沙市中学2016 级高三第三次考试
数学试题（文科）
注意事项：
⒈本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考号 填写在答题卡上。
⒉回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案涂黑，如需改动，用橡 皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。
⒊回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
第Ⅰ卷 选择题（共 12 小题，计 60 分）
一、选择题：（共 12 小题，计 60 分）
U
1、已知全集U = R ，集合 A = {x || x |£ 1, x Î R} ，集合 B = {x | 2 x £ 1, x Î R} ，则集合 A I C
B =（ ）
A.[-1,1]
2、复数i
B.[0,1]
2 (i 为虚数单位)的实部为（ ）
C. (0,1]
D.[-1,0)
A． -1
B.1 C． - 2
D． 2
3、设 m, n 是不同的直线，a , b ,g 是不同的平面，则下列命题中真命题的是( )
A.若a ^ b , m // a ，则 m ^ b
B.若 m Ì a , n Ì b ，且 m ^ n ，则a ^ b
C.若a // b , b // g ，则a // g D.若 m // a , n // a ，则 m // n
ì2 x + y £ 3,
ï
ï x + 2 y £ 3,
í x ³ 0,
4、满足线性约束条件
ï
ïî y ³ 0
A．1 B. 3
2
的目标函数 z = x + y 的最大值是 （ ）
C．2 D．3
- 1
5、已知 x = ln p ， y = log 1 p ， z = e
e
，则 （ ）
A． x < y < z
B． z < x < y
C． z < y < x
D． y < z < x
6、已知某几何体的三视图（单位： cm ）如右图所示，则
该几何体体．积．是（ ） cm3
A.92 B.100
C. 60 D.80
7、函数 f (x) = 2 sin(3x + j) 的图像向右平移动 p 个单位，得到的图像关于 y 轴对称，则| j |
12
的最小值为（ ）
A． p B． p C． p D． 5p
12 4
3 12
8、已知| a |= 2,| b |= 3 ，且它们的夹角为 120°,当| a + lb | (l Î R) 取最小值时， l = ( )
A. - 1
3
B. - 2 3
3
C. 1 D. 2 3
3 3
9、 DABC 内角 A, B 所对边的边长分别为 a, b ，则“ A = B ”是“ a cos A = b cos B
”的（ ）
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件 D.非充分非必要条件
10、设等差数列{an}与等比数列{bn}满足：0< a1= b1< a5= b5，则下述结论一定成立的是（ ）
A.a3b3 C.a6b6
í
11、函数 f ( x) = ïìx
+ 4x, x ³ 0
，且 a + b > 0, b + c > 0, c + a > 0 ，则
f (a) + f (b) + f (c) 的值( )
ïî- x2 + 4x, x < 0
A. 恒为负 B.恒为正 C.恒为 0 D.无法确定
12、已知函数 f ( x ) = x + ex -a ， g ( x ) = ln ( x + 2) - 4ea - x ，其中 e 为自然对数的底数，若存在实 数 x0 ，使 f ( x0 ) - g ( x0 ) = 3 成立，则实数 a 的值为
A. - ln 2
B. ln 2 -1
C. - ln 2 -1
D. ln 2
第Ⅱ卷 非选择题（共两大题，计 90 分）
二、填空题：（共 4 小题，计 20 分）
13、已知向量 a = (-3,1), b = (-1,2) ，如果向量 a + l b 与 b 垂直，则实数 l =
14、已知锐角a 的终边经过点(2,1),则 cos(a + p ) =
4
an 1 *
15、在数列{an } 中， a1 = 1 ，
an+1
= （ n Î N ），设 Sn 为数列{an } 的前 n 项和，
2
则 S2016 - 2S2017 + S2018 =
22018
P
16、如右图，三棱锥 P - ABC ，已知 PA ^ 面 ABC ， AD ^ BC 于 D，
BC = CD = 1 ，设 PD = x ， ÐBPC = q ，记函数 f (x) = tan q ，
B A
则 f ( x) 的最大值是 C
D
三、解答题：（共 7 小题，计 70 分。第 17～21 题为必考题，每个试题考生都必
须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）
17、设命题 p ：实数 x 满足 x -1 > a ，其中 a > 0 ；命题 q ：实数 x 满足3x - x-6 < 1
（1）若命题 p 中 a = 1 ，且 p Ù q 为真，求实数 x 的取值范围；
（2）若 Øp 是 q 的必要不充分条件，求实数 a 的取值范围。
18、已知函数 f ( x) =
3 sin x cos x - sin 2 x + 3
2
（1）求函数 f ( x) 的最小正周期及单调递增区间；
（2）DABC 中，角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，若
f (p + A) = 5 ，且 a = 2, b = 1 ，求 DABC
的面积。
6 2 4
19、如图，边长为 4 的正方形 ABCD 中，点 E, F 分别是 AB, BC 上的点，将 DAED 和 DDCF 折
起，使 A, C 两点重合于点 P 。
（1）求证： PD ^ EF ；
（2）当 BE = BF = 1 BC 时，求四棱锥 P - DEF 的体积。
4
20、已知{an }是递增的等差数列，
Sn 为{an }的前 n 项和，且 S5 = 5 ， a3 , a4 , a7 成等比数列，
设bn
= an + 4 。
2n
（1）求数列{an }的通项公式及数列{bn } 的前 n 项和Tn 。
（2）若集合{n (-1)n+1 b
> l, n Î N *} 中有且仅有 2 个元素，求 l 的取值范围。
21、已知函数 f ( x) = 2 + a ln x - 2(a > 0) 。
x
（1）当 a = 1 时，求函数 y = f (x) 的单调区间；
（2）若"x Î (0,+¥) 都有 f (x) > 2(a -1) 成立，试求 a 的取值范围；
（3）记 g(x) = f (x) + x - b(b Î R) 。当 a = 1 时，函数 g ( x) 在区间[ 1 , e] 上有两个零点，求实数b
e
的取值范围。
请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
í y = 1 + t sin a
22、（选修 4-4：坐标系与参数方程）在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 ì x = 1 + t cosa
î
（ t 为参数，0 £ a < p ）以坐标原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，并取相同的长度单位， 建立极坐标系．曲线 C : r = 1 ．
（1）若直线 l 与曲线 C1 相交于点 A, B, M (1,1) ，证明： MA × MB 为定值；
( )
ìï x ' =
（2）将曲线 C 上的任意点 x,y 作伸缩变换
3x 后，得到曲线 C 上的点 ( x ', y') ，求曲线C
1 í 2 2
ïî y ' = y
的内接矩形 ABCD 周长的最大值．
23、（选修 4-5：不等式选讲）已知函数 f (x) = 2 | x +1| - | x -1| .
（1）求函数 f ( x) 的图象与直线 y = 1围成的封闭图形的面积 m ；
（2）在（1）的条件下，若正数 a 、b 满足 a + 2b = abm ，求 a + 2b 的最小值.
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