第5章 二次函数
5.5 第2课时 利用二次函数解决抛物线形问题
知识点 利用二次函数解决抛物线形问题
命题角度1 球类问题
1．如图5－5－4，教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系为y＝－x2＋x＋，由此可知铅球被推出的距离是( )
A．10 m B．3 m
C．4 m D．2 m或10 m
图5－5－4
图5－5－5
2．小敏在某次投篮中，球的运动线路是抛物线y＝－x2＋3.5的一部分(如图5－5－5)．若命中篮圈中心，则他与篮底的距离l是( )
A．3.5 m B．4 m C．4.5 m D．4.6 m
3．2018·滨州 如图5－5－6，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间x(单位：s)之间具有函数关系y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题：
(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15 m时，飞行时间是多少？
(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？
(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？
7
图5－5－6
命题角度2 拱桥问题
4．河北省赵县的赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图5－5－7所示的平面直角坐标系，其函数表达式为y＝－x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4 m时，这时水面的宽度AB为( )
A．－20 m B．10 m C．20 m D．－10 m
图5－5－7
图5－5－8
5．建立如图5－5－8所示的直角坐标系，某抛物线形桥拱的最大高度为16米，跨度为40米，则它对应的表达式为________________．
6．教材问题3变式 如图5－5－9是一个横断面为抛物线形的拱桥，当水面宽4米时，拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米，当水面下降1米时，水面的宽度为多少米？
图5－5－9
命题角度3 其他问题
7
图5－5－10
7．某广场有一个喷水池，水从地面喷出，如图5－5－10，以水平地面为x轴，出水点为原点，建立平面直角坐标系，水在空中划出的曲线是抛物线y＝－x2＋4x(单位：米)的一部分，则水喷出的最大高度是( )
A．4米 B．3米 C．2米 D．1米
8．2018·衢州 某游乐园有一个直径为16米的圆形喷水池，喷水池的周边有一圈喷水头，喷出的水柱为抛物线形，在距水池中心3米处达到最高，高度为5米，且各方向喷出的水柱恰好在喷水池中心的装饰物处汇合，如图5－5－11所示，以水平方向为x轴，喷水池中心为原点建立平面直角坐标系．
图5－5－11
(1)求水柱所在抛物线(第一象限部分)的函数表达式；
(2)王师傅在水池内维修设备期间，喷水管意外喷水，为了不被淋湿，身高1.8米的王师傅站立时必须在离水池中心多少米以内？
(3)经检修评估，游乐园决定对喷水设施做如下设计改进：在喷出水柱的形状不变的前提下，把水池的直径扩大到32米，各方向喷出的水柱仍在喷水池中心保留的原装饰物(高度不变)处汇合，请探究扩建改造后喷出的水柱的最大高度．
9．2017·泰兴期末 冬天来了，晒衣服成了头疼的事情，聪明的小华想到一个好办法，他在家后院地面(BD)上立两根等长的立柱AB，CD(均与地面垂直)，并在立柱之间悬挂一根绳子．绳子的形状近似抛物线y＝x2＋bx＋c，如图5－5－12①，已知BD＝8米，绳子最低点离地面的距离为1米．
(1)求立柱AB的长度；
(2)由于挂的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小华用一根垂直于地面的立柱MN撑起绳子(如图②)，MN的长度为1.85米，通过调整MN的位置，使左边抛物线F1对应函数表达式的二次项系数为，顶点离地面1.6米，求MN与AB的距离．
7
图5－5－12
10．如图5－5－13，某足球运动员站在点O处练习射门，将足球从离地面0.5 m的A处正对球门踢出(点A在y轴上)，足球的飞行高度y(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间满足函数关系y＝at2＋5t＋c，已知足球飞行0.8 s时，离地面的高度为3.5 m.
(1)足球飞行的时间是多少时，足球离地面最高？最大高度是多少？
(2)若足球飞行的水平距离x(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系x＝10t，已知球门的高度为2.44 m，如果该运动员正对球门射门时，离球门的水平距离为28 m，他能否将球直接射入球门？
图5－5－13
5.5 第2课时 利用二次函数解决抛物线形问题
1．A [解析] 令y＝0，则－x2＋x＋＝0，
解得x1＝10，x2＝－2，
由此可知铅球被推出的距离是10 m.
故选A.
2．B [解析] 当y＝3.05时，－x2＋3.5＝3.05，解得x1＝－1.5(舍去)，x2＝1.5，
∴l＝2.5＋1.5＝4(m)．
故选B.
3．解：(1)令y＝15，有－5x2＋20x＝15，
化简得x2－4x＋3＝0，
解得x1＝1，x2＝3，
即飞行时间是1 s或3 s.
(2)飞出和落地的瞬间，高度都为0，故令y＝0，
则有0＝－5x2＋20x，
解得x1＝0，x2＝4，
7
所以小球从飞出到落地所用时间是4－0＝4(s)．
(3)y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20，
∴当x＝2时，y取得最大值，此时y＝20.
故在飞行过程中，当飞行时间为2 s时，小球的飞行高度最大，最大高度为20 m.
4．C
5．y＝－(x－20)2＋16 [解析] 由图可知抛物线的对称轴为直线x＝20，顶点坐标为(20，16)．
可设此抛物线的表达式为y＝a(x－20)2＋16.
又此抛物线过点(0，0)，代入得(0－20)2a＋16＝0，解得a＝－，
所以此抛物线的表达式为y＝－(x－20)2＋16.
6．解：建立如图所示的直角坐标系，可知OA和OB的长均为AB的一半，即2米，抛物线顶点C的坐标为(0，2)，通过以上条件可设抛物线的函数表达式为y＝ax2＋2.
把(－2，0)代入y＝ax2＋2，得出a＝－0.5，
所以y＝－0.5x2＋2.
当y＝－1时，有－1＝－0.5x2＋2，
解得x＝±，
所以当水面下降1米时，水面的宽度为2 米．
7．A [解析] 直接根据二次函数的顶点坐标公式计算即可，最大高度为＝＝4，或将y＝－x2＋4x化为顶点式也可得出结论．
8．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(3，5)，
∴设y＝a(x－3)2＋5，将(8，0)代入，得a＝－，
∴y＝－(x－3)2＋5，即y＝－x2＋x＋(0
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