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专题 3.3 二次函数
一、单选题
1．【浙江省湖州市 2018 年中考数学试题】在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 M，N 的坐标分别为（﹣1，
2），（2，1），若抛物线 y=ax2﹣x+2（a≠0）与线段 MN 有两个不同的交点，则 a 的取值范围是（ ）
A． a≤﹣1 或 ≤a＜ B． ≤a＜
C． a≤ 或 a＞ D． a≤﹣1 或 a≥
【答案】A
【解析】分析：根据二次函数的性质分两种情形讨论求解即可；
详解：∵抛物线的解析式为 y=ax2-x+2．
观察图象可知当 a＜0 时，x=-1 时，y≤2 时，满足条件，即 a+3≤2，即 a≤-1；
当 a＞0 时，x=2 时，y≥1，且抛物线与直线 MN 有交点，满足条件，
∴a≥ ，
∵直线 MN 的解析式为 y=- x+ ，
点睛：本题考查二次函数的应用，二次函数的图象上的点的特征等知识，解题的关键是灵活运用所学知识2
解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．
2．【山东省威海市 2018 年中考数学试题】抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）图象如图所示，下列结论错误的是
（ ）
A． abc＜0 B． a+c＜b C． b2+8a＞4ac D． 2a+b＞0
【答案】D
【解析】分析：根据二次函数的图象与系数的关系即可求出答案．
详解：（A）由图象开口可知：a＜0
由对称轴可知： ＞0，
∴b＞0，
∴由抛物线与 y 轴的交点可知：c＞0，
∴abc＜0，故 A 正确；
（B）由图象可知：x=﹣1，y＜0，
∴y=a﹣b+c＜0，
∴a+c＜b，故 B 正确；
（C）由图象可知：顶点的纵坐标大于 2，
∴ ＞2，a＜0，
∴4ac﹣b2＜8a，
∴b2+8a＞4ac，故 C 正确；
（D）对称轴 x= ＜1，a＜0，
∴2a+b＜0，故 D 错误；
故选：D．
点睛：本题考查二次函数的综合问题，解题的关键是正确理解二次函数的图象与系数之间的关系，本题属3
于中等题型．
3．【山东省威海市 2018 年中考数学试题】如图，将一个小球从斜坡的点 O 处抛出，小球的抛出路线可以用
二次函数 y=4x﹣ x2 刻画，斜坡可以用一次函数 y= x 刻画，下列结论错误的是（ ）
A． 当小球抛出高度达到 7.5m 时，小球水平距 O 点水平距离为 3m
B． 小球距 O 点水平距离超过 4 米呈下降趋势
C． 小球落地点距 O 点水平距离为 7 米
D． 斜坡的坡度为 1：2
【答案】A
【解析】分析：求出当 y=7.5 时，x 的值，判定 A；根据二次函数的性质求出对称轴，根据二次函数性质判
断 B；求出抛物线与直线的交点，判断 C，根据直线解析式和坡度的定义判断 D．
∴当 x＞4 时，y 随 x 的增大而减小，即小球距 O 点水平距离超过 4 米呈下降趋势，B 正确，不符合题意；
，4
解得， ， ，
则小球落地点距 O 点水平距离为 7 米，C 正确，不符合题意；
∵斜坡可以用一次函数 y= x 刻画，
∴斜坡的坡度为 1：2，D 正确，不符合题意；
故选：A．
点睛：本题考查的是解直角三角形的﹣坡度问题、二次函数的性质，掌握坡度的概念、二次函数的性质是
解题的关键．
4．【湖北省恩施州 2018 年中考数学试题】抛物线 y=ax2+bx+c 的对称轴为直线 x=﹣1，部分图象如图所示，
下列判断中：
①abc＞0；
②b2﹣4ac＞0；
③9a﹣3b+c=0；
④若点（﹣0.5，y1），（﹣2，y2）均在抛物线上，则 y1＞y2；
⑤5a﹣2b+c＜0．
其中正确的个数有（ ）
A． 2 B． 3 C． 4 D． 5
【答案】B
【解析】分析：根据二次函数的性质一一判断即可．
详解：∵抛物线对称轴 x=-1，经过（1，0），
∴- =-1，a+b+c=0，
∴b=2a，c=-3a，5
∵a＞0，
∴b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①错误，
∵抛物线与 x 轴有交点，
∴b2-4ac＞0，故②正确，
∵抛物线与 x 轴交于（-3，0），
∴9a-3b+c=0，故③正确，
∵点（-0.5，y1），（-2，y2）均在抛物线上，
-1.5＞-2，
则 y1＜y2；故④错误，
∵5a-2b+c=5a-4a-3a=-2a＜0，故⑤正确，
故选：B．
点睛：本题考查二次函数与系数的关系，二次函数图象上上的点的特征，解题的关键是灵活运用所学知识
解决问题，属于中考常考题型．
5．【台湾省 2018 年中考数学试卷】已知坐标平面上有一直线 L，其方程式为 y+2=0，且 L 与二次函数 y=3x2+a
的图形相交于 A，B 两点：与二次函数 y=﹣2x2+b 的图形相交于 C，D 两点，其中 a、b 为整数．若 AB=2，
CD=4．则 a+b 之值为何？（ ）
A． 1 B． 9 C． 16 D． 24
【答案】A
【解析】分析：判断出 A、C 两点坐标，利用待定系数法求出 a、b 即可；
详解：如图，
由题意知：A（1，﹣2），C（2，﹣2），
分别代入 y=3x2+a，y=﹣2x2+b 可得 a=﹣5，b=6，6
∴a+b=1，
故选：A．
点睛：本题考查二次函数图形上点的坐标特征，待定系数法等知识，解题的关键是理解题意，判断出 A、C
两点坐标是解决问题的关键．
6．【湖北省襄阳市 2018 年中考数学试卷】已知二次函数 y=x2﹣x+ m﹣1 的图象与 x 轴有交点，则 m 的取值
范围是（ ）
A． m≤5 B． m≥2 C． m＜5 D． m＞2
【答案】A
【点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点，能根据题意得出关于 m 的不等式是解此题的关键．
二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴的交点个数与△=b2-4ac 的关系，
△>0 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴有 2 个交点；
△=0 抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与 x 轴有 1 个交点；
△0，
∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a），
∴﹣ =﹣2， =﹣9a，
∴b=4a，c=-5a，
∴抛物线的解析式为 y=ax2+4ax﹣5a，
∴4a+2b+c=4a+8a﹣5a=7a＞0，故①正确，
5a﹣b+c=5a﹣4a﹣5a=﹣4a＜0，故②错误，
∵抛物线 y=ax2+4ax﹣5a 交 x 轴于（﹣5，0），（1，0），
∴若方程 a（x+5）（x﹣1）=﹣1有两个根 x1 和 x2，且 x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1，正确，故③正确，
若方程|ax2+bx+c|=1 有四个根，则这四个根的和为﹣8，故④错误，
故选 B．
【点睛】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上的点的特征、抛物线与坐标轴的交点问题等知识，根
据顶点坐标确定出抛物线的解析式为 y=ax2+4ax﹣5a 是解题的关键.
11．【广西钦州市 2018 年中考数学试卷】将抛物线 y= x2﹣6x+21 向左平移 2 个单位后，得到新抛物线的解
析式为（ ）
A． y= （x﹣8）2+5 B． y= （x﹣4）2+5 C． y= （x﹣8）2+3 D． y= （x﹣4）2+3
【答案】D
【解析】【分析】直接利用配方法将原式变形，进而利用平移规律得出答案．11
【详解】y= x2﹣6x+21
= （x2﹣12x）+21
= [（x﹣6）2﹣36]+21
= （x﹣6）2+3，
故 y= （x﹣6）2+3，向左平移 2 个单位后，
得到新抛物线的解析式为：y= （x﹣4）2+3．
故选 D．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，熟记函数图象平移的规律并正确配方将原式变形是解题关
键．
12．【河北省 2018 年中考数学试卷】对于题目“一段抛物线 L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线 l：y=x+2
有唯一公共点，若 c 为整数，确定所有 c 的值，”甲的结果是 c=1，乙的结果是 c=3 或 4，则（ ）
A． 甲的结果正确
B． 乙的结果正确
C． 甲、乙的结果合在一起才正确
D． 甲、乙的结果合在一起也不正确
【答案】A
【解析】【分析】两函数组成一个方程组，得出一个方程，根据题可知方程中的△=﹣4+4c=0，求出即可．
【详解】把 y=x+2 代入 y=﹣x（x﹣3）+c 得：x+2=﹣x（x﹣3）+c，
即 x2﹣2x+2﹣c=0，
∵一段抛物线 L：y=﹣x（x﹣3）+c（0≤x≤3）与直线 l：y=x+2 有唯一公共点，
所以△=（﹣2）2﹣4×1×（2﹣c）=﹣4+4c=0，
解得：c=1，
所以甲的结果正确，乙的结果成为，
故选 A．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的
判别式等知识点，能得出一个关于 x 的一元二次方程是解此题的关键．
13．【山东省东营市 2018 年中考数学试题】如图所示，已知△ABC 中，BC=12，BC 边上的高 h=6，D 为 BC 上
一点，EF∥BC，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，设点 E 到边 BC 的距离为 x．则△DEF 的面积 y 关于 x 的函数图12
象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
所以根据相似比可知： ，即 EF=2（6-x）
所以 y= ×2（6-x）x=-x2+6x．（0＜x＜6）
该函数图象是抛物线的一部分，
故选：D．
点睛：此题考查根据几何图形的性质确定函数的图象和函数图象的读图能力．要能根据几何图形和图形上
的数据分析得出所对应的函数的类型和所需要的条件，结合实际意义画出正确的图象．
二、填空题
14．【江苏省淮安市 2018 年中考数学试题】将二次函数 y=x2﹣1 的图象向上平移 3 个单位长度，得到的图象
所对应的函数表达式是_____．
【答案】y=x2+2
【解析】分析：先确定二次函数 y=x2﹣1 的顶点坐标为（0，﹣1），再根据点平移的规律得到点（0，﹣1）
平移后所得对应点的坐标为（0，2），然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．13
详解：二次函数 y=x2﹣1 的顶点坐标为（0，﹣1），把点（0，﹣1）向上平移 3 个单位长度所得对应点的坐
标为（0，2），所以平移后的抛物线解析式为 y=x2+2．
故答案为：y=x2+2．
点睛：本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求平移后的
抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解
析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．
15．【山东省淄博市 2018 年中考数学试题】已知抛物线 y=x2+2x﹣3 与 x 轴交于 A，B 两点（点 A 在点 B 的左
侧），将这条抛物线向右平移 m（m＞0）个单位长度，平移后的抛物线与 x 轴交于 C，D 两点（点 C 在点 D 的
左侧），若 B，C 是线段 AD 的三等分点，则 m 的值为__________．
【答案】2
【解析】分析：先根据三等分点的定义得：AC=BC=BD，由平移 m 个单位可知：AC=BD=m，计算点 A 和 B 的坐
标可得 AB 的长，从而得结论．
详解：如图，∵B，C 是线段 AD 的三等分点，
∴AC=BC=BD，
由题意得：AC=BD=m，
当 y=0 时，x2+2x﹣3=0，
（x﹣1）（x+3）=0，
x1=1，x2=﹣3，
∴A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=3+1=4，
∴AC=BC=2，
∴m=2，
故答案为：2．
点睛：本题考查了抛物线与 x 轴的交点问题、抛物线的平移及解一元二次方程的问题，利用数形结合的思14
想和三等分点的定义解决问题是关键．
16．【湖北省孝感市 2018 年中考数学试题】如图，抛物线 与直线 的两个交点坐标分别为
， ，则方程 的解是__________．
【答案】 ，
【解析】分析：根据二次函数图象与一次函数图象的交点问题得到方程组 的解为
， ，于是易得关于 x 的方程 ax2-bx-c=0 的解．
详解：∵抛物线 y=ax2 与直线 y=bx+c 的两个交点坐标分别为 A（-2，4），B（1，1），
∴方程组 的解为 ， ，
即关于 x 的方程 ax2-bx-c=0 的解为 x1=-2，x2=1．
所以方程 ax2=bx+c 的解是 x1=-2，x2=1，
故答案为 x1=-2，x2=1．
点睛：本题考查抛物线与 x 轴交点、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是灵活运用所学
知识，学会利用图象法解决实际问题
17．【黑龙江省哈尔滨市 2018 年中考数学试题】抛物线 y=2（x+2）2+4 的顶点坐标为_____．
【答案】（﹣2，4）．
【解析】分析：根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．
详解：∵y=2（x+2）2+4，
∴该抛物线的顶点坐标是（-2，4），
故答案为：（-2，4）．
点睛：本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．
18．【吉林省长春市 2018 年中考数学试卷】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=x2+mx 交 x 轴的负半轴于
点 A．点 B 是 y 轴正半轴上一点，点 A 关于点 B 的对称点 A′恰好落在抛物线上．过点 A′作 x 轴的平行线15
交抛物线于另一点 C．若点 A′的横坐标为 1，则 A′C 的长为_____．
【答案】3
【详解】当 y=0 时，x2+mx=0，解得 x1=0，x2=﹣m，则 A（﹣m，0），
∵点 A 关于点 B 的对称点为 A′，点 A′的横坐标为 1，
∴点 A 的坐标为（﹣1，0），
∴抛物线解析式为 y=x2+x，
当 x=1 时，y=x2+x=2，则 A′（1，2），
当 y=2 时，x2+x=2，解得 x1=﹣2，x2=1，则 C（﹣2，1），
∴A′C 的长为 1﹣（﹣2）=3，
故答案为：3．
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、坐标平面内关于某点对称的两点间坐标的关系以及抛
物线与 x 轴的交点，解题的关键是把求二次函数 y=ax2+bx+c（a，b，c 是常数，a≠0）与 x 轴的交点坐标问
题转化为解关于 x 的一元二次方程．
19．【贵州省（黔东南，黔南，黔西南）2018 年中考数学试题】已知：二次函数 y=ax2+bx+c 图象上部分点
的横坐标 x 与纵坐标 y 的对应值如表格所示，那么它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是_____．
x … ﹣1 0 1 2 …
y … 0 3 4 3 …
【答案】（3，0）．
【解析】分析：根据（0，3）、（2，3）两点求得对称轴，再利用对称性解答即可．
详解：∵抛物线 y=ax2+bx+c 经过（0，3）、（2，3）两点，16
∴对称轴 x= =1；
点（﹣1，0）关于对称轴对称点为（3，0），
因此它的图象与 x 轴的另一个交点坐标是（3，0）．
故答案为：（3，0）．
点睛：本题考查了抛物线与 x 轴的交点，关键是熟练掌握二次函数的对称性．
20．【新疆自治区 2018 年中考数学试题】如图，已知抛物线 y1=﹣x2+4x 和直线 y2=2x．我们规定：当 x 取任
意一个值时，x 对应的函数值分别为 y1 和 y2，若 y1≠y2，取 y1 和 y2 中较小值为 M；若 y1=y2，记 M=y1=y2．①
当 x＞2 时，M=y2；②当 x＜0 时，M 随 x 的增大而增大；③使得 M 大于 4 的 x 的值不存在；④若 M=2，则
x=1．上述结论正确的是_____（填写所有正确结论的序号）．
【答案】②③
【解析】分析：①观察函数图象，可知：当 x＞2 时，抛物线 y1=-x2+4x 在直线 y2=2x 的下方，进而可得出
当 x＞2 时，M=y1，结论①错误；
②观察函数图象，可知：当 x＜0 时，抛物线 y1=-x2+4x 在直线 y2=2x 的下方，进而可得出当 x＜0 时，M=y1，
再利用二次函数的性质可得出 M 随 x 的增大而增大，结论②正确；
③利用配方法可找出抛物线 y1=-x2+4x 的最大值，由此可得出：使得 M 大于 4 的 x 的值不存在，结论③正确；
④利用一次函数图象上点的坐标特征及二次函数图象上点的坐标特征求出当 M=2 时的 x 值，由此可得出：
若 M=2，则 x=1 或 2+ ，结论④错误．
此题得解．
详解：①当 x＞2 时，抛物线 y1=-x2+4x 在直线 y2=2x 的下方，
∴当 x＞2 时，M=y1，结论①错误；
②当 x＜0 时，抛物线 y1=-x2+4x 在直线 y2=2x 的下方，
∴当 x＜0 时，M=y1，
∴M 随 x 的增大而增大，结论②正确；
③∵y1=-x2+4x=-（x-2）2+4，17
∴M 的最大值为 4，
∴使得 M 大于 4 的 x 的值不存在，结论③正确；
④当 M=y1=2 时，有-x2+4x=2，
解得：x1=2- （舍去），x2=2+ ；
当 M=y2=2 时，有 2x=2，
解得：x=1．
∴若 M=2，则 x=1 或 2+ ，结论④错误．
综上所述：正确的结论有②③．
故答案为：②③．
点睛：本题考查了一次函数的性质、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征以及二次函数图象上
点的坐标特征，逐一分析四条结论的正误是解题的关键．
21．【湖北省武汉市 2018 年中考数学试卷】飞机着陆后滑行的距离 y（单位：m）关于滑行时间 t（单位：
s）的函数解析式是 y=60t﹣ ．在飞机着陆滑行中，最后 4s 滑行的距离是_____m．
【答案】216
【解析】
【分析】先利用二次函数的性质求出飞机滑行 20s 停止，此时滑行距离为 600m，然后再将 t=20-4=16 代入
求得 16s 时滑行的距离，即可求出最后 4s 滑行的距离.
【详解】y=60t﹣ = (t-20)2+600，即飞机着陆后滑行 20s 时停止，滑行距离为 600m，
当 t=20-4=16 时，y=576，
600-576=24，
即最后 4s 滑行的距离是 24m，
故答案为：24.
【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，熟练应用二次函数的性质解决问题.
22．【浙江省湖州市 2018 年中考数学试题】如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 y=ax2+bx（a＞0）
的顶点为 C，与 x 轴的正半轴交于点 A，它的对称轴与抛物线 y=ax2（a＞0）交于点 B．若四边形 ABOC 是正
方形，则 b 的值是_____．18
【答案】﹣2
点睛：本题考查了抛物线与 x 轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质，利用正方形的性
质结合二次函数图象上点的坐标特征，找出关于 b 的方程是解题的关键．
三、解答题
23．【浙江省宁波市 2018 年中考数学试卷】已知抛物线 经过点 ，
求该抛物线的函数表达式；
将抛物线 平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达
式．
【答案】 抛物线解析式为 ； 具体见解析.
【解析】【分析】 把已知点的坐标代入抛物线解析式求出 b 与 c 的值即可；
指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．19
【详解】 把 ， 代入抛物线解析式得： ，
解得： ，
则抛物线解析式为 ；
抛物线解析式为 ，
将抛物线向右平移一个单位，向下平移 2 个单位，解析式变为 ．
【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，以及待
定系数法求二次函数解析式，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
24．【江苏省徐州巿 2018 年中考数学试卷】已知二次函数的图象以 A（﹣1，4）为顶点，且过点 B（2，
﹣5）
（1）求该函数的关系式；
（2）求该函数图象与坐标轴的交点坐标；
（3）将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A、B 两点随图象移至 A′、B′，求△O A′B′的面
积．
【答案】（1）y=﹣x2﹣2x+3；（2）抛物线与 x 轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）（3）15.
【解析】【分析】（1）已知了抛物线的顶点坐标，可用顶点式设该二次函数的解析式，然后将 B 点坐标代入，
即可求出二次函数的解析式；
（2）根据函数解析式，令 x=0，可求得抛物线与 y 轴的交点坐标；令 y=0，可求得抛物线与 x 轴交点坐标；
（3）由（2）可知：抛物线与 x 轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与 x 轴负半轴的交点平移
到原点时，抛物线平移的单位，由此可求出 A′、B′的坐标．由于△OA′B′不规则，可用面积割补法求出
△OA′B′的面积．
【详解】（1）设抛物线顶点式 y=a（x+1）2+4，
将 B（2，﹣5）代入得：a=﹣1，
∴该函数的解析式为：y=﹣（x+1）2+4=﹣x2﹣2x+3；
（2）令 x=0，得 y=3，因此抛物线与 y 轴的交点为：（0，3），
令 y=0，﹣x2﹣2x+3=0，解得：x1=﹣3，x2=1，
即抛物线与 x 轴的交点为：（﹣3，0），（1，0）；20
（3）设抛物线与 x 轴的交点为 M、N（M 在 N 的左侧），
由（2）知：M（﹣3，0），N（1，0），
当函数图象向右平移经过原点时，M 与 O 重合，因此抛物线向右平移了 3 个单位，
故 A'（2，4），B'（5，﹣5），
∴S△OA′B′= ×（2+5）×9﹣ ×2×4﹣ ×5×5=15．
【点睛】本题考查了用待定系数法求抛物线解析式、函数图象与坐标轴交点、图形面积的求法等知识．熟
练掌握待定系数法、函数图象与坐标轴的交点的求解方法、不规则图形的面积的求解方法等是解题的关键.
25．【河北省 2018 年中考数学试卷】如图是轮滑场地的截面示意图，平台 AB 距 x 轴（水平）18 米，与 y 轴
交于点 B，与滑道 y= （x≥1）交于点 A，且 AB=1 米．运动员（看成点）在 BA 方向获得速度 v 米/秒后，
从 A 处向右下飞向滑道，点 M 是下落路线的某位置．忽略空气阻力，实验表明：M，A 的竖直距离 h（米）
与飞出时间 t（秒）的平方成正比，且 t=1 时 h=5，M，A 的水平距离是 vt 米．
（1）求 k，并用 t 表示 h；
（2）设 v=5．用 t 表示点 M 的横坐标 x 和纵坐标 y，并求 y 与 x 的关系式（不写 x 的取值范围），及 y=13
时运动员与正下方滑道的竖直距离；
（3）若运动员甲、乙同时从 A 处飞出，速度分别是 5 米/秒、v 乙米/秒．当甲距 x 轴 1.8 米，且乙位于甲右
侧超过 4.5 米的位置时，直接写出 t 的值及 v 乙的范围．21
【答案】（1）k=18，h=5t2；（2）x=5t+1，y=﹣5t2+18，y= ，当 y=13 时，运动员在与正下方
滑道的竖直距离是 10 米；（3）t=1.8，v 乙＞7.5
【解析】【分析】（1）用待定系数法解题即可；
（2）根据题意，分别用 t 表示 x、y，再用代入消元法得出 y 与 x 之间的关系式；
（3）求出甲距 x 轴 1.8 米时的横坐标，根据题意求出乙位于甲右侧超过 4.5 米的 v 乙．
（2）∵v=5，AB=1，
∴x=5t+1，
∵h=5t2，OB=18，
∴y=﹣5t2+18，
由 x=5t+1，
则 t= （x-1），
∴y=﹣ （x-1）2+18= ，
当 y=13 时，13=﹣ （x-1）2+18，
解得 x=6 或﹣4，
∵x≥1，
∴x=6，
把 x=6 代入 y= ，
y=3，
∴运动员在与正下方滑道的竖直距离是 13﹣3=10（米）；
（3）把 y=1.8 代入 y=﹣5t2+18
得 t2= ，22
解得 t=1.8 或﹣1.8（负值舍去）
∴x=10
∴甲坐标为（10，1.8）恰号落在滑道 y= 上，
此时，乙的坐标为（1+1.8v 乙，1.8），
由题意：1+1.8v 乙﹣（1+5×1.8）＞4.5，
∴v 乙＞7.5.
【点睛】本题考查了二次函数的应用，反比例函数的应用，综合性较强，有一定的难度，读懂题意，正确
应用反比例函数和二次函数的知识解决问题是关键.本题也考查了函数图象上的临界点问题．
26．【湖北省荆门市 2018 年中考数学试卷】随着龙虾节的火热举办，某龙虾养殖大户为了发挥技术优势，
一次性收购了 10000kg 小龙虾，计划养殖一段时间后再出售．已知每天养殖龙虾的成本相同，放养 10 天的
总成本为 166000，放养 30 天的总成本为 178000 元．设这批小龙虾放养 t 天后的质量为 akg，销售单价为 y
元/kg，根据往年的行情预测，a 与 t 的函数关系为 a= ，y 与 t 的函数关系如图所
示．
（1）设每天的养殖成本为 m 元，收购成本为 n 元，求 m 与 n 的值；
（2）求 y 与 t 的函数关系式；
（3）如果将这批小龙虾放养 t 天后一次性出售所得利润为 W 元．问该龙虾养殖大户将这批小龙虾放养多少
天后一次性出售所得利润最大？最大利润是多少？
（总成本=放养总费用+收购成本；利润=销售总额﹣总成本）
【答案】（1）m=600，n=160000；（2） ；（3）该龙虾养殖大户将这批小龙虾放
养 25 天后一次性出售所得利润最大，最大利润是 108500 元.
【解析】【分析】（1）根据题意列出方程组，求出方程组的解得到 m 与 n 的值即可；
（2）根据图象，分类讨论利用待定系数法求出 y 与 P 的解析式即可；23
（3）根据 W=ya﹣mt﹣n，表示出 W 与 t 的函数解析式，利用一次函数与二次函数的性质求出所求即可．
【详解】（1）依题意得 ，
解得： ；
（2）当 0≤t≤20 时，设 y=k1t+b1，
由图象得： ，
解得：
∴y= t+16；
当 20＜t≤50 时，设 y=k2t+b2，
由图象得： ，
解得： ，
∴y=﹣ t+32，
综上， ；
（3）W=ya﹣mt﹣n，
当 0≤t≤20 时，W=10000（ t+16）﹣600t﹣160000=5400t，
∵5400＞0，
∴当 t=20 时，W 最大=5400×20=108000，
当 20 ＜ t≤50 时 ， W= （ ﹣ t+32 ）（ 100t+8000 ） ﹣600t﹣160000=﹣20t2+1000t+96000=﹣20 （ t﹣25 ）
2+108500，
∵﹣20＜0，抛物线开口向下，
∴当 t=25，W 最大=108500，
∵108500＞108000，
∴当 t=25 时，W 取得最大值，该最大值为 108500 元．
【点睛】本题考查了二次函数的应用，具体考查了待定系数法确定函数解析式，利用二次函数的性质确定24
最值，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．
27．【四川省达州市 2018 年中考数学试题】 “绿水青山就是金山银山”的理念已融入人们的日常生活中，
因此，越来越多的人喜欢骑自行车出行．某自行车店在销售某型号自行车时，以高出进价的 50%标价．已知
按标价九折销售该型号自行车 8 辆与将标价直降 100 元销售 7 辆获利相同．
（1）求该型号自行车的进价和标价分别是多少元？
（2）若该型号自行车的进价不变，按（1）中的标价出售，该店平均每月可售出 51 辆；若每辆自行车每降
价 20 元，每月可多售出 3 辆，求该型号自行车降价多少元时，每月获利最大？最大利润是多少？
【答案】（1）进价为 1000 元，标价为 1500 元；（2）该型号自行车降价 80 元出售每月获利最大，最大利
润是 26460 元．
详解：（1）设进价为 x 元，则标价是 1.5x 元，由题意得：
1.5x×0.9×8-8x=（1.5x-100）×7-7x，
解得：x=1000，
1.5×1000=1500（元），
答：进价为 1000 元，标价为 1500 元；
（2）设该型号自行车降价 a 元，利润为 w 元，由题意得：
w=（51+ ×3）（1500-1000-a），
=- （a-80）2+26460，
∵- ＜0，
∴当 a=80 时，w 最大=26460，
答：该型号自行车降价 80 元出售每月获利最大，最大利润是 26460 元．
点睛：此题主要考查了二次函数的应用，以及元一次方程的应用，关键是正确理解题意，根据已知得出 w
与 a 的关系式，进而求出最值．
28．【湖北省随州市 2018 年中考数学试卷】为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”，某工厂接到一批纪念品生25
产订单，按要求在 15 天内完成，约定这批纪念品的出厂价为每件 20 元，设第 x 天（1≤x≤15，且 x 为整
数）每件产品的成本是 p 元，p 与 x 之间符合一次函数关系，部分数据如表：
天数（x） 1 3 6 10
每件成本 p（元） 7.5 8.5 10 12
任务完成后，统计发现工人李师傅第 x 天生产的产品件数 y（件）与 x（天）满足如下关系：y=
，
设李师傅第 x 天创造的产品利润为 W 元．
（1）直接写出 p 与 x，W 与 x 之间的函数关系式，并注明自变量 x 的取值范围：
（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？
（3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为 299 元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工
人某天创造的利润超过该平均值，则该工人当天可获得 20 元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？
【答案】（1）W= ；（2）李师傅第 8 天创造的利润最大，最大利
润是 324 元；（3）李师傅共可获得 160 元奖金．
【解析】【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得 p 与 x，W 与 x 之间的函数关系式，并注明自变量 x
的取值范围：
（2）根据题意和题目中的函数表达式可以解答本题；
（3）根据（2）中的结果和不等式的性质可以解答本题．
【详解】（1）设 p 与 x 之间的函数关系式为 p=kx+b，则有
，解得， ，
即 p 与 x 的函数关系式为 p=0.5x+7（1≤x≤15，x 为整数），
当 1≤x＜10 时，
W=[20﹣（0.5x+7）]（2x+20）=﹣x2+16x+260，
当 10≤x≤15 时，
W=[20﹣（0.5x+7）]×40=﹣20x+520，
即 W= ；
（2）当 1≤x＜10 时，
W=﹣x2+16x+260=﹣（x﹣8）2+324，26
∴当 x=8 时，W 取得最大值，此时 W=324，
当 10≤x≤15 时，
W=﹣20x+520，
∴当 x=10 时，W 取得最大值，此时 W=320，
∵324＞320，
∴李师傅第 8 天创造的利润最大，最大利润是 324 元；
（3）当 1≤x＜10 时，
令﹣x2+16x+260=299，得 x1=3，x2=13，
当 W＞299 时，3＜x＜13，
∵1≤x＜10，
∴3＜x＜10，
当 10≤x≤15 时，
令 W=﹣20x+520＞299，得 x＜11.05，
∴10≤x≤11，
由上可得，李师傅获得奖金的月份是 4 月到 11 月，李师傅共获得奖金为：20×（11﹣3）=160（元），
即李师傅共可获得 160 元奖金．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用等，明确题意，找出各个量之间的关系，确立函数
解析式，利用函数的性质进行解答是关键.
29．【江苏省无锡市 2018 年中考数学试题】一水果店是 A 酒店某种水果的唯一供货商，水果店根据该酒店
以往每月的需求情况，本月初专门为他们准备了 2600kg 的这种水果．已知水果店每售出 1kg 该水果可获利
润 10 元，未售出的部分每 1kg 将亏损 6 元，以 x（单位：kg，2000≤x≤3000）表示 A 酒店本月对这种水果
的需求量，y（元）表示水果店销售这批水果所获得的利润．
（1）求 y 关于 x 的函数表达式；
（2）问：当 A 酒店本月对这种水果的需求量如何时，该水果店销售这批水果所获的利润不少于 22000 元？
【答案】（1）当 2 000≤x≤2 600 时，y=16x﹣15600；当 2 600＜x≤3 000 时，y=26000；
（2）当 A 酒店本月对这种水果的需求量小于等于 3000，不少于 2350kg 时，该水果店销售这批水果所获的
利润不少于 22000 元．27
（2）由题意得：
16x-15600≥22000
解得：x≥2350
∴当 A 酒店本月对这种水果的需求量小于等于 3000，不少于 2350kg 时，该水果店销售这批水果所获的利润
不少于 22000 元．
点睛：本题考查一次函数和一元一次不等式，求函数关系式和列不等式时，要注意理解题意．
30．【贵州省（黔东南，黔南，黔西南）2018 年中考数学试题】某种蔬菜的销售单价 y1 与销售月份 x 之间
的关系如图 1 所示，成本 y2 与销售月份 x 之间的关系如图 2 所示（图 1 的图象是线段，图 2 的图象是抛物
线）
（1）已知 6 月份这种蔬菜的成本最低，此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）
（2）哪个月出售这种蔬菜，每千克的收益最大？简单说明理由．
（3）已知市场部销售该种蔬菜 4、5 两个月的总收益为 22 万元，且 5 月份的销售量比 4 月份的销售量多 2
万千克，求 4、5 两个月的销售量分别是多少万千克？
【答案】（1）6 月份出售这种蔬菜每千克的收益是 2 元．（2）5 月份出售这种蔬菜，每千克的收益最
大．（3）4 月份的销售量为 4 万千克，5 月份的销售量为 6 万千克．
【解析】分析：（1）找出当 x=6 时，y1、y2 的值，二者作差即可得出结论；
（2）观察图象找出点的坐标，利用待定系数法即可求出 y1、y2 关于 x 的函数关系式，二者作差后利用二次
函数的性质即可解决最值问题；
（3）求出当 x=4 时，y1﹣y2 的值，设 4 月份的销售量为 t 万千克，则 5 月份的销售量为（t+2）万千克，根28
据总利润=每千克利润×销售数量，即可得出关于 t 的一元一次方程，解之即可得出结论．
详解：（1）当 x=6 时，y1=3，y2=1，
∵y1﹣y2=3﹣1=2，
∴6 月份出售这种蔬菜每千克的收益是 2 元．
（2）设 y1=mx+n，y2=a（x﹣6）2+1．
将（3，5）、（6，3）代入 y1=mx+n，
，解得： ，
∴y1=﹣ x+7；
将（3，4）代入 y2=a（x﹣6）2+1，
4=a（3﹣6）2+1，解得：a= ，
∴y2= （x﹣6）2+1= x2﹣4x+13．
∴y1﹣y2=﹣ x+7﹣（ x2﹣4x+13）=﹣ x2+ x﹣6=﹣ （x﹣5）2+ ．
∵﹣ ＜0，
∴当 x=5 时，y1﹣y2 取最大值，最大值为 ，
即 5 月份出售这种蔬菜，每千克的收益最大．
（3）当 t=4 时，y1﹣y2=﹣ x2+ x﹣6=2．
设 4 月份的销售量为 t 万千克，则 5 月份的销售量为（t+2）万千克，
根据题意得：2t+ （t+2）=22，
解得：t=4，
∴t+2=6．
答：4 月份的销售量为 4 万千克，5 月份的销售量为 6 万千克．
点睛：本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质以及一元一次方程的应用，解
题的关键是：（1）观察函数图象，找出当 x=6 时 y1﹣y2 的值；（2）根据点的坐标，利用待定系数法求出
y1、y2 关于 x 的函数关系式；（3）找准等量关系，正确列出一元一次方程．
31．【湖北省襄阳市 2018 年中考数学试卷】襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位
的帮扶下，把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓，今年正式上市销售．在销售的 30 天中，第一天卖出 2029
千克，为了扩大销量，采取了降价措施，以后每天比前一天多卖出 4 千克．第 x 天的售价为 y 元/千克，y
关于 x 的函数解析式为 且第 12 天的售价为 32 元/千克，第 26 天的售价为
25 元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是 18 元/千克，每天的利润是 W 元（利润=销售收入﹣成本）．
（1）m= ，n= ；
（2）求销售蓝莓第几天时，当天的利润最大？最大利润是多少？
（3）在销售蓝莓的 30 天中，当天利润不低于 870 元的共有多少天？
【答案】（1）m=﹣ ，n=25；（2）18，W 最大=968；（3）12 天.
【解析】【分析】（1）根据题意将第 12 天的售价、第 26 天的售价代入即可得；
（2）在（1）的基础上分段表示利润，讨论最值；
（3）分别在（2）中的两个函数取值范围内讨论利润不低于 870 的天数，注意天数为正整数．
【详解】（1）当第 12 天的售价为 32 元/件，代入 y=mx﹣76m 得
32=12m﹣76m，
解得 m= ，
当第 26 天的售价为 25 元/千克时，代入 y=n，
则 n=25，
故答案为：m= ，n=25；
（3）当 1≤x＜20 时，令﹣2x2+72x+320=870，
解得 x1=25，x2=11，30
∵抛物线 W=﹣2x2+72x+320 的开口向下，
∴11≤x≤25 时，W≥870，
∴11≤x＜20，
∵x 为正整数，
∴有 9 天利润不低于 870 元，
当 20≤x≤30 时，令 28x+112≥870，
解得 x≥27 ，
∴27 ≤x≤30
∵x 为正整数，
∴有 3 天利润不低于 870 元，
∴综上所述，当天利润不低于 870 元的天数共有 12 天．
【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，弄清题意，找准题中的数量关系，运用分类讨论
思想是解题的关键.
32．【湖南省怀化市 2018 年中考数学试题】如图，在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+2x+c 与 x 轴交于 A
（﹣1，0）B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是该抛物线的顶点．
（1）求抛物线的解析式和直线 AC 的解析式；
（2）请在 y 轴上找一点 M，使△BDM 的周长最小，求出点 M 的坐标；
（3）试探究：在拋物线上是否存在点 P，使以点 A，P，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若
存在，请求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为 y=﹣x2+2x+3；直线 AC 的解析式为 y=3x+3；（2）点 M 的坐标为（0，3）；
（3）符合条件的点 P 的坐标为（ ， ）或（ ，﹣ ），
【解析】分析：（1）设交点式 y=a（x+1）（x-3），展开得到-2a=2，然后求出 a 即可得到抛物线解析式；再
确定 C（0，3），然后利用待定系数法求直线 AC 的解析式；31
（2）利用二次函数的性质确定 D 的坐标为（1，4），作 B 点关于 y 轴的对称点 B′，连接 DB′交 y 轴于 M，
如图 1，则 B′（-3，0），利用两点之间线段最短可判断此时 MB+MD 的值最小，则此时△BDM 的周长最小，
然后求出直线 DB′的解析式即可得到点 M 的坐标；
（3）过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P，如图 2，利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线 PC
的 解 析 式 为 y=- x+b ， 把 C 点 坐 标 代 入 求 出 b 得 到 直 线 PC 的 解 析 式 为 y=- x+3 ， 再 解 方 程 组
得此时 P 点坐标；当过点 A 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P 时，利用同样的方法可求出
此时 P 点坐标．
详解：（1）设抛物线解析式为 y=a（x+1）（x﹣3），
即 y=ax2﹣2ax﹣3a，
∴﹣2a=2，解得 a=﹣1，
∴抛物线解析式为 y=﹣x2+2x+3；
当 x=0 时，y=﹣x2+2x+3=3，则 C（0，3），
设直线 AC 的解析式为 y=px+q，
把 A（﹣1，0），C（0，3）代入得 ，解得 ，
∴直线 AC 的解析式为 y=3x+3；
（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
∴顶点 D 的坐标为（1，4），
作 B 点关于 y 轴的对称点 B′，连接 DB′交 y 轴于 M，如图 1，则 B′（﹣3，0），
∵MB=MB′，
∴MB+MD=MB′+MD=DB′，此时 MB+MD 的值最小，
而 BD 的值不变，
∴此时△BDM 的周长最小，32
易得直线 DB′的解析式为 y=x+3，
当 x=0 时，y=x+3=3，
∴点 M 的坐标为（0，3）；
（3）存在．
过点 C 作 AC 的垂线交抛物线于另一点 P，如图 2，
∵直线 AC 的解析式为 y=3x+3，
∴直线 PC 的解析式可设为 y=﹣ x+b，
把 C（0，3）代入得 b=3，
∴直线 PC 的解析式为 y=﹣ x+3，
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用
待定系数法求函数解析式，理解两直线垂直时一次项系数的关系，通过解方程组求把两函数的交点坐标；
理解坐标与图形性质，会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问
题．33
33．【湖南省湘西州 2018 年中考数学试卷】如图 1，经过原点 O 的抛物线 y=ax2+bx（a、b 为常数，a≠0）
与 x 轴相交于另一点 A（3，0）．直线 l：y=x 在第一象限内和此抛物线相交于点 B（5，t），与抛物线的对
称轴相交于点 C．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在 x 轴上找一点 P，使以点 P、O、C 为顶点的三角形与以点 A、O、B 为顶点的三角形相似，求满足条
件的点 P 的坐标；
（3）直线 l 沿着 x 轴向右平移得到直线 l′，l′与线段 OA 相交于点 M，与 x 轴下方的抛物线相交于点 N，
过点 N 作 NE⊥x 轴于点 E．把△MEN 沿直线 l′折叠，当点 E 恰好落在抛物线上时（图 2），求直线 l′的解
析式；
（4）在（3）问的条件下（图 3），直线 l′与 y 轴相交于点 K，把△MOK 绕点 O 顺时针旋转 90°得到
△M′OK′，点 F 为直线 l′上的动点．当△M'FK′为等腰三角形时，求满足条件的点 F 的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为：y= ；（2）点 P 坐标为（5，0）或（ ，0）（3）y=x﹣2；（4）F
坐标为（1，0）或（﹣1，﹣2）.
【解析】【分析】（1）应用待定系数法进行求解即可得；
（2）分两种情况△OBA∽△OCP、△OBA∽△OPC 分别讨论进行求解即可；
（3）由已知直线 l′与 x 轴所夹锐角为 45°，△EMN 为等腰直角三角形，当沿直线 l′折叠时，四边形
ENE′M 为正方形，表示点 N、E′坐标带入抛物线解析式，可解；
（4）由（3）图形旋转可知，M′K′⊥直线 l′，△M'FK′只能为等腰直角三角形，则分类讨论可求解．
【详解】（1）由已知点 B 坐标为（5，5）
把点 B（5，5），A（3，0）代入 y=ax2+bx，得34
，解得： ，
∴抛物线的解析式为：y= ；
（2）由（1）抛物线对称轴为直线 x= ，则点 C 坐标为（ ， ），
∴OC= ，OB=5 ，
当△OBA∽△OCP 时， ，∴ ，∴OP= ，
当△OBA∽△OPC 时， ，∴ ，∴OP=5，
∴点 P 坐标为（5，0）或（ ，0）；
（3）设点 N 坐标为（a，b），直线l′解析式为：y=x+c，
∵直线 l′y=x+c 与 x 轴夹角为 45°，
∴△MEN 为等腰直角三角形，
当把△MEN 沿直线 l′折叠时，四边形 ENE′M 为正方形，
∴点′E 坐标为（a﹣b，b），
∵EE′平行于 x 轴，
∴E、E′关于抛物线对称轴对称，
∵ ，
∴b=2a﹣3，
则点 N 坐标可化为（a，2a﹣3），
把点 N 坐标代入 y= 得：2a﹣3= ，
解得：a1=1，a2=6，
∵a=6 时，b=2a﹣3=﹣9＜0，
∴a=6 舍去，
则点 N 坐标为（1，﹣1），
把 N 坐标带入 y=x+c，则 c=﹣2，
∴直线 l′的解析式为：y=x﹣2；35
（4）由（3）K 点坐标为（0，﹣2），
则△MOK 为等腰直角三角形，
∴△M′OK′为等腰直角三角形，M′K′⊥直线 l′，
∴当 M′K′=M′F 时，△M'FK′为等腰直角三角形，
∴F 坐标为（1，0）或（﹣1，﹣2）.
【点睛】本题考查了代数几何综合题，具体考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数对称轴、相似
三角形的判定性质、等腰直角三角形的判定等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握和灵活运用相关知
识是解题的关键.解答过程中注意应用直线 y=x 与 x 轴正向夹角为 45°这个条件．
34．【湖南省郴州市 2018 年中考数学试卷】如图 1，已知抛物线 y=﹣x2+bx+c 与 x 轴交于 A（﹣1，0），B
（3，0）两点，与 y 轴交于 C 点，点 P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点 P 的横坐标为 t．
（1）求抛物线的表达式；
（2）设抛物线的对称轴为 l，l 与 x 轴的交点为 D．在直线 l 上是否存在点 M，使得四边形 CDPM 是平行四
边形？若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图 2，连接 BC，PB，PC，设△PBC 的面积为 S．
①求 S 关于 t 的函数表达式；
②求 P 点到直线 BC 的距离的最大值，并求出此时点 P 的坐标．
【答案】（1）y=﹣x2+2x+3．（2）当 t=2 时，点 M 的坐标为（1，6）；当 t≠2 时，不存在，理由见解析；
（3）P 点到直线 BC 的距离的最大值为 ，此时点 P 的坐标为（ ， ）．
【解析】【分析】（1）由点 A、B 的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；
（2）连接 PC，交抛物线对称轴 l 于点 E，由点 A、B 的坐标可得出对称轴 l 为直线 x=1，分 t=2 和 t≠2 两
种情况考虑：当 t=2 时，由抛物线的对称性可得出此时存在点 M，使得四边形 CDPM 是平行四边形，再根据36
点 C 的坐标利用平行四边形的性质可求出点 P、M 的坐标；当 t≠2 时，不存在，利用平行四边形对角线互
相平分结合 CE≠PE 可得出此时不存在符合题意的点 M；
（3）①过点 P 作 PF∥y 轴，交 BC 于点 F，由点 B、C 的坐标利用待定系数法可求出直线 BC 的解析式，根据
点 P 的坐标可得出点 F 的坐标，进而可得出 PF 的长度，再由三角形的面积公式即可求出 S 关于 t 的函数表
达式；
②利用二次函数的性质找出 S 的最大值，利用勾股定理可求出线段 BC 的长度，利用面积法可求出 P 点到直
线 BC 的距离的最大值，再找出此时点 P 的坐标即可得出结论．
【详解】（1）将 A（﹣1，0）、B（3，0）代入 y=﹣x2+bx+c，
得 ，解得： ，
∴抛物线的表达式为 y=﹣x2+2x+3；
当 t≠2 时，不存在，理由如下：
若四边形 CDPM 是平行四边形，则 CE=PE，
∵点 C 的横坐标为 0，点 E 的横坐标为 0，
∴点 P 的横坐标 t=1×2﹣0=2，
又∵t≠2，
∴不存在；
（3）①在图 2 中，过点 P 作 PF∥y 轴，交 BC 于点 F．
设直线 BC 的解析式为 y=mx+n（m≠0），
将 B（3，0）、C（0，3）代入 y=mx+n，
得 ，解得： ，
∴直线 BC 的解析式为 y=﹣x+3，
∵点 P 的坐标为（t，﹣t2+2t+3），37
∴点 F 的坐标为（t，﹣t+3），
∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，
∴S= PF•OB=﹣ t2+ t=﹣ （t﹣ ）2+ ；
②∵﹣ ＜0，
∴当 t= 时，S 取最大值，最大值为 ．
∵点 B 的坐标为（3，0），点 C 的坐标为（0，3），
∴线段 BC= ，
∴P 点到直线 BC 的距离的最大值为 ，
此时点 P 的坐标为（ ， ）．
【点睛】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、
一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质，解题的关键是：（1）由点的坐标，利用待定
系数法求出抛物线表达式；（2）分 t=2 和 t≠2 两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出 S 关于
t 的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出 P 点到直线 BC 的距离的最大值．
35．【山东省东营市 2018 年中考数学试题】如图，抛物线 y=a（x﹣1）（x﹣3）（a＞0）与 x 轴交于 A、B 两
点，抛物线上另有一点 C 在 x 轴下方，且使△OCA∽△OBC．
（1）求线段 OC 的长度；
（2）设直线 BC 与 y 轴交于点 M，点 C 是 BM 的中点时，求直线 BM 和抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，直线 BC 下方抛物线上是否存在一点 P，使得四边形 ABPC 面积最大？若存在，请求
出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由．38
【答案】（1）OC= ；（2）y= x﹣ ，抛物线解析式为 y= x 2﹣ x+2 ；（3）点 P 存在，坐标为
（ ，﹣ ）．
【解析】分析：分析：（1）令 y=0，求出 x 的值，确定出 A 与 B 坐标，根据已知相似三角形得比例，求出 OC
的长即可；
（2）根据 C 为 BM 的中点，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到 OC=BC，确定出 C 的坐标，利
用待定系数法确定出直线 BC 解析式，把 C 坐标代入抛物线求出 a 的值，确定出二次函数解析式即可；
（3）过 P 作 x 轴的垂线，交 BM 于点 Q，设出 P 与 Q 的横坐标为 x，分别代入抛物线与直线解析式，表示出
坐标轴，相减表示出 PQ，四边形 ACPB 面积最大即为三角形 BCP 面积最大，三角形 BCP 面积等于 PQ 与 B 和
C 横坐标之差乘积的一半，构造为二次函数，利用二次函数性质求出此时 P 的坐标即可．
详解：（1）由题可知当 y=0 时，a（x﹣1）（x﹣3）=0，
解得：x1=1，x2=3，即 A（1，0），B（3，0），
∴OA=1，OB=3
∵△OCA∽△OBC，
∴OC：OB=OA：OC，
∴OC2=OA•OB=3，
则 OC= ；
（2）∵C 是 BM 的中点，即 OC 为斜边 BM 的中线，
∴OC=BC，
∴点 C 的横坐标为 ，
又 OC= ，点 C 在 x 轴下方，39
∴C（ ，﹣ ），
（3）点 P 存在，
设点 P 坐标为（x， x2﹣ x+2 ），过点 P 作 PQ⊥x 轴交直线 BM 于点 Q，
则 Q（x， x﹣ ），
∴PQ= x﹣ ﹣（ x2﹣ x+2 ）=﹣ x2+3 x﹣3 ，
当△BCP 面积最大时，四边形 ABPC 的面积最大，
S△BCP= PQ（3﹣x）+ PQ（x﹣ ）= PQ=﹣ x2+ x﹣ ，
当 x=﹣ 时，S△BCP 有最大值，四边形 ABPC 的面积最大，此时点 P 的坐标为（ ，﹣ ）．40
点睛：此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：二次函数图象与性质，待定系数法确定函数解析式，相
似三角形的判定与性质，以及坐标与图形性质，熟练掌握各自的性质是解本题的关键．
36．【广西钦州市 2018 年中考数学试卷】如图，抛物线 y=ax2﹣5ax+c 与坐标轴分别交于点 A，C，E 三点，
其中 A（﹣3，0），C（0，4），点 B 在 x 轴上，AC=BC，过点 B 作 BD⊥x 轴交抛物线于点 D，点 M，N 分别是
线段 CO，BC 上的动点，且 CM=BN，连接 MN，AM，AN．
（1）求抛物线的解析式及点 D 的坐标；
（2）当△CMN 是直角三角形时，求点 M 的坐标；
（3）试求出 AM+AN 的最小值．
【答案】（1）抛物线解析式为 y=﹣ x2+ x+4；D 点坐标为（3，5）；（2）M 点的坐标为（0， ）或（0，
）；（3）AM+AN 的最小值为 ．
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求抛物线解析式；利用等腰三角形的性质得 B（3，0），然后计算自变
量为 3 所对应的二次函数值可得到 D 点坐标；
（2）利用勾股定理计算出 BC=5，设 M（0，m），则 BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，由于∠MCN=∠OCB，根
据相似三角形的判定方法，当 时，△CMN∽△COB，于是有∠CMN=∠COB=90°，即 ；当
时，△CMN∽△CBO，于是有∠CNM=∠COB=90°，即 ，然后分别求出 m 的值即可得到 M
点的坐标；
（3）连接 DN，AD，如图，先证明△ACM≌△DBN，则 AM=DN，所以 AM+AN=DN+AN，利用三角形三边的关系得
到 DN+AN≥AD（当且仅当点 A、N、D 共线时取等号），然后计算出 AD 即可．
【详解】（1）把 A（﹣3，0），C（0，4）代入 y=ax2﹣5ax+c 得 ，解得 ，
∴抛物线解析式为 y=﹣ x2+ x+4；
∵AC=BC，CO⊥AB，
∴OB=OA=3，41
∴B（3，0），
∵BD⊥x 轴交抛物线于点 D，
∴D 点的横坐标为 3，
当 x=3 时，y=﹣ ×9+ ×3+4=5，
∴D 点坐标为（3，5）；
（2）在 Rt△OBC 中，BC= =5，
设 M（0，m），则BN=4﹣m，CN=5﹣（4﹣m）=m+1，
∵∠MCN=∠OCB，
∴当 时，△CMN∽△COB，则∠CMN=∠COB=90°，
即 ，解得 m= ，此时 M 点坐标为（0， ）；
当 时，△CMN∽△CBO，则∠CNM=∠COB=90°，
即 ，解得 m= ，此时 M 点坐标为（0， ）；
综上所述，M 点的坐标为（0， ）或（0， ）；
（3）连接 DN，AD，如图，
∵AC=BC，CO⊥AB，
∴OC 平分∠ACB，
∴∠ACO=∠BCO，
∵BD∥OC，
∴∠BCO=∠DBC，
∵DB=BC=AC=5，CM=BN，
∴△ACM≌△DBN，
∴AM=DN，
∴AM+AN=DN+AN，
而 DN+AN≥AD（当且仅当点 A、N、D 共线时取等号），
∴DN+AN 的最小值= ，
∴AM+AN 的最小值为 ．42
【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质等，解题
的关键是会利用待定系数法求函数解析式、理解坐标与图形性质、会运用分类讨论的思想解决数学问题．
37．【湖北省荆门市 2018 年中考数学试卷】如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于原点及点 A，且经
过点 B（4，8），对称轴为直线x=﹣2．
（1）求抛物线的解析式；
（2）设直线 y=kx+4 与抛物线两交点的横坐标分别为 x1，x2（x1＜x2），当 时，求 k 的值；
（3）连接 OB，点 P 为 x 轴下方抛物线上一动点，过点 P 作 OB 的平行线交直线 AB 于点 Q，当 S △POQ：
S△BOQ=1：2 时，求出点 P 的坐标．
（坐标平面内两点 M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离 MN= ）
【答案】（1）抛物线解析式为 y= x2+x；（2）k=1；（3）P（﹣2 ，﹣2 +2）．
【解析】【分析】（1）先利用对称轴公式得出 b=4a，进而利用待定系数法即可得出结论；
（2）先利用根与系数的关系得出，x1+x2=4（k﹣1），x1x2=﹣16，转化已知条件，代入即可得出结论；
（3）先判断出 OB=2PQ，进而判断出点 C 是 OB 中点，再求出 AB 解析式，判断出 PC∥AB，即可得出 PC 解析
式，和抛物线解析式联立解方程组即可得出结论．43
【详解】（1）根据题意得， ，
∴ ，
∴抛物线解析式为 y= x2+x；
（3）如图，取 OB 的中点 C，
∴BC= OB，
∵B（4，8），
∴C（2，4），
∵PQ∥OB，
∴点 O 到 PQ 的距离等于点 O 到 OB 的距离，
∵S△POQ：S△BOQ=1：2，
∴OB=2PQ，
∴PQ=BC，∵PQ∥OB，
∴四边形 BCPQ 是平行四边形，
∴PC∥AB，44
∵抛物线的解析式为 y= x2+x①，
令 y=0，
∴ x2+x=0，
∴x=0 或 x=﹣4，
∴A（﹣4，0），
∵B（4，8），
∴直线 AB 解析式为 y=x+4，设直线 PC 的解析式为 y=x+m，
∵C（2，4），
∴直线 PC 的解析式为 y=x+2②，
联立①②解得， （舍）或 ，
∴P（﹣2 ，﹣2 +2）．
【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，一元二次方程的根与系数的关系，平行四边形
的判定和性质，等高的两三角形面积的比等于底的比等，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握待定系数
法，判断出 OB=2PQ 是解本题的关键．
38．【湖北省孝感市 2018 年中考数学试题】如图 1，在平面直角坐标系 中，已知点 和点 的坐标分别为
， ，将 绕点 按顺时针分别旋转 ， 得到 ， ，抛物线 经过
点 ， ， ；抛物线 经过点 ， ， .45
（1）点 的坐标为________，点 的坐标为________；抛物线 的解析式为________，抛物线 的解析式为
________；
（2）如果点 是直线 上方抛物线 上的一个动点.
①若 ，求 点的坐标；
②如图 2，过点 作 轴的垂线交直线 于点 ，交抛物线 于点 ，记 ，求 与 的函
数关系式.当 时，求 的取值范围.
【答案】（1） ， ， ： ， ： .（2）①符合条件的点 的坐
标为 或 .② .
【解析】分析：（1）根据旋转的性质，可得 C，E，F 的坐标，根据待定系数法求解析式；
（2）①根据 P 点关于直线 CA 或关于 x 轴对称直线与抛物线交点坐标，求出解析式，联立方程组求解；
②根据图象上的点满足函数解析式，可得 P、N、M 纵坐标，根据平行于 y 轴直线上两点间的距离是较大的
纵坐标减较小的纵坐标，可得二次函数，根据 x 取值范围讨论 h 范围．
详解：（1）由旋转可知，OC=6，OE=2，
则点 C 坐标为（-6，0），E 点坐标为（2，0），
分别利用待定系数法求 C1 解析式为：y=- x2−4x−6，C2 解析式为：y=- x2−2x+6
（2）①若点 P 在 x 轴上方，∠PCA=∠ABO 时，则 CA1 与抛物线 C1 的交点即为点 P，如图，46
若点 P 在 x 轴下方，∠PCA=∠ABO 时，则 CH 与抛物线 C1 的交点即为点 P，如图，47
易知 OH=OA，
∴H（0，-2）
设直线 CH 的解析式为：y=k2x+b2
∴
解得
∴直线 CH 的解析式为：y= x-2
联立： ，解得 或 （舍去），
∴ ；
∴符合条件的点 的坐标为 或 .
②设直线 的解析式为： ，
∴ ，解得 ，
∴直线 的解析式为： ，
过点 作 于点 ，则 ，48
设 P(x，- x2−4x−6)
∴ ，
，
，
，
当 时， 的最大值为 21.
∵ ，当 时， ；
当 时， ；
当 时， 的取值范围是 .
点睛：本题考查二次函数综合题，解（1）的关键是利用旋转的性质得出 C，E 的坐标，又利用了待定系数
法；解（2）①的关键是利用解方程组，要分类讨论，以防遗漏；解（2）②的关键是利用平行于 y 轴直线
上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数，又利用了二次函数的性质．
39．【四川省达州市 2018 年中考数学试题】如图，抛物线经过原点 O（0，0），点 A（1，1），点 B（ ，
0）．
（1）求抛物线解析式；
（2）连接 OA，过点 A 作 AC⊥OA 交抛物线于 C，连接 OC，求△AOC 的面积；49
（3）点 M 是 y 轴右侧抛物线上一动点，连接 OM，过点 M 作 MN⊥OM 交 x 轴于点 N．问：是否存在点 M，使以
点 O，M，N 为顶点的三角形与（2）中的△AOC 相似，若存在，求出点 M 的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1） ；（2）4；（3）（ ，﹣54）或（ ， ）或（ ，﹣ ）
（3）如图 2，作 MH⊥x 轴于 H，AC=4 ，OA= ，设 M（x，- x2+ x）（x＞0），根据三角形相似的判定，由
于∠OHM=∠OAC，则当 时，△OHM∽△OAC，即 ；当 时，△OHM∽△CAO，即
，则分别解关于 x 的绝对值方程可得到对应 M 点的坐标，由于△OMH∽△ONM，所以求得
的 M 点能以点 O，M，N 为顶点的三角形与（2）中的△AOC 相似．
详解：（1）设抛物线解析式为 y=ax（x- ），
把 A（1，1）代入得 a•1（1- ）=1，解得 a=- ，
∴抛物线解析式为 y=- x（x- ），
即 y=- x2+ x；
（2）延长 CA 交 y 轴于 D，如图 1，50
∵A（1，1），
∴OA= ，∠DOA=45°，
∴△AOD 为等腰直角三角形，
∵OA⊥AC，
∴OD= OA=2，
∴D（0，2），
易得直线 AD 的解析式为 y=-x+2，
解方程组 得 或 ，则 C（5，-3），
∴S△AOC=S△COD-S△AOD= ×2×5- ×2×1=4；
（3）存在．如图 2，
作 MH⊥x 轴于 H，AC= ，OA= ，
设 M（x，- x2+ x）（x＞0），
∵∠OHM=∠OAC，
∴当 时，△OHM∽△OAC，即 ，51
解方程- x2+ x =4x 得 x1=0（舍去），x2=- （舍去），
解方程- x2+ x =-4x 得 x1=0（舍去），x2= ，此时 M 点坐标为（ ，-54）；
当 时，△OHM∽△CAO，即 ，
解方程- x2+ x= x 得 x1=0（舍去），x2= ，此时 M 点的坐标为（ ， ），
解方程- x2+ x=- x 得 x1=0（舍去），x2= ，此时 M 点坐标为（ ，- ）；
∵MN⊥OM，
∴∠OMN=90°，
∴∠MON=∠HOM，
∴△OMH∽△ONM，
∴当 M 点的坐标为（ ，-54）或（ ， ）或（ ，- ）时，以点 O，M，N 为顶点的三角形与（2）中的
△AOC 相似．
点睛：本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用
待定系数法求函数解析式，会解一元二次方程；理解坐标与图形性质；灵活运用相似比表示线段之间的关
系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．
40．【湖南省邵阳市 2018 年中考数学试卷】如图所示，将二次函数 y=x2+2x+1 的图象沿 x 轴翻折，然后向右
平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位，得到二次函数 y=ax2+bx+c 的图象．函数 y=x2+2x+1 的图象的顶点为
点 A．函数 y=ax2+bx+c 的图象的顶点为点 B，和 x 轴的交点为点 C，D（点 D 位于点 C 的左侧）．
（1）求函数 y=ax2+bx+c 的解析式；
（2）从点 A，C，D 三个点中任取两个点和点 B 构造三角形，求构造的三角形是等腰三角形的概率；
（3）若点 M 是线段 BC 上的动点，点 N 是△ABC 三边上的动点，是否存在以 AM 为斜边的 Rt△AMN，使△AMN
的面积为△ABC 面积的 ？若存在，求 tan∠MAN 的值；若不存在，请说明理由．52
【答案】（1）解析式为 y=﹣x2+4；（2）构造的三角形是等腰三角形的概率是 ；（3）存在，tan∠MAN 的值
为 1 或 4 或 ．
（3）易得 BC 的解析是为 y=﹣2x+4，S△ABC=6，M 点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），讨论：①当 N 点在 AC
上，如图 1，利用面积公式得到 （m+1）（﹣2m+4）=2，解得 m1=0，m2=1，当 m=0 时，求出 AN=1，MN=4，再
利用正切定义计算 tan∠MAC 的值；当 m=1 时，计算出 AN=2，MN=2，再利用正切定义计算 tan∠MAC 的值；②
当 N 点在 BC 上，如图 2，先利用面积法计算出 AN= ，再根据三角形面积公式计算出 MN= ，然后利用
正切定义计算 tan∠MAC 的值；③当 N 点在 AB 上，如图 3，作 AH⊥BC 于 H，设 AN=t，则 BN= ﹣t，由②
得 AH= ，利用勾股定理可计算出 BH= ，证明△BNM∽△BHA，利用相似比可得到 MN= ，利用三
角形面积公式得到 •（ ﹣t）• =2，根据此方程没有实数解可判断点 N 在 AB 上不符合条件，从
而得到 tan∠MAN 的值为 1 或 4 或 ．
【详解】（1）y=x2+2x+1=（x+1）2 的图象沿 x 轴翻折，得 y=﹣（x+1）2，
把 y=﹣（x+1）2 向右平移 1 个单位，再向上平移 4 个单位，得 y=﹣x2+4，
∴所求的函数 y=ax2+bx+c 的解析式为 y=﹣x2+4；
（2）∵y=x2+2x+1=（x+1）2，
∴A（﹣1，0），
当 y=0 时，﹣x2+4=0，解得 x=±2，则 D（﹣2，0），C（2，0）；53
当 x=0 时，y=﹣x2+4=4，则 B（0，4），
从点 A，C，D 三个点中任取两个点和点 B 构造三角形的有：△ACB，△ADB，△CDB，
∵AC=3，AD=1，CD=4，AB= ，BC=2 ，BD=2 ，
∴△BCD 为等腰三角形，
∴构造的三角形是等腰三角形的概率= ；
（3）存在，
易得 BC 的解析是为 y=﹣2x+4，S△ABC= AC•OB= ×3×4=6，
M 点的坐标为（m，﹣2m+4）（0≤m≤2），
①当 N 点在 AC 上，如图 1，
∴△AMN 的面积为△ABC 面积的 ，
∴ （m+1）（﹣2m+4）=2，解得 m1=0，m2=1，
当 m=0 时，M 点的坐标为（0，4），N（0，0），则 AN=1，MN=4，
∴tan∠MAC= =4；
当 m=1 时，M 点的坐标为（1，2），N（1，0），则 AN=2，MN=2，
∴tan∠MAC= =1；
②当 N 点在 BC 上，如图 2，
BC= =2 ，
∵ BC•AN= AC•BC，解得 AN= ，
∵S△AMN= AN•MN=2，
∴MN= = ，
∴∠MAC= ；
③当 N 点在 AB 上，如图 3，作 AH⊥BC 于 H，设 AN=t，则 BN= ﹣t，
由②得 AH= ，则 BH= ，
∵∠NBG=∠HBA，54
∴△BNM∽△BHA，
∴ ，即 ，
∴MN= ，
∵ AN•MN=2，
即 •（ ﹣t）• =2，
整理得 3t2﹣3 t+14=0，△=（﹣3 ）2﹣4×3×14=﹣15＜0，方程没有实数解，
∴点 N 在 AB 上不符合条件，
综上所述，tan∠MAN 的值为 1 或 4 或 ．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，主要考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、
等腰三角形的判定、概率公式、待定系数法、两点间的距离公式、相似三角形的判定与性质等，综合性较
强，有一定的难度；理解二次函数图象的图象变换规律、坐标与图形性质，利用待定系数法求函数解析式、
记住两点间的距离公式，利用相似比表示线段之间的关系、运用分类讨论思想等是解题的关键.
41．【湖北省随州市 2018 年中考数学试卷】如图 1，抛物线 C1：y=ax2﹣2ax+c（a＜0）与 x 轴交于 A、B 两
点，与 y 轴交于点 C．已知点 A 的坐标为（﹣1，0），点 O 为坐标原点，OC=3OA，抛物线 C1 的顶点为 G．
（1）求出抛物线 C1 的解析式，并写出点 G 的坐标；
（2）如图 2，将抛物线 C1 向下平移 k（k＞0）个单位，得到抛物线 C2，设 C2 与 x 轴的交点为 A′、B′，顶
点为 G′，当△A′B′G′是等边三角形时，求 k 的值：55
（3）在（2）的条件下，如图 3，设点 M 为 x 轴正半轴上一动点，过点 M 作 x 轴的垂线分别交抛物线 C1、C2
于 P、Q 两点，试探究在直线 y=﹣1 上是否存在点 N，使得以 P、Q、N 为顶点的三角形与△AOQ 全等，若存
在，直接写出点 M，N 的坐标：若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线 C1 的解析式为 y=﹣x2+2x+3，点 G 的坐标为
（1，4）；（2）k=1；（3）M1（ ，0）、N1（ ，﹣1）；M2（ ，0）、N2（1，﹣1）；
M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，0）、N4（﹣2，﹣1）．
【详解】（1）∵点 A 的坐标为（﹣1，0），
∴OA=1，
∴OC=3OA，
∴点 C 的坐标为（0，3），
将 A、C 坐标代入 y=ax2﹣2ax+c，得： ，
解得： ，
∴抛物线 C1 的解析式为 y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，
所以点 G 的坐标为（1，4）；
（2）设抛物线 C2 的解析式为 y=﹣x2+2x+3﹣k，即 y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，
过点 G′作 G′D⊥x 轴于点 D，设 BD′=m，
∵△A′B′G′为等边三角形，
∴G′D= B′D= m，56
则点 B′的坐标为（m+1，0），点G′的坐标为（1， m），
将点 B′、G′的坐标代入 y=﹣（x﹣1）2+4﹣k，得：
，
解得： （舍）， ，
∴k=1；
（3）设 M（x，0），则 P（x，﹣x2+2x+3）、Q（x，﹣x2+2x+2），
∴PQ=OA=1，
∵∠AOQ、∠PQN 均为钝角，
∴△AOQ≌△PQN，
如图 2，延长 PQ 交直线 y=﹣1 于点 H，
则∠QHN=∠OMQ=90°，
又∵△AOQ≌△PQN，
∴OQ=QN，∠AOQ=∠PQN，
∴∠MOQ=∠HQN，
∴△OQM≌△QNH（AAS），
∴OM=QH，即 x=﹣x2+2x+2+1，
解得：x= （负值舍去），
当 x= 时，HN=QM=﹣x2+2x+2= ，点 M（ ，0），
∴点 N 坐标为（ + ，﹣1），即（ ，﹣1）；
或（ ﹣ ，﹣1），即（1，﹣1）；
如图 3，57
同理可得△OQM≌△PNH，
∴OM=PH，即 x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1，
解得：x=﹣1（舍）或 x=4，
当 x=4 时，点 M 的坐标为（4，0），HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6，
∴点 N 的坐标为（4+6，﹣1）即（10，﹣1），或（4﹣6，﹣1）即（﹣2，﹣1）；
综上点
M1（ ，0）、N1（ ，﹣1）；M2（ ，0）、N2（1，﹣1）；M3（4，0）、N3（10，﹣1）；M4（4，
0）、N4（﹣2，﹣1）．
【点睛】本题考查的是二次函数的综合题，涉及到的知识有待定系数法、等边三角形的性质、全等三角形
的判定与性质等，熟练掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、运
用分类讨论思想是解题的关键.
42．【山东省烟台市 2018 年中考数学试卷】如图 1，抛物线 y=ax2+2x+c 与 x 轴交于 A（﹣4，0），B（1，0）
两点，过点 B 的直线 y=kx+ 分别与 y 轴及抛物线交于点 C，D．
（1）求直线和抛物线的表达式；
（2）动点 P 从点 O 出发，在 x 轴的负半轴上以每秒 1 个单位长度的速度向左匀速运动，设运动时间为 t 秒，
当 t 为何值时，△PDC 为直角三角形？请直接写出所有满足条件的 t 的值；
（3）如图 2，将直线 BD 沿 y 轴向下平移 4 个单位后，与 x 轴，y 轴分别交于 E，F 两点，在抛物线的对称
轴上是否存在点 M，在直线 EF 上是否存在点 N，使 DM+MN 的值最小？若存在，求出其最小值及点 M，N 的坐
标；若不存在，请说明理由．58
【答案】（1）抛物线解析式为：y= ，BD 解析式为 y=﹣ ；（2）t 的值为 、 、
．（3）N 点坐标为（﹣2，﹣2），M 点坐标为（﹣ ，﹣ ）， .
详解：（1）把 A（﹣4，0），B（1，0）代入 y=ax2+2x+c，
得 ，
解得： ，
∴抛物线解析式为：y= ，
∵过点 B 的直线 y=kx+ ，
∴代入（1，0），得：k=﹣，
∴BD 解析式为 y=﹣ ；
（2）由 得交点坐标为 D（﹣5，4），
如图 1，过 D 作 DE⊥x 轴于点 E，作 DF⊥y 轴于点 F，59
当 P1D⊥P1C 时，△P1DC 为直角三角形，
则△DEP1∽△P1OC，
∴ = ，即 = ，
解得 t= ，
当 P2D⊥DC 于点 D 时，△P2DC 为直角三角形
由△P2DB∽△DEB 得 = ，
即 = ，
解得：t= ；
当 P3C⊥DC 时，△DFC∽△COP3，
∴ = ，即 = ，
解得：t= ，
∴t 的值为 、 、 ．
（3）由已知直线 EF 解析式为：y=﹣ x﹣ ，
在抛物线上取点 D 的对称点 D′，过点 D′作 D′N⊥EF 于点 N，交抛物线对称轴于点 M60
过点 N 作 NH⊥DD′于点 H，此时，DM+MN=D′N 最小．
则△EOF∽△NHD′
设点 N 坐标为（a，﹣ ），
∴ = ，即 = ，
解得：a=﹣2，
则 N 点坐标为（﹣2，﹣2），
求得直线 ND′的解析式为 y= x+1，
当 x=﹣ 时，y=﹣ ，
∴M 点坐标为（﹣ ，﹣ ），
此时，DM+MN 的值最小为 = =2 ．
点睛：本题是二次函数和几何问题综合题，应用了二次函数性质以及转化的数学思想、分类讨论思想．解
题时注意数形结合．
43．【江苏省盐城市 2018 年中考数学试题】如图①，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=ax2+bx+3 经过点
A(-1，0) 、B(3，0) 两点，且与 y 轴交于点 C
.61
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图②，用宽为 4 个单位长度的直尺垂直于 x 轴，并沿 x 轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与
抛物线相交于 P、 Q 两点（点 P 在点 Q 的左侧），连接 PQ，在线段 PQ 上方抛物线上有一动点 D，连接 DP、
DQ.
①若点 P 的横坐标为 ，求△DPQ 面积的最大值，并求此时点 D 的坐标；
②直尺在平移过程中，△DPQ 面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由.
【答案】（1）抛物线 y=-x2+2x+3；（2）①点 D（ ）；②△PQD 面积的最大值为 8
（II）假设存在，设点 P 的横坐标为 t，则点 Q 的横坐标为 4+t，进而可得出点 P、Q 的坐标，利用待定系
数法可求出直线 PQ 的表达式，设点 D 的坐标为（x，-x 2+2x+3），则点 E 的坐标为（x，-2（t+1）
x+t2+4t+3），进而即可得出 DE 的长度，利用三角形的面积公式可得出 S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t，再利
用二次函数的性质即可解决最值问题．
详解：（1）将 A（-1，0）、B（3，0）代入 y=ax2+bx+3，得：
，解得： ，
∴抛物线的表达式为 y=-x2+2x+3．
（2）（I）当点 P 的横坐标为- 时，点 Q 的横坐标为 ，
∴此时点 P 的坐标为（- ， ），点 Q 的坐标为（ ，- ）．
设直线 PQ 的表达式为 y=mx+n，
将 P（- ， ）、Q（ ，- ）代入 y=mx+n，得：
，解得： ，
∴直线 PQ 的表达式为 y=-x+ ．
如图②，过点 D 作 DE∥y 轴交直线 PQ 于点 E，62
设点 D 的坐标为（x，-x2+2x+3），则点 E 的坐标为（x，-x+ ），
∴DE=-x2+2x+3-（-x+ ）=-x2+3x+ ，
∴S△DPQ= DE•（xQ-xP）=-2x2+6x+ =-2（x- ）2+8．
∵-2＜0，
∴当 x= 时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为 8，此时点 D 的坐标为（ ， ）．
（II）假设存在，设点 P 的横坐标为 t，则点 Q 的横坐标为 4+t，
∴点 P 的坐标为（t，-t2+2t+3），点 Q 的坐标为（4+t，-（4+t）2+2（4+t）+3），
利用待定系数法易知，直线 PQ 的表达式为 y=-2（t+1）x+t2+4t+3．
设点 D 的坐标为（x，-x2+2x+3），则点 E 的坐标为（x，-2（t+1）x+t2+4t+3），
∴DE=-x2+2x+3-[-2（t+1）x+t2+4t+3]=-x2+2（t+2）x-t2-4t，
∴S△DPQ= DE•（xQ-xP）=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t=-2[x-（t+2）]2+8．
∵-2＜0，
∴当 x=t+2 时，△DPQ 的面积取最大值，最大值为 8．
∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ 面积有最大值，面积的最大值为 8．
点睛：本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、二次（一次）函数图象上点的坐标特征、三角
形的面积以及二次函数的最值，解题的关键是：（1）根据点的坐标，利用待定系数法求出二次函数表达式；
（2）（I）利用三角形的面积公式找出 S△DPQ=-2x2+6x+ ；（II）利用三角形的面积公式找出
S△DPQ=-2x2+4（t+2）x-2t2-8t．
44．【湖北省襄阳市 2018 年中考数学试卷】直线 y=﹣ x+3 交 x 轴于点 A，交 y 轴于点 B，顶点为 D 的抛物
线 y=﹣ x2+2mx﹣3m 经过点 A，交 x 轴于另一点 C，连接 BD，AD，CD，如图所示．63
（1）直接写出抛物线的解析式和点 A，C，D 的坐标；
（2）动点 P 在 BD 上以每秒 2 个单位长的速度由点 B 向点 D 运动，同时动点 Q 在 CA 上以每秒 3 个单位长的
速度由点 C 向点 A 运动，当其中一个点到达终点停止运动时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为 t
秒．PQ 交线段 AD 于点 E．
①当∠DPE=∠CAD 时，求 t 的值；
②过点 E 作 EM⊥BD，垂足为点 M，过点 P 作 PN⊥BD 交线段 AB 或 AD 于点 N，当 PN=EM 时，求 t 的值．
【答案】（1）点 A（2，0），点 C（6，0），点 D（4，3），（2）① 秒；（2）t=（1﹣ ）秒或 t= 秒．
【解析】【分析】（1）先由直线解析式求得点 A、B 坐标，将点 A 坐标代入抛物线解析式求得 m 的值，从而
得出答案；
（2）①由（1）知 BD=AC、BD//OC，根据 AB=AD= 证四边形 ABPQ 是平行四边形得 AQ=BP，即 2t=4-3t，解
之即可；
②分点 N 在 AB 上和点 N 在 AD 上两种情况分别求解．
【详解】（1）在 中，令 得 ，令 得 ，
∴点 、点 ，
将点 代入抛物线解析式，得： ，
解得： ，
所以抛物线解析式为 ，
∵y ，
∴点 ，对称轴为 ，
∴点 C 坐标为 ；
（2）如图 1，64
由（1）知 ，
∴四边形 ABPQ 是平行四边形，
∴ ，即 ，
解得： ，
即当 时， 秒；
② Ⅰ 当点 N 在 AB 上时， ，即 ，
连接 NE，延长 PN 交 x 轴于点 F，延长 ME 交 x 轴于点 H，
∵ 、 ， ， ，65
∴ ， ， 、 ， ，
∴ ，
∵ 、 ，
∴直线 AD 解析式为 ，
∵点 E 在直线 上，
∴点 E 的坐标为 ，
∵ ，
∴ ，
解得： 舍 或 ；
Ⅱ 当点 N 在 AD 上时， ，即 ，
∵ ，
∴点 E、N 重合，此时 ，
∴ ，
∴ ，
解得： ，
综上所述，当 时， 秒或 秒
【点睛】本题主要考查二次函数的综合问题，涉及到待定系数法求二次函数的解析式、平行四边形的判定
与性质、相似三角形的判定与性质等，准确构造图形，熟练掌握相关的性质与判定定理是解题的关键.
45．【四川省内江市 2018 年中考数学试卷】如图，已知抛物线 与 轴交于点 和点66
，交 轴于点 .过点 作 轴，交抛物线于点 .
（1）求抛物线的解析式；
（2）若直线 与线段 、 分别交于 、 两点，过 点作 轴于点 ，过点 作
轴于点 ，求矩形 的最大面积；
（3）若直线 将四边形 分成左、右两个部分，面积分别为 、 ，且 ，求 的值.
【答案】（1）y=x2+2x﹣3；（2）3；（3） .
【解析】分析：（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先利用待定系数法求出直线 AD，BD 的解析式，进而求出 G，H 的坐标，进而求出 GH，即可得出结论；
（3）先求出四边形 ADNM 的面积，再求出直线 y＝kx＋1 与线段 CD，AB 的交点坐标，即可得出结论．
详解：（1）∵抛物线 y=ax2+bx﹣3 与 x 轴交于点 A（﹣3，0）和点 B（1，0），
∴ ，
∴ ，
∴抛物线的解析式为 y=x2+2x﹣3；
（2）由（1）知，抛物线的解析式为 y=x2+2x﹣3，
∴C（0，﹣3），
∴x2+2x﹣3=﹣3，
∴x=0 或 x=﹣2，
∴D（﹣2，﹣3），
∵A（﹣3，0）和点 B（1，0），
∴直线 AD 的解析式为 y=﹣3x﹣9，直线 BD 的解析式为 y=x﹣1，
∵直线 y=m（﹣3＜m＜0）与线段 AD、BD 分别交于 G、H 两点，67
∴G（﹣ m﹣3，m），H（m+1，m），
∴GH=m+1﹣（﹣ m﹣3）= m+4，
∴S 矩形 GEFH=﹣m（ m+4）=﹣ （m2+3m）=﹣ （m+ ）2+3，
∴m=﹣ ，矩形 GEFH 的最大面积为 3．
（3）∵A（﹣3，0），B（1，0），
∴AB=4，
∵C（0，﹣3），D（﹣2，﹣3），
∴CD=2，
∴S 四边形 ABCD= ×3（4+2）=9，
∵S1：S2=4：5，
∴S1=4，
如图，设直线 y=kx+1 与线段 AB 相交于 M，与线段 CD 相交于 N，
∴M（﹣ ，0），N（﹣ ，﹣3），
∴AM=﹣ +3，DN=﹣ +2，
∴S1= （﹣+3﹣ +2）×3=4，
∴k=
点睛：此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，矩形的面积公式，梯形的面积公式，求出相关线
段的长是解本题的关键．
46．【山东省威海市 2018 年中考数学试题】如图，抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）与 x 轴交于点 A（﹣4，0），B
（2，0），与 y 轴交于点 C（0，4），线段 BC 的中垂线与对称轴 l 交于点 D，与 x 轴交于点 F，与 BC 交于点
E，对称轴 l 与 x 轴交于点 H．68
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）求点 D 的坐标；
（3）点 P 为 x 轴上一点，⊙P 与直线 BC 相切于点 Q，与直线 DE 相切于点 R．求点 P 的坐标；
（4）点 M 为 x 轴上方抛物线上的点，在对称轴 l 上是否存在一点 N，使得以点 D，P，M．N 为顶点的四边形
是平行四边形？若存在，则直接写出 N 点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线表达式为：y=﹣ （x+4）（x﹣2）=﹣ x2﹣x+4；（2）点 D 坐标为（﹣1，1）；（3）点
P 坐标为（ ，0）或（7，0）；（4）存在（﹣1， ）、（﹣1， ）、（﹣1，﹣ ）
详解：（1）∵抛物线过点 A（﹣4，0），B（2，0）
∴设抛物线表达式为：y=a（x+4）（x﹣2）
把 C（0，4）带入得
4=a（0+4）（0﹣2）
∴a=﹣ ，
∴抛物线表达式为：y=﹣ （x+4）（x﹣2）=﹣ x2﹣x+4
（2）由（1）抛物线对称轴为直线 x=﹣ =﹣1，
∵线段 BC 的中垂线与对称轴 l 交于点 D，69
∴点 D 在对称轴上，
设点 D 坐标为（﹣1，m），
过点 C 做 CG⊥l 于 G，连 DC，DB，
∴DC=DB，
在 Rt△DCG 和 Rt△DBH 中
∵DC2=12+（4﹣m）2，DB2=m2+（2+1）2
∴12+（4﹣m）2=m2+（2+1）2
解得：m=1
∴点 D 坐标为（﹣1，1）；
（3）∵点 B 坐标为（2，0），C 点坐标为（0，4）
∴BC= ，
∵EF 为 BC 中垂线
∴BE=
在 Rt△BEF 和 Rt△BOC 中，
cos∠CBF= ,
∴ ,
∴BF=5，EF= ，OF=3
设⊙P 的半径为 r，⊙P 与直线 BC 和 EF 都相切，
如图：70
①当圆心 P1 在直线 BC 左侧时，连 P1Q1，P1R1，则 P1Q1=P1R1=r1
∴∠P1Q1E=∠P1R1E=∠R1EQ1=90°
∴四边形 P1Q1ER1 是正方形
∴ER1=P1Q1=r1
在 Rt△BEF 和 Rt△FR1P1 中
tan∠1= ，
∴ ，
∴r1= ，
∵sin∠1= ，
∴FP1= ，OP1= ，
∴点 P1 坐标为（ ，0）
②同理，当圆心 P2 在直线 BC 右侧时，
可求 r2= ，OP2=7
∴P2 坐标为（7，0）
∴点 P 坐标为（ ，0）或（7，0）71
②若 MN、DP 为平行四边形对边时，M、P 点到 ND 距离相等
则点 M 横坐标为﹣
则 M 纵坐标为﹣ ，
由平行四边形中心对称性可知，点 M 到 N 的垂直距离等于点 P 到点 D 的垂直距离，
当点 N 在 D 点上方时，点 N 纵坐标为 ，
此时点 N 坐标为（﹣1， ），
当点 N 在 x 轴下方时，点 N 坐标为（﹣1，﹣ ），
当点 P 坐标为（7，0）时，所求 N 点不存在．
故答案为：（﹣1， ）、（﹣1， ）、（﹣1，﹣ ）
点睛：本题综合考查二次函数、圆和平行四边形存在性的判定等相关知识，应用了数形结合思想和分类讨
论的数学思想．
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