x
y
O 3
`
－3
3
2`
1
吉林省实验中学 2018---2019 学年度上学期
高一年级数学学科期中考试试题
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共 12小题，每小题 5分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．）
（1）已知集合 A＝{x | 2≤x＜4}，B＝{x | 3x－7≥8－2x}，则 A∪B＝
A．{x | 3≤x＜4} B．{ x | x≥2} C．{x | 2≤x＜4} D．{x | 2≤x≤3}
（2）已知集合 A＝{x∈Z | x2＋x－2＜0}，则集合 A的一个真子集为
A．{x | －2＜x＜0} B．{x | 0＜x＜2} C．{0} D．{Ø}
（3）下列各组函数中，f(x)与 g(x)是相同函数的是（e为自然对数的底数）
A．f(x)＝ x2，g(x)＝( x)2 B．f(x)＝x2
x
，g(x)＝x
C．f(x)＝lnx2，g(x)＝2lnx D．f(x)＝ 1 1e ex x ，g(x)＝e2x
（4）下列函数中，在(0，＋∞)上是增函数的是
A．f(x)＝1
x
B．f(x)＝lg(x－1) C．f(x)＝2x2－1 D．f(x)＝x＋1
x
（5）已知函数 f(x)的定义域为[0，1]，则函数 f(2x－1)的定义域为
A．[－1，1] B．[1
2
，1] C．[0，1] D．[－1
2
，1]
（6）已知定义在[－3，3]上的函数 y＝f(x)，其图象如图所示．
则只有唯一的 x值与之对应的 y的取值范围是
A．(3，＋∞) B．[0，2)∪[3，＋∞)
C．(0，＋∞) D．[0，1)∪(3，＋∞)
（7）已知函数 f(x＋1)＝x2＋2x，则 f(x)的解析式为
A．f(x)＝x2＋1 B．f(x)＝x2＋2x－1
C．f(x)＝x2－1 D．f(x)＝x2＋2x＋1
（8）三个数 20.3，0.32，log0.32的大小顺序是
A．0.32＜log0.32＜20.3 B．0.32＜20.3＜log0.32
C．log0.32＜20.3＜0.32 D．log0.32＜0.32＜20.3
（9）函数 f(x)＝ ex－1
ex＋1
（e为自然对数的底数）的值域为
A．(－1，1) B．(－1，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－1，0 )∪(0，1)
（10）函数 f(x)＝
2 4 3
1
2
x x
的单调减区间为
A．(－∞，2] B．[1，2] C．[2，＋∞) D．[2，3]
（11）已知定义在 R上的偶函数 f(x)满足以下两个条件：①在(－∞，0]上单调递减；②f(1)＝
－2．则使不等式 f(x＋1)≤－2成立的 x的取值范围是
A．[－3，1] B．(－∞，0] C．[－2，0] D．[0，+∞)
（12）设 f(x)＝
(1－2a)x，x≤1
logax＋1
3
，x＞1 ．若存在 x1，x2∈R，x1≠x2，使得 f(x1)＝f(x2)成立，则实
数 a的取值范围是
A．(0，1
3
) B．(1
3
，
1
2
) C．(0，1
2
) D．(1
4
，
1
3
)
第Ⅱ卷
二、填空题：（本大题共 4小题，每小题 5分．）
（13）函数 y＝loga(x－1)＋1(a＞0，且 a≠1)恒过定点 ．
（14）函数 f(x)＝ 3－x
lg(x－1)
的定义域为 ．
（15）定义域为 R的函数 f(x)，对任意实数 x均有 f(－x)＝－f(x)，f(2－x)＝f(2＋x)成立，若当
2＜x＜4时，f(x)＝2x－3＋log2(x－1)，则 f(－1)＝ ．
（16）已知函数 f(x)＝lg(x＋a
x
－2)，若对任意 x∈[2，＋∞)，不等式 f(x)＞0恒成立，则 a的取
值范围是 ．
三、解答题：（本大题共 6小题，其中 17小题 10分，18~22小题每小题 12分；解答应写出
文字说明，证明过程或演算步骤．）
（17）（本小题 10分）
已知集合 A＝{x|－3≤x≤4}，B＝{x|2m－1≤x≤m＋1}．
（Ⅰ）当 m＝－3时，求( ARð )∩B；
（Ⅱ）当 A∩B＝B时，求实数 m的取值范围．
（18）（本小题 12分）
计算下列各式的值：
（Ⅰ）
1 20 15 5335 2 49 3
4 3 5
；
（Ⅱ）
3
34 log
4
3
27log lg 25 3 lg 4
3
．
（19）（本小题 12分）
已知函数 f(x)是定义在 R上的奇函数，当 x＞0时，f(x)＝x2－x＋1．
（Ⅰ）求 f(0)的值；
（Ⅱ）求 f(x)在 R上的解析式．
（20）（本小题 12分）
解关于 x的不等式：x2－(a＋1
a
)x＋1≤0 (a∈R，且 a≠0)
（21）（本小题 12分）
已知函数 f(x)的定义域是 R，对任意实数 x，y，均有 f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，且当 0x 时，f(x)＞0．
（Ⅰ）证明：f(x)在 R上是增函数；
（Ⅱ）判断 f(x)的奇偶性，并证明；
（Ⅲ）若 f(－1)＝－2，求不等式 f(a2＋a－4)＜4的解集．
（22）（本小题 12分）
已知定义在 R上的奇函数 f(x)＝kax－a－x
a2－1
(a＞0，且 a≠1)．
（Ⅰ）求 k的值；
（Ⅱ）当 m∈[0，1]，n∈[－1，0]时，不等式 f(2n2－m＋t)＋f(2n－mn2)＞0恒成立，求 t的取
值范围．
吉林省实验中学 2018---2019 学年度上学期
高一年级数学学科期中考试参考答案
第 Ⅰ 卷 (选择题 共 60分)
一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的．）
题
号
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答
案
B C D C B D C D A B C B
第 Ⅱ 卷 (非选择题 共 90 分)
二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5分．）
（13）(2，1)； （14）(1，2)∪(2，3]；
（15）－2； （16）(2，＋∞)．
三、解答题：（解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．）
（17）（本小题满分 10分）
解：（Ⅰ）当 m＝－3时，
＝{x|x＜－3或 x＞4}，B＝{x|－7≤x≤－2}， …………2分
∴( )∩B＝{x|－7≤x＜－3}． …………4分
（Ⅱ）由 A∩B＝B可知，B⊆A． …………5分
当 2m－1＞m＋1时，即 m＞2时，B＝Ø，满足 B⊆A； …………7分
当 2m－1≤m＋1时，即 m≤2时，B≠Ø，若 B⊆A，
则
2m－1≥－3，
m＋1≤4， 解得－1≤m≤3，
又 m≤2，∴－1≤m≤2. …………9分
综上所述，m的取值范围是[－1，＋∞)． …………10分
（18）（本小题满分 12分）
解：（Ⅰ）原式＝ ； …………6分
（Ⅱ）原式＝ ． …………12分
（19）（本小题满分 12分）
解：（Ⅰ）∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．
令 x＝0，得：f(－0)＝－f(0)，即 f(0)＝0 …………4分
（Ⅱ）当 x＜0 时，－x＞0，
f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－(－x)＋1]＝－x2－x－1． …………10分
∵当 x＞0时，f(x)＝x2－x＋1，且 f(0)＝0，
∴f(x)在 R上的解析式为 f(x)＝
0，x＝0
x2－x＋1，x＞0 …………12分
（20）（本小题满分 12分）
解：不等式可化为：(x－a)(x－
1
a)≤0．
令(x－a)(x－
1
a)＝0，可得：x＝a或 x＝
1
a． …………2分
①当 a＞
1
a，即－1＜a＜0或 a＞1时，不等式的解集为[
1
a，a]； …………5分
②当 a＜
1
a，即 a＜－1或 0＜a＜1时，不等式的解集为[a，
1
a]； …………8分
③当 a＝
1
a，即 a＝－1或 a＝1时，
（i）若 a＝－1，则不等式的解集为{－1}；
（ii）若 a＝1，则不等式的解集为{1}． …………11分
综上，当－1＜a＜0或 a＞1时，不等式的解集为[
1
a，a]；
当 a＜－1或0＜a＜1时，不等式的解集为[a，
1
a]；
当 a＝－1时，不等式的解集为{－1}；
当 a＝1时，不等式的解集为{1}； …………12分
（21）（本小题满分 12分）
解：（Ⅰ）证明：设 x1＜x2，则 x2－x1＞0，
∵当 x＞0时，f(x)＞0，∴f(x2－x1)＞0，
∵f(x2)＝f[(x2－x1)＋x1]＝f(x2－x1)＋f(x1)，
∴f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＞0，即 f(x1)＜f(x2)，
∴f(x)在 R上是增函数． …………4分
（Ⅱ）解：在条件中，令 y＝－x，得 f(0)＝f(x)＋f(－x)，
再令 x＝y＝0，则 f(0)＝2f(0)，∴f(0)＝0，故 f(－x)＝－f(x)，
即 f(x)为奇函数． …………8分
（Ⅲ）解：∵f(x)为奇函数，∴f(1)＝－f(－1)＝2，∴f(2)＝f(1)＋f(1)＝4，
∴不等式可化为 f(a2＋a－4)＜f(2)，
又∵f(x)为 R上的增函数，
∴a2＋a－4＜2，即 a∈(－3，2)． …………12分
（22）（本小题满分 12分）
解：（Ⅰ）由 f(x)＋f(－x)＝0，得
kax－a－x
a2－1 ＋
ka－x－ax
a2－1 ＝0，
即
kax－a－x＋ka－x－ax
a2－1 ＝0，即
ax＋a－x
a2－1 ＝0，
所以 k＝1． …………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：f(x)＝
ax－a－x
a2－1 ．
①当 a＞1时，a2－1＞0，y＝ax与 y＝－a－x在 R上都是增函数，
所以函数 f(x)在 R上是增函数；
②当 0＜a＜1时，a2－1＜0，y＝ax与 y＝－a－x在 R上都是减函数，
所以函数 f(x)在 R上是增函数．
综上，f(x)在 R上是增函数．
（此结论也可以利用单调性的定义证明） …………8分
不等式 f(2n2－m＋t)＋f(2n－mn2)＞0可化为 f( 2n2－m＋t)＞－f(2n－mn2)，
∵函数 f(x)是奇函数，
∴不等式可化为 f(2n2－m＋t)＞f(－2n＋mn2)；
又∵f(x)在 R上是增函数．
∴2n2－m＋t＞－2n＋mn2 …………10分
即 t＞(n2＋1)m－2n2－2n，对于 m∈[0，1]恒成立．
设 g(m)＝(n2＋1)m－2n2－2n，m∈[0，1]．
则 t＞g(m)max＝g(1)＝－n2－2n＋1
所以 t＞－n2－2n＋1，对于 n∈[－1，0]恒成立． …………11分
设 h (n)＝－n2－2n＋1，n∈[－1，0]．
则 t＞h(n)max＝h(－1)＝2．
所以 t的取值范围是 (2，＋∞)． …………12分
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