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专题 4.2 三角形
一、单选题
1．【四川省眉山市 2018 年中考数学试题】将一副直角三角板按如图所示的位置放置，使含 30°角的三角板
的一条直角边和含 45°角的三角板的一条直角边放在同一条直线上，则∠α 的度数是（ ）.
A． 45° B． 60° C． 75° D． 85°
【答案】C
【解析】分析：先根据三角形的内角和得出∠CGF=∠DGB=45°，再利用∠α=∠D+∠DGB 可得答案．
详解：如图，
点睛：本题主要考查三角形的外角的性质，解题的关键是掌握三角形的内角和定理和三角形外角的性质．
2．【山东省聊城市 2018 年中考数学试卷】如图，将一张三角形纸片 的一角折叠，使点 落在 处的
处，折痕为 .如果 ， ， ，那么下列式子中正确的是（ ）2
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】分析:根据三角形的外角得：∠BDA'=∠A+∠AFD，∠AFD=∠A'+∠CEA'，代入已知可得结论.
详解:
点睛：本题考查了三角形外角的性质，熟练掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和是关键.
3．【台湾省 2018 年中考数学试卷】如图，五边形 ABCDE 中有一正三角形 ACD，若 AB=DE，BC=AE，
∠E=115°，则∠BAE 的度数为何？（ ）
A． 115 B． 120 C． 125 D． 130
【答案】C
【解析】分析：根据全等三角形的判定和性质得出△ABC 与△AED 全等，进而得出∠B=∠E，利用多边形的
内角和解答即可．
详解：∵三角形 ACD 为正三角形，
∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°，
∵AB=DE，BC=AE，3
∴△ABC≌△DEA，
∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE，
∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°，
∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125°，
故选：C．
点睛：此题考查全等三角形的判定和性质，关键是根据全等三角形的判定和性质得出△ABC 与△AED 全
等．
4．【湖北省襄阳市 2018 年中考数学试卷】如图，在△ABC 中，分别以点 A 和点 C 为圆心，大于 AC 长为半
径画弧，两弧相交于点 M，N，作直线 MN 分别交 BC，AC 于点 D，E．若 AE=3cm，△ABD 的周长为 13cm，则△ABC
的周长为（ ）
A． 16cm B． 19cm C． 22cm D． 25cm
【答案】B
【点睛】本题考查作图-基本作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是熟练掌握线段的垂直平
分线的性质．
5．【湖北省黄石市 2018 年中考数学试卷】如图，△ABC 中，AD 是 BC 边上的高，AE、BF 分别是∠BAC、∠ABC
的平分线，∠BAC=50°，∠ABC=60°，则∠EAD+∠ACD=（ ）4
A． 75° B． 80° C． 85° D． 90°
【答案】A
点睛：本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和为 180°．解决问题的关键是三角形外角性质以及角平
分线的定义的运用．
6．【贵州省（黔东南，黔南，黔西南）2018 年中考数学试题】下列各图中 a、b、c 为三角形的边长，则甲、
乙、丙三个三角形和左侧△ABC 全等的是（ ）
A． 甲和乙 B． 乙和丙 C． 甲和丙 D． 只有丙
【答案】B
【解析】
分析：根据三角形全等的判定方法得出乙和丙与△ABC 全等，甲与△ABC 不全等．5
点睛：本题考查了三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：
SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边
的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
7．【山东省淄博市 2018 年中考数学试题】如图，在Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MN∥BC
交 AC 于点 N，且 MN 平分∠AMC，若 AN=1，则 BC 的长为（ ）
A． 4 B． 6 C． D． 8
【答案】B
【解析】分析：根据题意，可以求得∠B 的度数，然后根据解直角三角形的知识可以求得 NC 的长，从而可
以求得 BC 的长．
详解：∵在 Rt△ABC 中，CM 平分∠ACB 交 AB 于点 M，过点 M 作 MN∥BC 交 AC 于点 N，且 MN 平分∠AMC，
∴∠AMN=∠NMC=∠B，∠NCM=∠BCM=∠NMC，
∴∠ACB=2∠B，NM=NC，
∴∠B=30°，
∵AN=1，
∴MN=2，
∴AC=AN+NC=3，
∴BC=6，
故选：B．6
点睛：本题考查 30°角的直角三角形、平行线的性质、等腰三角形的判定与性质，解答本题的关键是明确
题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
8．【四川省达州市 2018 年中考数学试题】如图，AB∥CD，∠1=45°，∠3=80°，则∠2 的度数为（ ）
A． 30° B． 35° C． 40° D． 45°
【答案】B
点睛：此题考查平行线的性质，关键是根据平行线的性质和三角形的外角性质解答．
9．【湖北省荆门市 2018 年中考数学试卷】如图，等腰 Rt△ABC 中，斜边 AB 的长为 2，O 为 AB 的中点，P
为 AC 边上的动点，OQ⊥OP 交 BC 于点 Q，M 为 PQ 的中点，当点 P 从点 A 运动到点 C 时，点 M 所经过的路线
长为（ ）
A． B． C． 1 D． 27
【答案】C
【详解】连接 OC，作 PE⊥AB 于 E，MH⊥AB 于 H，QF⊥AB 于 F，如图，
∵△ACB 为到等腰直角三角形，
∴AC=BC= AB= ，∠A=∠B=45°，
∵O 为 AB 的中点，
∴OC⊥AB，OC 平分∠ACB，OC=OA=OB=1，
∴∠OCB=45°，
∵∠POQ=90°，∠COA=90°，
∴∠AOP=∠COQ，
在 Rt△AOP 和△COQ 中
，
∴Rt△AOP≌△COQ，
∴AP=CQ，
易得△APE 和△BFQ 都为等腰直角三角形，
∴PE= AP= CQ，QF= BQ，
∴PE+QF= （CQ+BQ）= BC= =1，
∵M 点为 PQ 的中点，
∴MH 为梯形 PEFQ 的中位线，8
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线、点运动的轨迹，通过计算确定动点在
运动过程中不变的量，从而得到运动的轨迹是解题的关键.
10．【河北省 2018 年中考数学试卷】尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的
垂直平分线；
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．
如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A． ①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B． ①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C． ①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D． ①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
【答案】D
【解析】【分析】分别利用过直线外一点作这条直线的垂线作法以及线段垂直平分线的作法和过直线上一点
作这条直线的垂线、角平分线的作法分别得出符合题意的答案．
【详解】Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线，观察可知图②符合；
Ⅱ、作线段的垂直平分线，观察可知图③符合；9
Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线，观察可知图④符合；
Ⅳ、作角的平分线，观察可知图①符合，
所以正确的配对是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ，
故选 D．
【点睛】本题主要考查了基本作图，正确掌握基本作图方法是解题关键．
11．【山东省东营市 2018 年中考数学试题】如图，点 E 在△DBC 的边 DB 上，点 A 在△DBC 内部，
∠DAE=∠BAC=90°，AD=AE，AB=AC．给出下列结论：
①BD=CE；②∠ABD+∠ECB=45°；③BD⊥CE；④BE2=2（AD2+AB2）﹣CD2．其中正确的是（ ）
A． ①②③④ B． ②④ C． ①②③ D． ①③④
【答案】A
点睛：本题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是正确
寻找全等三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
12．【浙江省台州市 2018 年中考数学试题】如图，等边三角形 ABC 边长是定值，点 O 是它的外心，过点 O
任意作一条直线分别交 AB，BC 于点 D，E．将△BDE 沿直线 DE 折叠，得到△B′DE，若 B′D，B′E 分别交 AC10
于点 F，G，连接 OF，OG，则下列判断错误的是（ ）
A． △ADF≌△CGE
B． △B′FG 的周长是一个定值
C． 四边形 FOEC 的面积是一个定值
D． 四边形 OGB'F 的面积是一个定值
【答案】D
B、根据△DOF≌△GOF≌△GOE，得 DF=GF=GE，所以△ADF≌△B'GF≌△CGE，可得结论；
C、根据 S 四边形 FOEC=S△OCF+S△OCE，依次换成面积相等的三角形，可得结论为：S△AOC= S△ABC（定值），可作判
断；
D、方法同 C，将 S 四边形 OGB'F=S△OAC-S△OFG，根据 S△OFG= •FG•OH，FG 变化，故△OFG 的面积变化，从而四边形
OGB'F 的面积也变化，可作判断．
详解：A、连接 OA、OC，
∵点 O 是等边三角形 ABC 的外心，
∴AO 平分∠BAC，11
∴点 O 到 AB、AC 的距离相等，
由折叠得：DO 平分∠BDB'，
∴点 O 到 AB、DB'的距离相等，
∴点 O 到 DB'、AC 的距离相等，
∴FO 平分∠DFG，
∠DFO=∠OFG= （∠FAD+∠ADF），
由折叠得：∠BDE=∠ODF= （∠DAF+∠AFD），
∴∠OFD+∠ODF= （∠FAD+∠ADF+∠DAF+∠AFD）=120°，
∴∠DOF=60°，
B、∵△DOF≌△GOF≌△GOE，
∴DF=GF=GE，
∴△ADF≌△B'GF≌△CGE，
∴B'G=AD，
∴△B'FG 的周长=FG+B'F+B'G=FG+AF+CG=AC（定值），
故选项 B 正确；
C、S 四边形 FOEC=S△OCF+S△OCE=S△OCF+S△OAF=S△AOC= S△ABC（定值），
故选项 C 正确；12
点睛：本题考查了等边三角形的性质、三角形全等的性质和判定、角平分线的性质和判定、三角形和四边
形面积及周长的确定以及折叠的性质，有难度，本题全等的三角形比较多，要注意利用数形结合，并熟练
掌握三角形全等的判定，还要熟练掌握角平分线的逆定理的运用，证明 FO 平分∠DFG 是本题的关键，
13．【浙江省台州市 2018 年中考数学试题】如图，在▱ABCD 中，AB=2，BC=3．以点 C 为圆心，适当长为半径
画弧，交 BC 于点 P，交 CD 于点 Q，再分别以点 P，Q 为圆心，大于 PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点 N，
射线 CN 交 BA 的延长线于点 E，则 AE 的长是（ ）
A． B． 1 C． D．
【答案】B
【解析】分析：只要证明 BE=BC 即可解决问题；
详解：∵由题意可知 CF 是∠BCD 的平分线，
∴∠BCE=∠DCE．
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，
∴∠DCE=∠E，∠BCE=∠AEC，
∴BE=BC=3，
∵AB=2，
∴AE=BE-AB=1，
故选：B．13
点睛：本题考查的是作图-基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键．
14．【河北省 2018 年中考数学试卷】已知：如图，点 P 在线段 AB 外，且 PA=PB，求证：点 P 在线段 AB 的垂
直平分线上，在证明该结论时，需添加辅助线，则作法不正确的是（ ）
A． 作∠APB 的平分线 PC 交 AB 于点 C
B． 过点 P 作 PC⊥AB 于点 C 且 AC=BC
C． 取 AB 中点 C，连接 PC
D． 过点 P 作 PC⊥AB，垂足为 C
【答案】B
【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定，线段垂直平分线的判定，熟练掌握全等三角形的判断方法是
解本题的关键．
二、填空题
15．【吉林省长春市 2018 年中考数学试卷】如图，在△ABC 中，AB=AC．以点 C 为圆心，以 CB 长为半径作圆
弧，交 AC 的延长线于点 D，连结 BD．若∠A=32°，则∠CDB 的大小为_____度．
【答案】3714
【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质，掌握等边对等角是解题的关键，注意三角
形内角和定理的应用．
16．【山东省东营市 2018 年中考数学试题】如图，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，以顶点 C 为圆心，适当长为
半径画弧，分别交 AC，BC 于点 E，F，再分别以点 E，F 为圆心，大于 EF 的长为半径画弧，两弧交于点 P，
作射线 CP 交 AB 于点 D．若 BD=3，AC=10，则△ACD 的面积是_____．
【答案】15
【解析】分析：作 DQ⊥AC，由角平分线的性质知 DB=DQ=3，再根据三角形的面积公式计算可得．
详解：如图，过点 D 作 DQ⊥AC 于点 Q，
由作图知 CP 是∠ACB 的平分线，
∵∠B=90°，BD=3，
∴DB=DQ=3，
∵AC=10，
∴S△ACD= •AC•DQ= ×10×3=15，
故答案为：15．15
点睛：本题主要考查作图-基本作图，解题的关键是掌握角平分线的尺规作图及角平分线的性质．
17．【黑龙江省哈尔滨市 2018 年中考数学试题】在△ABC 中，AB=AC，∠BAC=100°，点 D 在 BC 边上，连接
AD，若△ABD 为直角三角形，则∠ADC 的度数为_____．
【答案】130°或 90°．
【解析】分析：根据题意可以求得∠B 和∠C 的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC 的度
数．
点睛：本题考查等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用等腰三
角形的性质和分类讨论的数学思想解答．
18．【江苏省徐州巿 2018 年中考数学试卷】如图，Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，将△ABC 折叠，
使点 C 与 A 重合，得折痕 DE，则△ABE 的周长等于_____cm．
【答案】7
【解析】【分析】根据勾股定理，可得 BC 的长，根据翻折的性质，可得 AE 与 CE 的关系，根据三角形的周
长公式，可得答案．
【详解】在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=3cm，AC=5cm，
由勾股定理，得
BC= =4，
由翻折的性质，得 CE=AE，16
△ABE 的周长=AB+BE+AE=AB+BE+CE=AB+BC=3+4=7，
故答案为：7．
【点睛】本题考查了翻折的性质、勾股定理等，利用翻折的性质得出 CE 与 AE 的关系是解题的关键．
19．【湖南省邵阳市 2018 年中考数学试卷】如图所示，在等腰△ABC中，AB=AC，∠A=36°，将△ABC中的∠A
沿 DE 向下翻折，使点 A 落在点 C 处．若 AE= ，则 BC 的长是_____．
【答案】
【点睛】本题考查了等腰三角形的判断和性质、折叠的性质以及三角形内角和定理的运用，证明△BCE 是等
腰三角形是解题的关键．
20．【湖北省襄阳市 2018 年中考数学试卷】已知 CD 是△ABC 的边 AB 上的高，若 CD= ，AD=1，AB=2AC，则
BC 的长为_____．
【答案】 或
【解析】【分析】分两种情况：△ABC 是锐角三角形，△ABC 是钝角三角形，分别画出符合条件的图形，然
后分别根据勾股定理计算 AC 和 BC 即可．
【详解】分两种情况：
当 是锐角三角形，如图 1，17
当 是钝角三角形，如图 2，
同理得：AC=2，AB=4，
∴BC= ；
综上所述，BC 的长为 或 ，
故答案为： 或 ．
【点睛】本题考查了三角形的高、勾股定理的应用，在直角三角形中常利用勾股定理计算线段的长，要熟
练掌握，运用分类讨论思想进行解答是关键.
21．【2018 年湖南省湘潭市中考数学试卷】如图，在等边三角形 ABC 中，点 D 是边 BC 的中点，则
∠BAD=_________．18
【答案】30°
点睛：考查了等边三角形的性质：等边三角形的三个内角都相等，且都等于 60°．等边三角形是轴对称图
形，它有三条对称轴；它的任意一角的平分线都垂直平分对边，三边的垂直平分线是对称轴．
22．【广西壮族自治区桂林市 2018 年中考数学试题】如图，在 ΔABC 中，∠A=36°,AB=AC,BD 平分∠ABC，
则图中等腰三角形的个数是__________
【答案】3
【解析】分析：由已知条件，利用三角形的内角和定理及角平分线的性质得到各角的度数，根据等腰三角
形的定义及等角对等边得出答案．
详解：∵AB=AC，∴△ABC 是等腰三角形．
∵∠A=36°，∴∠C=∠ABC=72°．
∵BD 平分∠ABC 交 AC 于 D，
∴∠ABD=∠DBC=36°，
∵∠A=∠ABD=36°，
∴△ABD 是等腰三角形．
∠BDC=∠A+∠ABD=36°+36°=72°=∠C，
∴△BDC 是等腰三角形．
∴共有 3 个等腰三角形．
故答案为：3．19
点睛：本题考查了等腰三角形的判定与性质及三角形内角和定理；求得角的度数是正确解答本题的关键．
23．【江苏省泰州市 2018 年中考数学试题】已知三角形两边的长分别为 1、5，第三边长为整数，则第三边
的长为_____．
【答案】5
点睛：此题主要是考查了三角形的三边关系，同时注意整数这一条件．
24．【江苏省淮安市 2018 年中考数学试题】如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=3，BC=5，分别以点 A、B
为圆心，大于 AB 的长为半径画弧，两弧交点分别为点 P、Q，过 P、Q 两点作直线交 BC 于点 D，则 CD 的长
是_____．
【答案】
【解析】分析：连接 AD 由 PQ 垂直平分线段 AB，推出 DA=DB，设 DA=DB=x，在 Rt△ACD 中，∠C=90°，根据
AD2=AC2+CD2 构建方程即可解决问题；
详解：连接 AD．20
点睛：本题考查基本作图，线段的垂直平分线的性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助
线，构造直角三角形解决问题．
三、解答题
25．【浙江省杭州市临安市 2018 年中考数学试卷】阅读下列题目的解题过程：
已知 a、b、c 为△ABC 的三边，且满足 a2c2﹣b2c2=a4﹣b4，试判断△ABC 的形状．
解：∵a2c2﹣b2c2=a4﹣b4 （A）
∴c2（a2﹣b2）=（a2+b2）（a2﹣b2） （B）
∴c2=a2+b2 （C）
∴△ABC 是直角三角形
问：（1）上述解题过程，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号： ；
（2）错误的原因为： ；
（3）本题正确的结论为： ．
【答案】（1）C；（2）没有考虑 a=b 的情况；（3）△ABC 是等腰三角形或直角三角形．
【解析】【分析】（1）根据题目中的书写步骤可以解答本题；
（2）根据题目中 B 到 C 可知没有考虑 a=b 的情况；21
（3）根据题意可以写出正确的结论．
【点睛】本题考查因式分解的应用、勾股定理的逆定理，解答本题的关键是明确题意，写出相应的结论，
注意考虑问题要全面．
26．【湖北省武汉市 2018 年中考数学试卷】如图，点 E、F 在 BC 上，BE=CF，AB=DC，∠B=∠C，AF 与 DE 交
于点 G，求证：GE=GF．
【答案】证明见解析.
【解析】【分析】求出 BF=CE，根据 SAS 推出△ABF≌△DCE，得对应角相等，由等腰三角形的判定可得结
论．
【详解】∵BE=CF，
∴BE+EF=CF+EF，
∴BF=CE，
在△ABF 和△DCE 中
，
∴△ABF≌△DCE（SAS），
∴∠GEF=∠GFE，
∴EG=FG．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，熟练掌握三角形全等的判定方法是解
题的关键．22
27．【广西壮族自治区桂林市 2018 年中考数学试题】如图，点 A、D、C、F 在同一条直线上，AD=CF，
AB=DE，BC=EF.
(1)求证：ΔABC≌△DEF；
(2)若∠A=55°，∠B=88°，求∠F 的度数.
【答案】（1）证明见解析；（2）37°
【解析】分析：（1）先证明 AC=DF，再运用 SSS 证明△ABC≌△DEF；
（2）根据三角形内角和定理可求∠ACB=37°，由（1）知∠F=∠ACB，从而可得结论.
点睛：本题考查三角形全等的判定方法和全等三角形的性质，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、
SAS、ASA、AAS、HL．
注意：AAA、SSA 不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应
相等时，角必须是两边的夹角．
28．【陕西省 2018 年中考数学试题】如图，AB∥CD，E、F 分别为 AB、CD 上的点，且 EC∥BF，连接 AD，分
别与 EC、BF 相交与点 G、H，若 AB＝CD，求证：AG＝DH．23
【答案】证明见解析.
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键.
29．【浙江省台州市 2018 年中考数学试题】如图，在 Rt△ABC 中，AC=BC，∠ACB=90°，点 D，E 分别在 AC，
BC 上，且 CD=CE．
（1）如图 1，求证：∠CAE=∠CBD；
（2）如图 2，F 是 BD 的中点，求证：AE⊥CF；
（3）如图 3，F，G 分别是 BD，AE 的中点，若 AC=2 ，CE=1，求△CGF 的面积．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）S△CFG= ．
【解析】分析：（1）直接判断出△ACE≌△BCD 即可得出结论；
（2）先判断出∠BCF=∠CBF，进而得出∠BCF=∠CAE，即可得出结论；
（3）先求出 BD=3，进而求出 CF= ，同理：EG= ，再利用等面积法求出 ME，进而求出 GM，最后用面积公式24
即可得出结论．
详解：（1）在△ACE 和△BCD 中，
，
∴△ACE≌△BCD，
∴∠CAE=∠CBD；
（2）如图 2，
（3）如图 3，
∵AC=2 ，
∴BC=AC=2 ，
∵CE=1，
∴CD=CE=1，
在 Rt△BCD 中，根据勾股定理得，BD= =3，
∵点 F 是 BD 中点，25
∴CF=DF= BD= ，
同理：EG= AE= ，
连接 EF，过点 F 作 FH⊥BC，
∵∠ACB=90°，点 F 是 BD 的中点，
∴FH= CD= ，
∴S△CEF= CE•FH= ×1× = ，
点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，三角形的中位线
定理，三角形的面积公式，勾股定理，作出辅助线求出△CFG 的边 CF 上的是解本题的关键．
30．【湖北省荆门市 2018 年中考数学试卷】如图，在 Rt△ABC 中，（M2，N2），∠BAC=30°，E 为 AB 边的中点，
以 BE 为边作等边△BDE，连接 AD，CD．
（1）求证：△ADE≌△CDB；
（2）若 BC= ，在 AC 边上找一点 H，使得 BH+EH 最小，并求出这个最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）BH+EH 的最小值为 3．
【解析】【分析】（1）只要证明△DEB 是等边三角形，再根据 SAS 即可证明；
（2）如图，作点 E 关于直线 AC 点 E'，连接 BE'交 AC 于点 H．则点 H 即为符合条件的点．26
（2）如图，作点 E 关于直线 AC 点 E'，连接 BE'交 AC 于点 H，则点 H 即为符合条件的点，
由作图可知：EH=HE'，AE'=AE，∠E'AC=∠BAC=30°，
∴∠EAE'=60°，
∴△EAE'为等边三角形，
∴E E'=EA= AB，
∴∠AE'B=90°，
在 Rt△ABC 中，∠BAC=30°，BC= ，
∴AB=2 ，A E'=AE= ，
∴B E'= =3，
∴BH+EH 的最小值为 3．
【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，轴对称中的最短路径问题、勾
股定理等，熟练掌握相关的性质与判定定理、利用轴对称添加辅助线确定最短路径问题是解题的关键.
31．【山东省淄博市 2018 年中考数学试题】（1）操作发现：如图①，小明画了一个等腰三角形 ABC，其中
AB=AC，在△ABC 的外侧分别以 AB，AC 为腰作了两个等腰直角三角形 ABD，ACE，分别取 BD，CE，BC 的中点
M，N，G，连接 GM，GN．小明发现了：线段 GM 与 GN 的数量关系是__________；位置关系是__________．
（2）类比思考：27
如图②，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形 ABC 换为一般的锐角三角形，其中 AB＞AC，其它
条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．
（3）深入研究：
如图③，小明在（2）的基础上，又作了进一步的探究．向△ABC 的内侧分别作等腰直角三角形 ABD，ACE，
其它条件不变，试判断△GMN 的形状，并给与证明．
【答案】（1）MG=NG； MG⊥NG；（2）成立，MG=NG，MG⊥NG；（3）答案见解析
详解：（1）连接 BE，CD 相交于 H，如图 1，
∵△ABD 和△ACE 都是等腰直角三角形，
∴AB=AD，AC=AE，∠BAD=∠CAE=90°
∴∠CAD=∠BAE，
∴△ACD≌△AEB（SAS），
∴CD=BE，∠ADC=∠ABE，
∴∠BDC+∠DBH=∠BDC+∠ABD+∠ABE=∠BDC+∠ABD+∠ADC=∠ADB+∠ABD=90°，28
（2）连接 CD，BE，相交于 H，如图 2，
同（1）的方法得，MG=NG，MG⊥NG；
（3）连接 EB，DC 并延长相交于点 H，如图 3.
同（1）的方法得，MG=NG，
同（1）的方法得，△ABE≌△ADC，
∴∠AEB=∠ACD，
∴∠CEH+∠ECH=∠AEH﹣∠AEC+180°﹣∠ACD﹣∠ACE=∠ACD﹣45°+180°﹣∠ACD﹣45°=90°，
∴∠DHE=90°，
同（1）的方法得，MG⊥NG．
∴△GMN 是等腰直角三角形.
点睛：此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定
和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．29
32．【黑龙江省哈尔滨市 2018 年中考数学试题】已知：在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 E，且
AC⊥BD，作 BF⊥CD，垂足为点 F，BF 与 AC 交于点 C，∠BGE=∠ADE．
（1）如图 1，求证：AD=CD；
（2）如图 2，BH 是△ABE 的中线，若 AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图 2 中
四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE 面积的 2 倍．
【答案】（1）证明见解析；（2）△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．
【解析】分析：（1）由 AC⊥BD、BF⊥CD 知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF 得出
∠DAE=∠GCF 即可得；
（2）设 DE=a，先得出 AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知 S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE
得 BE=AE=2a，再分别求出 S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．
（2）设 DE=a，
则 AE=2DE=2a，EG=DE=a，
∴S△ADE= AE×DE= ×2a×a=a2，
∵BH 是△ABE 的中线，
∴AH=HE=a，
∵AD=CD、AC⊥BD，
∴CE=AE=2a，
则 S△ADC= AC•DE= •（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE；30
点睛：本题主要考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握等腰三角形的判定与性质及全等三角形
的判定与性质．
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