1
1.4 二次函数与一元二次方程的
联系
知|识|目|标
1．通过回顾一元二次方程的判别式与根的关系，理解二次函数图象与 x 轴交点的个数可以通
过一元二次方程的判别式判别．
2．通过列表或电脑作图，能用图象法读取或求取一元二次方程的近似根或确定根的取值范
围．
3．利用数形结合，能根据自变量(函数值)的取值范围确定函数值(自变量)的取值范围．
目标一 掌握抛物线与 x 轴的交点情况和一元二次方程的根的关系
例 1 教材“探究”拓展 已知(m，0)，(n，0)是抛物线 y＝x2－2(a－1)x＋a2－1 与 x 轴的两个
不同的交点．
(1)求 a 的取值范围；
(2)若(m－1)(n－1)＝10，求 a 的值．
【归纳总结】用根的判别式判断二次函数图象与 x 轴的交点情况：
(1)抛物线与 x 轴的交点：对于二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 是常数，a≠0)，Δ＝b2－4ac
决定抛物线与 x 轴的交点个数：
①当Δ＝b2－4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有两个不同的交点
[两个交点的坐标为(－b＋ b2－4ac
2a ，0)与
Error!；
②当Δ＝b2－4ac＝0 时，抛物线与 x 轴有两个重合的交点[这个交点即为顶点，坐标为2
(－
b
2a，0)]；
③当Δ＝b2－4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点(0 个交点)．
(2)抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与 x 轴有交点的条件是 b2－4ac≥0.
(3)抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点在 x 轴上的条件是 b2－4ac＝0.
目标二 能用图象法求一元二次方程的近似解
例 2 教材例题变式求一元二次方程 x2＋2x－10＝0 的近似解(精确到 0.1)．
【归纳总结】利用二次函数的图象求一元二次方程的近似根的步骤：
(1)将方程转化为函数，即将 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)转化为 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)；
(2)画出函数 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象；
(3)找出二次函数图象与 x 轴交点的横坐标(不是整数的取近似值)，即可得到一元二次方程的
近似根．
目标三 能根据函数值(或取值范围)，求对应的自变量的值(或取值范围)
例 3 教材补充例题二次函数的部分图象如图 1－4－1 所示，回答下列问题：
(1)当 x 取什么值时，y＞0?
(2)当 x 取什么值时，y 随 x 的增大而减小？
(3)当 x 取什么值时，y＜3?
图 1－4－1
【归纳总结】已知函数值(或取值范围)，求对应的自变量的值(或取值范围)：
(1)解决此类题的基本思想：已知函数 y 的值，将二次函数转化为一元二次方程求对应的 x 的
值，将二次函数图象与一元二次方程联系起来．
(2)常见的求自变量取值范围的种类：
抛物线与
直线相交 图象 交点的
横坐标
抛物线 y＝ax2＋bx＋c(其中 a ＞
0)与 x 轴相交
交点的横
坐标分别
为 p，q
当 x＜p
或 x＞q
时，y＞0；
当 p＜x＜
q 时，
y＜03
抛物线 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)与
直线 y＝m 相交
当 x＜p
或 x＞q
时，y＞m；
当 p＜x＜
q 时，y＜m
抛物线 y1＝ax2＋bx＋c(a＞0)与
直线 y2＝kx＋n 相交
当 x＜p
或 x＞q
时，y1＞y2；
当 p＜x＜
q 时，y1＜
y2
知识点一 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交点的横坐标
抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与 x 轴交点的横坐标即为一元二次方程________________的根．
知识点二 二次函数 y＝ax2＋bx＋c 的图象与 x 轴交点的个数与一元二次方程 ax2＋bx＋c
＝0 的根的个数之间的关系
(1)一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个不相等的实数根(即Δ>0)⇔抛物线 y＝ax2＋bx＋c
与 x 轴有__________交点；
(2)一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个相等的实数根(即Δ＝0)⇔抛物线 y＝ax2＋bx＋c 与
x 轴有__________交点；
(3)一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 没有实数根(即Δ0，则纵坐标为正，即抛物线在 x 轴上方，所以当－1
微信/支付宝扫码支付