[6.5 第1课时 相似三角形周长、面积的性质]
一、选择题
1．2017·重庆已知△ABC∽△DEF，且相似比为1∶2，则△ABC与△DEF的面积比是( )
A．1∶4 B．4∶1 C．1∶2 D．2∶1
2．如果两个相似正五边形的边长比为1∶10，那么它们的面积比为( )
A．1∶2 B．1∶5
C．1∶100 D．1∶10
3．2018·自贡如图K－20－1，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，若△ADE的面积为4，则△ABC的面积为( )
图K－20－1
A．8 B．12 C．14 D．16
4．如图K－20－2，在▱ABCD中，E是AB的中点，CE和BD交于点O，设△OCD的面积为m，△OEB的面积为，则下列结论中正确的是( )
图K－20－2
A．m＝5 B．m＝4
C．m＝3 D．m＝10
8
5．如图K－20－3，在△ABC中，中线BE，CD相交于点O，连接DE，有下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确的结论有( )
图K－20－3
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
6．2016·宿迁若两个相似三角形的面积比为1∶4，则这两个相似三角形的周长比是________.
7．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△ABC与△DEF的面积之比为________．
8．若两个相似六边形的周长比是3∶2，其中较大六边形的面积为81，则较小六边形的面积为________．
9．如图K－20－4，在△ABC中，DE∥BC，＝，△ADE的面积为8，则△ABC的面积为________．
图K－20－4
10．如图K－20－5所示，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是AD的中点，△BCD的周长为8 cm，则△DEO的周长为________ cm.
图K－20－5
11．2017·广东改编如图K－20－6，已知正方形ABCD，E是BC的中点，DE与AC相交于点F，连接BF.有下列结论：①S△ABF＝S△ADF ; ② S△CDF＝S△CEF ；③S△ADF＝S△CEF ; ④S△ADF＝2S△CDF .其中正确的是________．(填序号)
图K－20－6
三、解答题
12．已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为3∶4，AB∶BC∶AC＝2∶3∶4，△A1B1C1的周长是72 cm，求△ABC的三边长.
8
13.已知矩形ABCD的长和宽分别为8 cm，4 cm，与它相似的矩形A1B1C1D1的一条边长为12 cm，求矩形A1B1C1D1的面积．
14．如图K－20－7，在▱ABCD中，E是AD边的中点，连接BE，并延长交CD的延长线于点F.
(1)求证：DF＝AB；
(2)当▱ABCD的面积为8时，求△DFE的面积．
图K－20－7
阅读下面的短文：
如图K－20－8，甲、乙是两个形状相同，大小不相同的五棱柱．像这样，两个形状相同，大小不一定相同的几何体称为相似体．两个相似体的一切对应线段之比都等于相似比(a∶a′＝b∶b′＝c∶c′＝k)．
图K－20－8
解答下列问题：
(1)下列几何体中，一定属于相似体的是( )
8
A．两个正方体 B．两个圆锥
C．两个圆柱 D．两个长方体
(2)请归纳出相似体的三条主要性质：
①相似体一切对应线段(或弧)的长度比等于________；
②相似体表面积的比等于________________；
③相似体体积的比等于________________．
(3)2013年01月05日，江苏省异种器官移植重点实验室培育成功首批转基因克隆猪，标志着我国开展异种器官移植迈开了实质性步伐．这头克隆猪出生时体重为3.1 kg，假定在完全正常发育的条件下，不同时期的这头克隆猪的身体是相似体，经过若干年后，这头小克隆猪的身高为70 cm时，它的体重为40 kg.你能求出这头克隆猪出生时的身高吗？(精确到1 cm，不考虑不同时期克隆猪的身体平均密度的变化)
8
详解详析
[课堂达标]
1．A 2.C
3．[解析] D ∵在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE∥BC，DE＝BC，∴△ADE∽△ABC.
∵＝，∴＝.
∵△ADE的面积为4，∴△ABC的面积为16.
故选D.
4．[解析] B ∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD.
∵AB∥CD，∴△OCD∽△OEB.
又∵E是AB的中点，∴2BE＝AB＝CD，
∴＝，即＝，
解得m＝4 .
故选B.
5．[解析] B ∵BE，CD是△ABC的中线，即D，E分别是AB和AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，DE＝BC，即＝，
∴△DOE∽△COB，
∴＝()2＝，＝＝＝，
故①正确，②错误，③正确．
如图，设△ABC的边BC上的高为AF，
则S△ABC＝BC·AF，S△ADC＝S△ABC＝BC·AF.
∵在△ODE中，DE＝BC，
∴DE边上的高是×AF＝AF，
∴S△ODE＝·BC·AF＝BC·AF，
8
∴＝＝，故④错误．
故正确的结论是①③.故选B.
6．[答案] 1∶2
[解析] ∵两个相似三角形的面积比为1∶4，
∴这两个相似三角形的相似比为1∶2，
∴这两个相似三角形的周长比是1∶2.
7．[答案] 9∶1
[解析] ∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，
∴△ABC与△DEF的相似比是3∶1，
∴△ABC与△DEF的面积之比为9∶1.
8．[答案] 36
[解析] ∵两个相似六边形的周长比是3∶2，
∴它们的面积比为9∶4.
∵较大六边形的面积为81，
∴较小六边形的面积为81×＝36.
9．[答案] 18
[解析] 因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，所以＝()2＝.因为△ADE的面积为8，所以△ABC的面积为18，故应该填18.
10．[答案] 4
[解析] 解法一：∵O是▱ABCD对角线的交点，
∴O是BD的中点．
又∵E是AD的中点，在▱ABCD中，AD＝BC，
∴＝＝＝.
又∵∠ADB＝∠DBC，
∴△DEO∽△BCD，
∴＝，
∴△DEO的周长＝△BCD的周长＝×8＝4(cm)，故填4.
解法二：∵O是▱ABCD对角线的交点，
∴AC，BD互相平分于点O.
又∵E是AD的中点，
∴OE是△ACD的中位线，
∴OE＝CD.
在▱ABCD中，AD＝BC，
∴DE＝AD＝BC，
8
∴OE＋DE＋OD＝CD＋BC＋BD＝(CD＋BC＋BD)＝△BCD的周长＝×8＝4(cm)，故填4.
11．[答案] ①④
[解析] 由题意易得△ADF≌△ABF，则S△ABF＝S△ADF.
又AD∥CE，且AD＝BC＝2CE，
则△ADF∽△CEF，且相似比为2∶1，
因此＝2，
则S△ADF＝2S△CDF.
12．解：∵在△ABC中，AB∶BC∶AC＝2∶3∶4，
∴可设AB＝2k cm，BC＝3k cm，AC＝4k cm.
∵△ABC与△A1B1C1的相似比为3∶4，
∴A1B1＝AB＝×2k＝k(cm)，
B1C1＝BC＝×3k＝4k(cm)，
A1C1＝AC＝×4k＝k(cm)．
又∵△A1B1C1的周长是72 cm，
∴k＋4k＋k＝72，
解得k＝6.
∴AB＝2×6＝12(cm)，BC＝3×6＝18(cm)，AC＝4×6＝24(cm)．
13．[解析] 分别从当矩形A1B1C1D1的长为12 cm时与当矩形A1B1C1D1的宽为12 cm时去分析求解即可求得答案．
解：设矩形A1B1C1D1中与长为12 cm的边相邻的另一条边的长为x cm.
①当矩形A1B1C1D1的长为12 cm时，＝，
解得x＝6，
此时矩形A1B1C1D1的面积为12×6＝72(cm2)；
②当矩形A1B1C1D1的宽为12 cm时，＝，
解得x＝24，
此时矩形A1B1C1D1的面积为12×24＝288(cm2)．
综上所述，矩形A1B1C1D1的面积为72 cm2或288 cm2.
14．[解析] (1)利用已知得出△ABE≌△DFE，可得到DF＝AB；
(2)首先得出△FED∽△FBC，
进而得出＝，
进而求出S△FED即可．
解：(1)证明：∵在▱ABCD中，E是AD边的中点，
∴AE＝DE，AB∥CD，
∴∠ABE＝∠F.
8
在△ABE和△DFE中，
∴△ABE≌△DFE，
∴AB＝DF.
(2)方法一：∵DE∥BC，
∴△DFE∽△CFB.
∵△ABE≌△DFE，
∴BE＝FE，S△FBC＝S▱ABCD＝8，
∴＝，
∴＝，
即＝，
∴△DFE的面积为2.
方法二：设平行线AD与BC之间的距离为h，
则S△ABE＝AE·h.
∵S▱ABCD＝2AE·h＝8，
∴S△ABE＝AE·h＝2.
∵△ABE≌△DFE，
∴S△DFE＝S△ABE＝2.
[素养提升]
解：(1)A
(2)①相似比 ②相似比的平方 ③相似比的立方
(3)设这头克隆猪出生时的身高是x cm，则＝，
解得x≈30.
答：这头克隆猪出生时的身高约是30 cm.
8
微信/支付宝扫码支付