高三上学段考理科数学参考答案 第 1 页 共 5 页
三明一中 2018—2019 学年上学期学段考试
高三理科数学参考答案
一、选择题：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C D C B A B B D D C A B
二、填空题：
13． 3
24
n + ； 14．−1； 15． 2
10
； 16．16 15 .
三、解答题
17．(1)证明：由 an＋1＝4an－3n＋1 可得 an＋1－(n＋1)＝4(an－n)，
又 1 1 1 0a − = ，
所以an＋1－(n＋1)
an－n ＝4（非零常数），
所以数列{an－n}是以 1 为首项，4 为公比的等比数列． ．．．．．．．．．6 分
(2)解：由 14n
nan −−= ，得 14n
nan−=+，
所以 Sn＝4n－1
3 ＋(n＋1)n
2 . ．．．．．．．．． 12 分
18．解：（1）在 BEC 中，由正弦定理得
sin sin
BE CE
BCE B= ,
2
3B = , 1BE = , 7CE = ,
sin 3 21sin 1427
BE BBCE CE
= = = . ．．．．．．．．．6 分
（2）由平面几何知识可知 DEA BCE = , ．．．．．．．．．7 分
在 Rt AED 中，
2A = ， 5AE = ，
2 3 5 7cos 1 sin 1 28 14DEA DEA = − = − = ，
5 27cos 57
14
EAED DEA = = = . ．．．．．．．．．9 分
高三上学段考理科数学参考答案 第 2 页 共 5 页
在 CED 中，由余弦定理得 222CD 2 cosCE DE CE DE CED= + −
17 28 2 7 2 7 ( )2= + − −
49= ,
7CD= ． ．．．．．．．．12 分
19．（1）证明：如图，连接 BD ，交 AC 于点O ，
BC CD= ，即 BCD 为等腰三角形，
又 平分 BCD ，
故 AC BD⊥ ， ．．．．．．．．．2 分
因为平面 PAC ⊥ 底面 ABCD ，平面 PAC 底面 ABCD AC= ,
所以 BD ⊥ 平面 PAC ，
又CP 平面 PAC ，
所以CP BD⊥ . ．．．．．．．．．4 分
(2)如图，作 PO AC⊥ 于点O ,则 PO ⊥ 底面
ABCD ,
以O 为坐标原点， ,,DB OC OP 的正方向分别为
x 轴， y 轴， z 轴的正方向，建立空间直角坐标系O xyz− ， ．．．．．．．．．5 分
则 1 22OC OA AC= = = ，又 sin 60 3,ED EB CD= = = cos60 1,EC CD= =
故 1OE = , (0, 2,0), ( 3,1,0), (0,2,0),A B C−
由 22AP PC== ，得 90APC = ,故 (0,0,2)P ，
所以 ( 3,3,0), ( 3, 1,2), ( 3,1,0),AB BP BC= = − − = − ．．．．．．．7 分
设平面 ABP 的法向量为 1 1 1( , , )m x y z= ，平面 BCP 的法向量为 2 2 2( , , )n x y z= ，
由
0
0
m AB
m BP
= =
，得 11
1 1 1
3 3 0
3 2 0
xy
x y z
+=
− − + =
，因此可取 ( 3, 1,1)m =−.
由
0
0
n BP
n BC
= =
，得 2 2 2
22
3 2 0
30
x y z
xy
− − + =
− + =
，因此可取 (1, 3, 3)n = ,
．．．．．．．．10 分 高三上学段考理科数学参考答案 第 3 页 共 5 页
从而法向量 ,mn的夹角的余弦值为
· 3 105cos , 3535
= = =mnmn
mn .
．．．．．．．．．11 分
由图可知二面角 A BP C−−是钝角，所以二面角 的余弦值为 105
35− .
．．．．．．．．12 分
20．解：（1）因为扇形 AOB 的半径为 2 m，∠AOB＝x rad，
所以 S 扇形＝1
2x·2 2＝2x， ．．．．．．．． 2 分
过点 B 作边 AC 的垂线，垂足为点 D，如图所示：
则∠BOD＝π－x，
所以 BD＝2sin(π－x)＝2sin x，OD＝2cos(π－x)＝－2cos x，
因为∠ACB＝π
4，所以 CD＝BD＝2sin x，
所以 S△BOC＝1
2CO·BD＝1
2(2sin x－2cos x)×2sin x
＝2sin2x－2sin xcos x＝1－cos 2x－sin 2x， ．．．．．．．．5 分
所以 S(x)＝1－cos 2x－sin 2x＋2x. ．．．．．．．．6 分
（2）根据(1)，得到 S(x)＝1－cos 2x－sin 2x＋2x，
所以 '( )Sx＝2sin 2x－2cos 2x＋2， ．．．．．．．．7 分
令 ＝0，得 2 2sin 2x－π
4 ＝－2，即 sin 2x－π
4 ＝－ 2
2 ，
2 x ， 3724 4 4x −
所以 2x－π
4＝5π
4 ，所以 x＝3π
4 ， ．．．．．．．．9 分
当 3
24x 时， '( ) 0sx ，当 3
4 x 时， '( ) 0sx ；
所以当 ()sx在 3( , )24
单调递增，在 3( , )4
单调递减； ．．．．．．．．11 分
所以当 x＝3π
4 时，该函数取得最大值，
故设计∠AOB＝3π
4 时，S(x)有最大值． ．．．．．．．．．12 分 高三上学段考理科数学参考答案 第 4 页 共 5 页
21．解：（（1） '( ) ln 1f x x=+ ．．．．．．．．1 分
设切点坐标为 00( , )xy，则 0 0 0lny x x= ，切线的斜率为 0ln 1kx=+，
所以切线l 的方程为 0 0 0 0ln (ln 1)( )y x x x x x− = + − ， ．．．．．．．．2 分
又切线 过点（0，-1），
所以有 0 0 0 01 ln (ln 1)( )x x x x− − = + − ，即 0 0 0 0 01+ ln lnx x x x x=+
所以 0 1x = ， 0 0y = ， ．．．．．．．．4 分
所以斜率 1k = ，
所以直线 的方程为 1yx=−，即 10xy− − = . ．．．．．．．．6 分
(2)由题意， ln ( 1)x x k x k − − ，
即 k＜x＋xln x
x－1 对任意的 x∈(1，＋∞)都成立，
令 g(x)＝x＋xln x
x－1 (x＞1)，则 2
ln 2'( ) ( 1)
xxgx x
−−= −
， ．．．．．．．．7 分
令 h(x)＝x－ln x－2(x＞1)，
则 h′(x)＝1－1
x＝x－1
x ＞0，
所以函数 h(x)在(1，＋∞)上为增函数，
因为 h(3)＝1－ln 3＜0，h(4)＝2－ln 4＞0，
所以方程 h(x)＝0 存在唯一实根 x0，
即 ln x0＝x0－2，x0∈(3,4)． ．．．．．．．．9 分
所以当 1＜x＜x0 时，h(x)＜0，即 g′(x)＜0，
当 x＞x0 时，h(x)＞0，
即 g′(x)＞0，
所以函数 g(x)在(1，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，
所以 0 0 0 0 0
min 0 0
00
ln (1 2)( ) ( ) 11
x x x x xg x g x xxx
+ + −= = = =−−
， ．．．．．．．．11 分
所以 k＜g(x)min＝x0，x0∈(3,4)，又因为 k∈Z，
故 k 的最大值为 3. ．．．．．．．．12 分
22． 解：（1）由 6cos= ，得 2 6 cos = ，
化为直角坐标方程为 226x y x+=， 高三上学段考理科数学参考答案 第 5 页 共 5 页
即 22( 3) 9xy− + = . ．．．．．．．．5 分
（2）将l 的参数方程带入圆C 的直角坐标方程，
得 2 (2sin 2cos ) 7 0tt+ − − = ， ．．．．．．．． 6 分
因为 0 ，可设 1t ， 2t 是上述方程的两根，
所以 122(cos sin )tt + = − ， 12 7tt =− ， ．．．．．．．．7 分
又因为(2,1) 为直线所过定点，
∴ 1 2 1 2PA PB t t t t+ = + = −
2
1 2 1 2( ) 4t t t t= + −
32 4sin 2 32 4 2 7= − − = .
所以 PA PB+ 的最小值为 27. ．．．．．．．．10 分
23.解：（1）若 1−=a , 3)( xf 即为 311 ++− xx ,
当 1−x 时, 31-1 −− xx ，即有
2
3−x ；
当 11- x 时, 321-1 =++ xx 不成立;
当 1x 时, 3211 =++− xxx ,解得
2
3x .
综上可得 的解集为
+
，，
2
3
2
3-- . ．．．．．．．．5 分
（2） Rx ,使得 2)( xf 成立,即有 min)(2 xf ,
由函数 11-11)( −=−+−+−=−+−= axaxxaxaxxxf ,．．．．．．．．8 分
则 21 −a ,即 212- − a ,解得 31- a .
则实数 a 的取值范围为 ）（ 3,1- . ．．．．．．．．10 分
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