第6章 图形的相似
6.5 第1课时 相似三角形的周长、面积的性质
知识点 1 相似三角形(多边形)周长的比
1．已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为3∶4，则△ABC与△DEF的周长之比为( )
A．4∶3 B．3∶4
C．16∶9 D．9∶16
2．已知两个五边形相似，其中一个五边形的周长为36，最短边长为4，另一个五边形的最短边长为3，则它的周长为( )
A．21 B．27 C．30 D．48
3．若两个相似三角形的周长之比为2∶3，则它们的相似比是________．
4．已知△ABC∽△DEF，其中AB＝5，BC＝6，CA＝9，DE＝3，那么△DEF的周长是________．
知识点 2 相似三角形(多边形)面积的比
5．2018·广东 在△ABC中，D，E分别为边AB，AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为( )
A. B. C. D.
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6．两个相似三角形的一组对应边长分别为5 cm和3 cm，如果它们的面积之和为136 cm2，则较大三角形的面积是( )
A．36 cm2 B．85 cm2
C．96 cm2 D．100 cm2
7．若△ABC与△DEF相似，且面积之比为25∶16，则△ABC与△DEF的周长之比为________．
8．如图6－5－1，在△ABC中，DE∥BC，EF∥AB，已知△ADE与△EFC的面积分别为4 cm2和9 cm2，求△ABC的面积．
图6－5－1
9．如图6－5－2，点O是△ABC的重心，延长BO，交AC于点E，延长CO，交AB于点D，连接DE，则C△DOE∶C△BOC的值为( )
A. B. C. D.
图6－5－2
图6－5－3
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10．如图6－5－3，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是________．
11．如图6－5－4，已知矩形ABCD的一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在CD边上的点P处．已知折痕与边BC交于点O.
(1)求证：△OCP∽△PDA；
(2)若△OCP与△PDA的面积比为1∶4，求边AB的长．
图6－5－4
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/ 教 师 详 解 详 析 /
第6章 图形的相似
6.5 第1课时 相似三角形的周长、
面积的性质
1．B 2.B 3.2∶3 4.12
5．C [解析] 相似三角形面积的比等于相似比的平方，由中位线性质知△ADE与△ABC的相似比为1∶2，所以△ADE与△ABC的面积之比为.
6．D [解析] 两个相似三角形的相似比为5∶3，则它们的面积比为25∶9.设这两个三角形的面积分别为25k cm2，9k cm2，则25k＋9k＝136，解得k＝4，所以较大三角形的面积是25×4＝100(cm2)．故选D.
7．5∶4 [解析] ∵△ABC与△DEF相似且面积之比为25∶16，
∴△ABC与△DEF的相似比为5∶4，
∴△ABC与△DEF的周长之比为5∶4.
8．解：∵DE∥BC，EF∥AB，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC＝∠EFC，∠AED＝∠C，∴△ADE∽△EFC，∴＝＝＝，∴＝.
又∵△ADE∽△ABC，
∴＝()2＝，
∴S△ABC＝S△ADE＝25 cm2.
9．A [解析] 根据点O是△ABC的重心可知DE是△ABC的中位线，故可得出DE＝BC，再由重心的性质可知OD＝OC，OE＝OB，据此可得出结论．
10．7 [解析] ∵DE∥AB，∴△FEC∽△ABC，∴＝()2＝()2＝.∵△ABC和△DEC的面积相等，∴＝.又△CFE，△DEC在EF，DE边上的高相同，结合三角形的面积公式，得＝.∵EF＝9，∴DE＝16，∴DF＝DE－EF＝10－9＝7.故答案为7.
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11．解：(1)证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠B＝∠C＝∠D＝90°，
∴∠CPO＋∠COP＝90°.
由折叠的性质可得，∠APO＝∠B＝90°，
∴∠CPO＋∠DPA＝90°，∴∠COP＝∠DPA，
∴△OCP∽△PDA.
(2)∵△OCP与△PDA的面积比为1∶4，△OCP∽△PDA，
∴＝＝＝，
∴PA＝2OP，AD＝2PC.
∵AD＝8，∴PC＝4.
由折叠的性质可得OP＝OB，PA＝AB.
设OP＝x，则OB＝x，CO＝8－x.
在Rt△PCO中，
∵∠C＝90°，PC＝4，OP＝x，CO＝8－x，
∴x2＝(8－x)2＋42，解得x＝5，则OP＝5，
∴AB＝AP＝2OP＝10.
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