是成比例线段的为(A)
A．a＝4，b＝6，c＝5，d＝10
B．a＝3，b＝6，c＝2，d＝4
C．a＝1，b＝，c＝，d＝
D．a＝2，b＝，c＝，d＝2
2．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝6，DB＝3，AE＝4，则EC的长为(B)
A．1 B．2 C．3 D．4
3．如图，已知△ABC∽△DEF，AB∶DE＝1∶2，则下列等式一定成立的是(D)
A.＝ B.＝
C.＝ D.＝
4．如图，线段CD两个端点的坐标分别为C(1，2)，D(2，0)，以原点为位似中心，将线段CD放大得到线段AB.若点B坐标为(5，0)，则点A的坐标为(B)
A．(2，5) B．(2.5，5) C．(3，5) D．(3，6)
5．如图，在△ABC中，DE∥BC，过点A作AM⊥BC于点M，交DE于点N.若S△ADE∶S△ABC＝4∶9，则AN∶NM的值是(D)
A．4∶9 B．3∶2 C．9∶4 D．2∶1
6．如图，根据测试距离为5 m的标准视力表制作一个测试距离为3 m的视力表，如果标准视力表中“E”的长a是3.6 cm，那么制作出的视力表中相应“E”的长b是(B)
A．1.44 cm B．2.16 cm C．2.4 cm D．3.6 cm
7．如图，在菱形ABCD中，点M，N在AC上，ME⊥AD，NF⊥AB.若NF＝NM＝2，ME＝3，则AN的长是(A)
A．4 B．5 C．6 D．7
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8．如图所示，四边形ABCD是正方形，点E是CD的中点，点P是BC边上的一点，下列条件：①∠APB＝∠EPC；②∠APE＝∠APB；③点P是BC的中点；④BP∶BC＝2∶3.其中能推出△ABP∽△ECP的有(C)
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．如图，已知＝，请添加一个条件，使△ADE∽△ABC，这个条件可以是答案不唯一，如：∠D＝∠B．(写出一个条件即可)
10．若△ABC∽△A′B′C′，且AB∶A′B′＝3∶4，△ABC的周长为12 cm，则△A′B′C′的周长为16__cm．
11．如图，在△ABC中，D，E分别是边AC，AB上的点，且AD＝2，DC＝4，AE＝3，EB＝1，则＝．
12．如图，小明同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，他调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上．已知纸板的两条直角边DE＝40 cm，EF＝20 cm，测得斜边DF离地面的高度AC＝1.5 m，CD＝8 m，则树高AB＝5.5m.
13．如图，等边△ABC被一平行于BC的矩形所截，AB被截成三等分，则图中阴影部分的面积是△ABC的面积的．
14．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOCB的两边OA，OC分别在x轴和y轴上，且OA＝2，OC＝1.在第二象限内，将矩形AOCB以原点O为位似中心放大为原来的倍，得到矩形A1OC1B1，再将矩形A1OC1B1以原点O为位似中心放大倍，得到矩形A2OC2B2，…，依此规律，得到的矩形AnOCnBn的对角线交点的坐标为(－，)．
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三、解答题(共44分)
15．(8分)如图，在△ABC中，AD＝DB，∠1＝∠2.求证：△ABC∽△EAD.
证明：∵AD＝DB，
∴∠B＝∠BAD.
∵∠BDA＝∠1＋∠C＝∠2＋∠ADE，
又∵∠1＝∠2，
∴∠C＝∠ADE.
∴△ABC∽△EAD.
16．(10分)如图，在边长均为1的小正方形网格纸中，△OAB的顶点O，A，B均在格点上，且O是平面直角坐标系的原点，点A在x轴上．
(1)以O为位似中心，将△OAB放大，使得放大后的△OA1B1与△OAB对应线段的比为2∶1，画出△OA1B1(所画△OA1B1与△OAB在原点两侧)；
(2)分别写出点A1，B1的坐标．
解：(1)如图．
(2)由题意，得A1(4，0)，B1(2，－4)．
17．(12分)如图，已知四边形ABCD的对角线AC，BD交于点F，点E是BD上一点，且∠BCA＝∠ADE，∠CAD＝∠BAE.求证：
(1)△ABC∽△AED；
(2)BE·AC＝CD·AB.
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证明：(1)∵∠BAE＝∠DAC，∠BAC＝∠BAE－∠CAE，
∠EAD＝∠DAC－∠CAE，
∴∠BAC＝∠EAD.
又∵∠ACB＝∠ADE，
∴△ABC∽△AED.
(2)∵△ABC∽△AED，∴＝.
又∵∠BAE＝∠CAD，
∴△ABE∽△ACD.
∴＝，
即BE·AC＝CD·AB.
18．(14分)已知：⊙O上两个定点A，B和两个动点C，D，AC与BD交于点E.
(1)如图1，求证：EA·EC＝EB·ED；
(2)如图2，若＝，AD是⊙O的直径，求证：AD·AC＝2BD·BC.
证明：(1)∵∠ABD＝∠ACD，∠BAC＝∠CDB，
∴△ABE∽△DCE.
∴＝.∴EA·EC＝EB·ED.
(2)连接OB.∵OB＝OD，∴∠DBO＝∠BDO.
又∵＝，∴∠BAC＝∠BCA＝∠BDO＝∠DBO.
∴△ABC∽△DOB.
∴＝.
∵AD是⊙O的直径，∴OB＝AD.
∴＝＝.
∴AD·AC＝2BD·BC.
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单元测试(二) 相似(B卷)
(时间：45分钟 满分：100分)
一、选择题(每小题4分，共32分)
1．观察下列每组图形，相似图形是(D)
A B
C D
2．若△ABC的每条边长增加各自的10%得△A′B′C′，则∠B′的度数与其对应角∠B的度数相比(D)
A．增加了10% B．减少了10%
C．增加了(1＋10%) D．没有改变
3．如图，四边形ABCD∽四边形A1B1C1D1，AB＝12，CD＝15，A1B1＝9，则边C1D1的长是(C)
A．10 B．12 C. D.
4．如图，直线l1∥l2∥l3，直线AC分别交l1，l2，l3于点A，B，C；直线DF分别交l1，l2，l3于点D，E，F，AC与DF相交于点G.若DE＝2，EG＝1，GF＝3，则(B)
A.＝ B.＝ C.＝ D.＝
5．如图，在△ABC外任取一点O，连接AO，BO，CO，并取它们的中点D，E，F，连接DE，EF，DF，得△DEF，则下列说法错误的是(C)
A．△ABC与△DEF是位似图形
B．△ABC与△DEF是相似图形
C．△ABC与△DEF的周长比为1∶2
D．△ABC与△DEF的面积比为4∶1
6．如图所示，一架投影机插入胶片后图象可投到屏幕上．已知胶片与屏幕平行，A点为光源，与胶片BC的距离为0.1米，胶片的高BC为0.038米．若需要投影后的图象DE高1.9米，则投影机光源离屏幕大约为(B)
A．6米 B.5米 C.4米 D．3米
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7．如图，点D在BC上，△ABC和△ADE均为等边三角形，AC与DE相交于点F，则图中相似三角形有(C)
A．3对 B.4对 C.5对 D.6对
8．如图，在菱形ABCD中，点P是对角线AC上的一点，连接DP并延长交AB于点E，交CB的延长线于点F.若DP＝3，EF＝2，则PE的长是(B)
A. B. C.2 D.
二、填空题(每小题4分，共24分)
9．在比例尺是1∶15 000 000的地图上，测得甲、乙两地的距离是2厘米，那么甲、乙两地的实际距离是300千米．
10．如图标记了△ABC与△DEF边、角的一些数据，如果再添加一个条件使△ABC∽△DEF，那么这个条件可以是DF＝6．(只填一个即可)
11．如图，已知矩形OABC与矩形ODEF是位似图形，点P是位似中心．若点B的坐标为(2，4)，点E的坐标为(－1，2)，则点P的坐标为(－2，0)．
12．《孙子算经》是我国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有道歌谣算题：“今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问杆长几何？”歌谣的意思是：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五，同时立一根一尺五的小标杆，它的影长五寸(提示：丈和尺是古代的长度单位，1丈＝10尺，1尺＝10寸)，可以求出竹竿的长为45尺．
13．如图，AB为⊙O的直径，点C为⊙O上一点，弦AD平分∠BAC，交BC于点E，AB＝6，AD＝5，则AE的长为．
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14．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，BC＝6，直线MN∥BC，且分别交边AB，AC于点M，N，已知直线MN将△ABC分为面积相等的两部分．如果将线段AM绕着点A旋转，使点M落在边BC上的点D处，那么BD＝3．
三、解答题(共44分)
15．(8分)如图，在矩形ABCD中，点E是BC上一点，连接DE，过点A作 AF⊥DE，垂足为点F.△DEC与△ADF相似吗？请说明理由．
解：相似．理由如下：
∵在矩形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，
∴∠ADF＝∠DEC.
∵AF⊥DE，
∴∠AFD＝∠C＝90°.
∴△DEC∽△ADF.
16．(10分)如图所示为格点△ABC(顶点在每个小正方形的顶点处的三角形，称为格点三角形)，在图1，2，3的网格中各画出一个格点三角形使它们都与△ABC相似．
要求：①至少有一个相似比为无理数；②有一个面积是最大的．
图1
图2 图3
解：如图1，相似比为2；如图2，相似比为；
如图3，面积最大，相似比为.
17．(12分)如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是⊙O的直径，AC和BD相交于点E，且DC2＝CE·CA.
(1)求证：BC＝CD；
(2)分别延长AB，DC交于点P，若PB＝OB，CD＝2，求⊙O的半径．
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解：(1)证明：∵DC2＝CE·CA，
∴＝.
又∵∠ACD＝∠DCE，
∴△CAD∽△CDE.
∴∠CAD＝∠CDE.
∵∠CAD＝∠CBD，∴∠CDB＝∠CBD.
∴BC＝DC.
(2)连接OC，设⊙O的半径为r，
∵CD＝CB，∴＝.
∴∠DAC＝∠BAC，即∠BOC＝∠BAD.
∴OC∥AD.
∴＝＝＝2.
∴PC＝2CD＝4.
∵∠PCB＝∠PAD，∠CPB＝∠APD，
∴△PCB∽△PAD.
∴＝，即＝.
∴r＝4，即⊙O的半径为4.
18．(14分)如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD交BD于点E，点F，M分别是AB，BC的中点，BN平分∠ABE交AM于点N，AB＝AC＝BD.连接MF，NF.
(1)判断△BMN的形状，并证明你的结论；
(2)判断△MFN与△BDC之间的关系，并说明理由．
解：(1)△BMN是等腰直角三角形．证明：
∵AB＝AC，点M是BC的中点，
∴AM⊥BC，AM平分∠BAC.
∵AC⊥BD，
∴∠AEB＝90°.∴∠EAB＋∠EBA＝90°.
又∵BN平分∠ABE，
∴∠MNB＝∠NAB＋∠ABN＝(∠BAE＋∠ABE)＝45°.
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∴△BMN是等腰直角三角形．
(2)△MFN∽△BDC.理由：
∵点F，M分别是AB，BC的中点，
∴FM∥AC，FM＝AC.
∵AC＝BD，∴FM＝BD，即＝.
∵△BMN是等腰直角三角形，
∴NM＝BM＝BC，即＝.∴＝.
∵AM⊥BC，∴∠NMF＋∠FMB＝90°.
∵FM∥AC，∴∠ACB＝∠FMB.
∵∠CEB＝90°，∴∠ACB＋∠CBD＝90°.
∴∠CBD＋∠FMB＝90°.
∴∠NMF＝∠CBD.
∴△MFN∽△BDC.
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