专题05 极值法-高中物理八大解题方法含解析.doc

由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 高中物理解题方法之极值法 ‎ 江苏省特级教师 戴儒京 高中物理中的极值问题，是物理教学研究中的活跃话题。本文通过例题归纳综合出极值问题的四种主要解法。‎ 一、 二次函数求极值 二次函数，当时，y有极值，若a>0，为极小值，若a2）‎ ‎【解法2】用动能定理解：在物块M下落过程中，设M落地时的速度大小为，根据动能定理，将代入，解得.在物块M落地后，小物块m上滑到顶端的过程中，设m射出管口时速度大小为，根据动能定理： ，解得。‎ ‎ 　　（3）平抛运动，。解得 ‎ 　　因为，所以，得证。‎ ‎ 　　【注意】第（2）问中要分M落地前和落地后两段计算，因为两段的加速度不相等。 在用动能定理时，也要分两个阶段，有的同学企图毕其功于一役，写出动能定理，解得 是错误的，错误的原因在于认为M落地后速度为0，这个速度为0，是M与地面碰撞以后的结果，并不是M下落和m上滑的结果。‎ ‎【点评】本题考查牛顿第二定律，匀加速运动的公式及平抛运动规律。难度：中等偏难。‎ 例4.水上滑梯可简化成如图所示的模型：倾角为θ=37°斜滑道AB和水平滑道BC平滑连接（设经过B点前后速度大小不变），起点A距水面的高度H=‎7.0m，BC长d=‎2.0m，端点C距水面的高度h=‎1.0m．一质量m=‎‎50kg 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 的运动员从滑道起点A无初速地自由滑下，运动员与AB、BC间的动摩擦因数均为μ=0.1．（取重力加速度g=‎10m/s2，sin37°=0.6，cos37°=0.8，运动员在运动过程中可视为质点） （1）求运动员沿AB下滑时加速度的大小a； （2）求运动员从A滑到C的过程中克服摩擦力所做的功W和到达C点时速度的大小； （3）保持水平滑道端点在同一竖直线上，调节水平滑道高度h和长度d到图中B′C′位置时，运动员从滑梯平抛到水面的水平位移最大，求此时滑道B′C′距水面的高度h′．‎ ‎【解析】运动员沿AB下滑时，受力情况如图所示 Ff=μFN=μmgcosθ 根据牛顿第二定律：mgsin-μmgcosθ=ma   得运动员沿AB下滑时加速度的大小为： a=gsinθ-μgcosθ=5.2 m/s2   ‎ （1） 运动员从A滑到C的过程中，克服摩擦力做功为： Wf=μmgcosθ+μmgd=μmg [d+（H-h）cotθ]=×10=500J 由动能定理得：mg（H-h）-Wf= mv2            解得运动员滑到C点时速度的大小  v=‎10m/s       （3）在从C’点滑出至落到水面的过程中，运动员做平抛运动的时间为t， h’= ‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 gt2，t=‎ 下滑过程中克服摩擦做功保持不变Wf=500J 根据动能定理得：mg（H-h’）-Wf= mv’2，解得v’=‎ 运动员在水平方向的位移：x=v’t═=‎ ‎【解法1】配方法：令 ‎ 当h’=═‎3m时，水平位移最大为。‎ ‎【解法2】求导法：令，求导, 当h’=═‎3m时，水平位移最大为。。‎ 答：（1）运动员沿AB下滑时加速度的大小a为‎5.2m/s2； （2）运动员从A滑到C的过程中克服摩擦力所做的功W为500J，到达C点时速度的大小为‎10m/s； （3）滑道B′C′距水面的高度h′为‎3m．‎ ‎【注意】为什么说下滑过程中克服摩擦做功保持不变呢？因为克服摩擦做功Wf=μmgcosθμmgd=μmg[Lcos+d],其大小只与水平方向的总长度有关，而与水平滑道高度h无关。‎ 归纳总结：平抛运动中的极值问题，一般解法如下：‎ 首先根据平抛运动分解的原理列出平抛运动的方程：，，然后根据其它条件结合以上两个公式，把物理问题转化为求极值的数学问题。之后，用数学方法求极值。‎ 方法1：配方法。对形如的二次函数，配方为，则当时，有最小值。‎ 方法2:求导法。对形如的二次函数，求其导数，令其等于0，得当时，代入得的最小值 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎。‎ 最后探究极值的物理意义，把数学问题回归到物理问题。‎ 六、小船渡河问题 位移最小问题。‎ 设河宽为d，小船在静水中的速度为V船，水流速度为V水，小船如何渡河到达对岸的位移最小，最小位移是多少？分两种情况研究：‎ ‎（1）当时 ‎【解析】求位移最小问题。在小船渡河过程中，将船对水的速度沿平行河岸方向和垂直河岸方向正交分解，如图2。当小船沿平行河岸方向的分速度与水速大小相等，方向相反时，即V1=V水，小船的合速度（V2）就沿垂直河岸方向， 这时渡河到达对岸的位移最小，Smin=d。而渡河时间t= =。‎ ‎ 图2‎ ‎ 河宽‎60m,小船在静水中的速度为‎5m/s,水流速度为‎3m/s。求小船渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？‎ ‎ 【解析】如图2，当小船沿平行河岸方向的分速度V1=V水，小船要垂直河岸方向渡河，这时渡河到达对岸的位移最小，Smin=d=60(m)。而V船与河岸的夹角θ=arccos(V水/V船)=530。这时小船实际渡河的时间t=d/V2=d/（V船sinθ）=60/4=15(s).‎ ‎（2）当时，设河宽‎60m,小船在静水中的速度‎3m/s,水流速度‎5m/s。求小船渡河的最小位移是多少，小船实际渡河的时间为多大？‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费 ‎【解析】因为不论船的航向如何，船速在平行河岸方向上的分速度不能把水速平衡掉，所以船总是被水冲向下游，那么怎样才能使漂下的距离最短呢？  如图3所示，设船头v船与河岸成θ角。合速度v与河岸成α角。可以看出：α角越大，船漂下的距离x越短，那么，在什么条件下α角最大呢？以船的出发点A为起点沿河岸做v水的速度矢量，以v水的矢端O为圆心，v船为半径画圆，当v合与圆相切（切点为C）时，α角最大，设船头方向（与OC平行）与河岸的夹角为，则。 ‎ ‎ 图3 ‎ 设船沿河漂下的最短距离为，渡河的最短位移为，根据相似三角形对应边成比例，有。 ‎ 所以， 船沿河漂下的最短距离为，代入数据得， 此时渡河的最短位移： ，代入数据得。‎ （1） 求极值法 根据=，令，求导数，，令其分母为0，得。即时，取最小值。当然（）也取最小值。‎ 由莲山课件提供http://www.5ykj.com/ 资源全部免费