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专题 4.4 圆
一、单选题
1．如图，点 A，B，C，D 都在半径为 2 的⊙O 上，若 OA⊥BC，∠CDA=30°，则弦 BC 的长为（ ）
A． 4 B． 2 C． D． 2
【来源】湖北省襄阳市 2018 年中考数学试卷
【答案】B
【点睛】本题考查的是垂径定理、圆周角定理，熟练掌握垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的
两条弧是解题的关键．
2．如图，AB 为⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，∠ADC=35°，则∠CAB 的度数为（ ）
A． 35° B． 45° C． 55° D． 65°
【来源】江苏省盐城市 2018 年中考数学试题
【答案】C2
【解析】分析：由同弧所对的圆周角相等可知∠B=∠ADC=35°；而由圆周角的推论不难得知∠ACB=90°，
则由∠CAB=90°-∠B 即可求得.
详解：∵∠ADC=35°，∠ADC 与∠B 所对的弧相同，
∴∠B=∠ADC=35°，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠CAB=90°-∠B=55°，
故选 C．
点睛：本题考查了同弧所对的圆周角相等以及直径所对的圆周角是直角等知识.
3．如图，AB 是⊙O 的直径，点 D 为⊙O 上一点，且∠ABD=30°，BO=4，则 的长为（ ）
A． B． C． 2π D．
【来源】湖北省黄石市 2018 年中考数学试卷
【答案】D
【解析】分析：先计算圆心角为 120°，根据弧长公式= ，可得结果．
详解：连接 OD，
∵∠ABD=30°，
∴∠AOD=2∠ABD=60°，
∴∠BOD=120°，
∴ 的长= = ，3
故选：D．
点睛：本题考查了弧长的计算和圆周角定理，熟练掌握弧长公式是关键，属于基础题．
4．如图，点 A、B、C 都在⊙O 上，若∠AOC=140°，则∠B 的度数是（ ）
A． 70° B． 80° C． 110° D． 140°
【来源】江苏省淮安市 2018 年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：作 对的圆周角∠APC，如图，利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°，然后根据圆周角定
理求∠AOC 的度数．
详解：作 对的圆周角∠APC，如图，
∵∠P= ∠AOC= ×140°=70°
∵∠P+∠B=180°，
∴∠B=180°﹣70°=110°，
故选：C．
点睛：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆
心角的一半．
5．如图，矩形 ABCD 中，G 是 BC 的中点，过 A、D、G 三点的圆 O 与边 AB、CD 分别交于点 E、点 F，给出下
列说法：（1）AC 与 BD 的交点是圆 O 的圆心；（2）AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心；（3）BC 与圆 O 相切，
其中正确说法的个数是（ ）4
A． 0 B． 1 C． 2 D． 3
【来源】江苏省无锡市 2018 年中考数学试题
【答案】C
详解：连接 DG、AG，作 GH⊥AD 于 H，连接 OD，如图，
∵G 是 BC 的中点，
∴AG=DG，
∴GH 垂直平分 AD，
∴点 O 在 HG 上，
∵AD∥BC，
∴HG⊥BC，
∴BC 与圆 O 相切；
∵OG=OD，
∴点 O 不是 HG 的中点，
∴圆心 O 不是 AC 与 BD 的交点；
而四边形 AEFD 为⊙O 的内接矩形，
∴AF 与 DE 的交点是圆 O 的圆心；
∴（1）错误，（2）（3）正确．
故选：C．
点睛：本题考查了三角形外接圆与外心：三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等；三角形的内心是三
角形三边垂直平分线的交点．也考查了切线的判定与矩形的性质．
6．如图，四边形 ABCD 内接于⊙O，点 I 是△ABC 的内心，∠AIC=124°，点 E 在 AD 的延长线上，则∠CDE
的度数为（ ）5
A． 56° B． 62° C． 68° D． 78°
【来源】山东省烟台市 2018 年中考数学试卷
【答案】B
【解析】分析：由点 I 是△ABC 的内心知∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，从而求得∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC），再利用圆内接四边形的外角等于内对角可得答案．
详解：∵点 I 是△ABC 的内心，
∴∠BAC=2∠IAC、∠ACB=2∠ICA，
∵∠AIC=124°，
∴∠B=180°﹣（∠BAC+∠ACB）
=180°﹣2（∠IAC+∠ICA）
=180°﹣2（180°﹣∠AIC）
=68°，
又四边形 ABCD 内接于⊙O，
∴∠CDE=∠B=68°，
故选：C．
点睛：本题主要考查三角形的内切圆与内心，解题的关键是掌握三角形的内心的性质及圆内接四边形的性
质．
7．正方形 ABCD 的边长为 2，以各边为直径在正方形内画半圆，得到如图所示阴影部分，若随机向正方形 ABCD
内投一粒米，则米粒落在阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
【来源】湖北省随州市 2018 年中考数学试卷6
【答案】A
【解析】【分析】求得阴影部分的面积后除以正方形的面积即可求得概率．
【详解】如图，连接 PA、PB、OP，
则 S 半圆 O= ，S△ABP= ×2×1=1，
由题意得：图中阴影部分的面积=4（S 半圆 O﹣S△ABP）
=4（ ﹣1）=2π﹣4，
∴米粒落在阴影部分的概率为 ，
故选 A．
【点睛】本题考查了几何概率的知识，解题的关键是求得阴影部分的面积．
8．如图，坐标平面上，A、B 两点分别为圆 P 与 x 轴、y 轴的交点，有一直线 L 通过 P 点且与 AB 垂直，C 点
为 L 与 y 轴的交点．若 A、B、C 的坐标分别为（a，0），（0，4），（0，﹣5），其中 a＜0，则 a 的值为何？
（ ）
A． ﹣2 B． ﹣2 C． ﹣8 D． ﹣7
【来源】台湾省 2018 年中考数学试卷
【答案】A
【解析】分析：连接 AC，根据线段垂直平分线的性质得到 AC=BC，根据勾股定理求出 OA，得到答案．
详解：连接 AC，7
点睛：本题考查的是垂径定理、坐标与图形的性质以及勾股定理，掌握垂径定理的推论是解题的关键．
9．如图，△ABC 中，D 为 BC 的中点，以 D 为圆心，BD 长为半径画一弧交 AC 于 E 点，若∠A=60°，∠
B=100°，BC=4，则扇形 BDE 的面积为何？（ ）
A． B． C． D．
【来源】台湾省 2018 年中考数学试卷
【答案】C8
点睛：本题考查扇形的面积公式、三角形内角和定理等知识，解题的关键是记住扇形的面积公式：
S= ．
10．如图，在正方形 ABCD 中，AB=12，点 E 为 BC 的中点，以 CD 为直径作半圆 CFD，点 F 为半圆的中点，连
接 AF，EF，图中阴影部分的面积是（ ）
A． 18+36π B． 24+18π C． 18+18π D． 12+18π
【来源】山东省威海市 2018 年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：作 FH⊥BC 于 H，连接 FH，如图，根据正方形的性质和切线的性质得 BE=CE=CH=FH=6，则利
用勾股定理可计算出 AE=6 ，通过 Rt△ABE≌△EHF 得∠AEF=90°，然后利用图中阴影部分的面积=S 正方形
ABCD+S 半圆﹣S△ABE﹣S△AEF 进行计算．9
点睛：本题考查了正多边形和圆：利用面积的和差计算不规则图形的面积．
11．如图, 是⊙ 的直径,弦 ⊥ 于点 , ,则 ( )
A． B． C． D．
【来源】湖南省张家界市 2018 年初中毕业学业考试数学试题
【答案】A
【解析】分析：根据垂径定理可得出 CE 的长度，在 Rt△OCE 中，利用勾股定理可得出 OE 的长度，再利用
AE=AO+OE 即可得出 AE 的长度．
详解：∵弦 CD⊥AB 于点 E，CD=8cm，10
∴CE= CD=4cm．
在 Rt△OCE 中，OC=5cm，CE=4cm，
∴OE= =3cm，
∴AE=AO+OE=5+3=8cm．
故选：A．
点睛：本题考查了垂径定理以及勾股定理，利用垂径定理结合勾股定理求出 OE 的长度是解题的关键．
12．如图，在⊙O 中，点 C 在优弧 上，将弧 沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D．若⊙O 的半径为 ，
AB=4，则 BC 的长是（ ）
A． B． C． D．
【来源】湖北省武汉市 2018 年中考数学试卷
【答案】B
【详解】连接 OD、AC、DC、OB、OC，作 CE⊥AB 于 E，OF⊥CE 于 F，如图，
∵D 为 AB 的中点，
∴OD⊥AB，
∴AD=BD= AB=2，
在 Rt△OBD 中，OD= =1，
∵将弧 沿 BC 折叠后刚好经过 AB 的中点 D，
∴弧 AC 和弧 CD 所在的圆为等圆，
∴ ，11
∴AC=DC，
∴AE=DE=1，
易得四边形 ODEF 为正方形，
∴OF=EF=1，
在 Rt△OCF 中，CF= =2，
∴CE=CF+EF=2+1=3，
而 BE=BD+DE=2+1=3，
∴BC=3 ，
故选 B．
【点睛】本题考查了圆周角定理、垂径定理、切线的性质，若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定
理图，得出垂直关系，熟练掌握相关的定理和性质是解题的关键.
13．如图所示，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点 A，线段 PO 交⊙O 于点 C，连结 BC，若∠P=36°，则∠B 等
于（ ）.
【来源】四川省眉山市 2018 年中考数学试题
【答案】A
【解析】分析：直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，再利用三角形内角和定理得出∠AOP=54°，结合圆
周角定理得出答案．
详解：∵PA 切⊙O 于点 A，
∴∠OAP=90°，
∵∠P=36°，
∴∠AOP=54°，
∴∠B=27°．12
故选：A．
点睛：此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出∠AOP 的度数是解题关键．
14．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A（4，0），B（0，3），C（4，3），I 是△ABC 的内心，将△ABC 绕原
点逆时针旋转 90°后，I 的对应点 I'的坐标为（ ）
A． （﹣2，3） B． （﹣3，2） C． （3，﹣2） D． （2，﹣3）
【来源】湖北省荆门市 2018 年中考数学试卷
【答案】A
【解析】【分析】直接利用直角三角形的性质得出其内切圆半径，进而得出 I 点坐标，再利用旋转的性质得
出对应点坐标．
【详解】过点作 IF⊥AC 于点 F，IE⊥OA 于点 E，
∵A（4，0），B（0，3），C（4，3），
∴BC=4，AC=3，
则 AB=5，
∵I 是△ABC 的内心，
∴I 到△ABC 各边距离相等，等于其内切圆的半径，
∴IF=1，故 I 到 BC 的距离也为 1，
则 AE=1，
故 IE=3﹣1=2，
OE=4﹣1=3，
则 I（3，2），
∵△ABC 绕原点逆时针旋转 90°，
∴I 的对应点 I'的坐标为：（﹣2，3），
故选 A．13
【点睛】本题考查了直角三角形的内心、旋转的性质，根据直角三角形内心的性质得出其内心 I 的坐标是
解题的关键.
15．如图，在 中， ， ， ，以点 B 为圆心，BC 长为半径画弧，交 AB 于点
D，则 的长为
A． B． C． D．
【来源】浙江省宁波市 2018 年中考数学试卷
【答案】C
【点睛】本题考查了弧长公式的运用和含 30 度角的直角三角形性质，熟练掌握弧长公式是解题的关键.弧
长公式： 弧长为 l，圆心角度数为 n，圆的半径为 ．
16．如图，分别以等边三角形 ABC 的三个顶点为圆心，以边长为半径画弧，得到的封闭图形是莱洛三角形，
若 AB=2，则莱洛三角形的面积（即阴影部分面积）为（ ）14
A． B． C． 2 D． 2
【来源】广西钦州市 2018 年中考数学试卷
【答案】D
【解析】【分析】莱洛三角形的面积是由三块相同的扇形叠加而成，其面积=三块扇形的面积相加，再减去
两个等边三角形的面积，分别求出即可．
【详解】过 A 作 AD⊥BC 于 D，
∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=AC=BC=2，∠BAC=∠ABC=∠ACB=60°，
∵AD⊥BC，
∴BD=CD=1，AD= BD= ，
∴△ABC 的面积为 BC•AD= = ，
S 扇形 BAC= = ，
∴莱洛三角形的面积 S=3× ﹣2× =2π﹣2 ，
故选 D．
【点睛】本题考查了等边三角形的性质和扇形的面积计算，能根据图形得出莱洛三角形的面积=三块扇形的
面积相加、再减去两个等边三角形的面积是解此题的关键．
17．⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 5 和 2，O1O2=3，则⊙O1 和⊙O2 的位置关系是（ ）
A． 内含 B． 内切 C． 相交 D． 外切
【来源】江苏省徐州巿 2018 年中考数学试卷
【答案】B15
【解析】【分析】根据两圆圆心距与半径之间的数量关系即可判断⊙O1 与⊙O2 的位置关系．
【详解】∵⊙O1 和⊙O2 的半径分别为 5 和 2，O1O2=3，
则 5﹣2=3，
∴⊙O1 和⊙O2 内切，
故选 B．
【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．设两圆的半径分别为 R 和 r，且 R≥r，圆心
距为 P：外离 P＞R+r；外切 P=R+r；相交 R﹣r＜P＜R+r；内切 P=R﹣r；内含 P＜R﹣r．
18．已知⊙O 的半径为 5cm，圆心 O 到直线 l 的距离为 5cm，则直线 l 与⊙O 的位置关系为（ ）
A． 相交 B． 相切 C． 相离 D． 无法确定
【来源】湖南省湘西州 2018 年中考数学试卷
【答案】B
【解析】【分析】根据圆心到直线的距离 5 等于圆的半径 5，即可判断直线和圆相切．
【详解】∵圆心到直线的距离 5cm=5cm，
∴直线和圆相切，
故选 B．
【点睛】本题考查了直线与圆的关系，解题的关键是能熟练根据数量之间的关系判断直线和圆的位置关
系．若 d＜r，则直线与圆相交；若 d=r，则直线于圆相切；若 d＞r，则直线与圆相离．
二、填空题
19．如图，AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上的点，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 D．若∠A=32°，则∠
D=_____度．
【来源】浙江省台州市 2018 年中考数学试题
【答案】26
【解析】分析：连接 OC，根据圆周角定理得到∠COD=2∠A，根据切线的性质计算即可．
详解：连接 OC，16
点睛：本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
20．如图，正方形 ABCD 的边长为 8，M 是 AB 的中点，P 是 BC 边上的动点，连结 PM，以点 P 为圆心，PM 长
为半径作 当 与正方形 ABCD 的边相切时，BP 的长为______．
【来源】浙江省宁波市 2018 年中考数学试卷
【答案】3 或
【解析】【分析】分两种情况： 与直线 CD 相切、 与直线 AD 相切，分别画出图形进行求解即可得.
【详解】如图 1 中，当 与直线 CD 相切时，设 ，
在 中， ，
，
，
， ；
如图 2 中当 与直线 AD 相切时，设切点为 K，连接 PK，则 ，四边形 PKDC 是矩形，17
，
， ，
在 中， ，
综上所述，BP 的长为 3 或 ．
【点睛】本题考查切线的性质、正方形的性质、勾股定理等知识，会用分类讨论的思想思考问题，会利用
参数构建方程解决问题是关键．
21．如图，在平行四边形 ABCD 中，AB＜AD，∠D=30°，CD=4，以 AB 为直径的⊙O 交 BC 于点 E，则阴影部
分的面积为_____．
【来源】湖北省荆门市 2018 年中考数学试卷
【答案】
【解析】【分析】连接半径和弦 AE，根据直径所对的圆周角是直角得：∠AEB=90°，继而可得 AE 和 BE 的长，
所以图中弓形的面积为扇形 OBE 的面积与△OBE 面积的差，因为 OA=OB，所以△OBE 的面积是△ABE 面积的
一半，可得结论．
【详解】如图，连接 OE、AE，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠AEB=90°，
∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=CD=4，∠B=∠D=30°，
∴AE= AB=2，BE= =2 ，
∵OA=OB=OE，18
∴∠B=∠OEB=30°，
∴∠BOE=120°，
∴S 阴影=S 扇形 OBE﹣S△BOE
=
= ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了扇形的面积计算、平行四边形的性质，含 30 度角的直角三角形的性质等，求出扇形 OBE
的面积和△ABE 的面积是解本题的关键．
22．用一块圆心角为 216°的扇形铁皮，做一个高为 40cm 的圆锥形工件（接缝忽略不计），那么这个扇形铁
皮的半径是_____cm．
【来源】山东省聊城市 2018 年中考数学试题
【答案】50
【解析】
分析：设这个扇形铁皮的半径为 Rcm，圆锥的底面圆的半径为 rcm，根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个
扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．和弧长公式得到 2πr= ，解得
r= R，然后利用勾股定理得到 402+（ R）2=R2，最后解方程即可．
详解：设这个扇形铁皮的半径为 Rcm，
圆锥的底面圆的半径为 rcm，
根据题意得 2πr= ，解得 r= R，
因为 402+（ R）2=R2，解得 R=50．
所以这个扇形铁皮的半径为 50cm．
故答案为 50．
点睛：本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形19
的半径等于圆锥的母线长．
23．已知 的半径为 ， ， 是 的两条弦， ， ， ，则弦 和 之
间的距离是__________ ．
【来源】湖北省孝感市 2018 年中考数学试题
【答案】2 或 14
详解：①当弦 AB 和 CD 在圆心同侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AE=8cm，CF=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴EO=6cm，OF=8cm，
∴EF=OF-OE=2cm；
②当弦 AB 和 CD 在圆心异侧时，如图，
∵AB=16cm，CD=12cm，
∴AF=8cm，CE=6cm，
∵OA=OC=10cm，
∴OF=6cm，OE=8cm，
∴EF=OF+OE=14cm．
∴AB 与 CD 之间的距离为 14cm 或 2cm．
故答案为：2 或 14．
点睛：本题考查了勾股定理和垂径定理的应用．此题难度适中，解题的关键是注意掌握数形结合思想与分
类讨论思想的应用，小心别漏解．
24．如图，方格纸上每个小正方形的边长均为 1 个单位长度，点 O，A，B，C 在格点（两条网格线的交点叫20
格点）上，以点 O 为原点建立直角坐标系，则过 A，B，C 三点的圆的圆心坐标为_____．
【来源】山东省烟台市 2018 年中考数学试卷
【答案】（-1，-2）
【解析】分析：连接 CB，作 CB 的垂直平分线，根据勾股定理和半径相等得出点 O 的坐标即可．
详解：连接 CB，作 CB 的垂直平分线，如图所示：
在 CB 的垂直平分线上找到一点 D，
CD═DB=DA= ，
所以 D 是过 A，B，C 三点的圆的圆心，
即 D 的坐标为（﹣1，﹣2），
故答案为：（﹣1，﹣2），
点睛：此题考查垂径定理，关键是根据垂径定理得出圆心位置．
25．如图，点 ， ， ， 在 上， ， ， ，则 ________．
【来源】北京市 2018 年中考数学试卷
【答案】70°
【 解 析 】 分 析 ： 根 据 = ， 得 到 ， 根 据 同 弧 所 对 的 圆 周 角 相 等 即 可 得 到21
，根据三角形的内角和即可求出.
详解：∵ = ，
∴ ，
∴ ，
∵ ，∴ ．
故答案为：
点睛：考查圆周角定理和三角形的内角和定理，熟练掌握圆周角定理是解题的关键.
26．在 Rt△ABC 中，AB=1，∠A=60°，∠ABC=90°，如图所示将 Rt△ABC 沿直线 l 无滑动地滚动至
Rt△DEF，则点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积为_____．（结果不取近似值）
【来源】湖北省恩施州 2018 年中考数学试题
【答案】 π+ ．
【解析】分析：先得到∠ACB=30°，BC= ，利用旋转的性质可得到点 B 路径分部分：第一部分为以直角三
角形 30°的直角顶点为圆心， 为半径，圆心角为 150°的弧长；第二部分为以直角三角形 60°的直角顶
点为圆心，1 为半径，圆心角为 120°的弧长，第三部分为△ABC 的面积；然后根据扇形的面积公式计算点 B
所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积．
详解：∵Rt△ABC 中，∠A=60°，∠ABC=90°，
∴∠ACB=30°，BC= ，
将 Rt△ABC 沿直线 l 无滑动地滚动至 Rt△DEF，点 B 路径分部分：第一部分为以直角三角形 30°的直角顶
点为圆心， 为半径，圆心角为 150°的弧长；第二部分为以直角三角形 60°的直角顶点为圆心，1 为半径，
圆心角为 120°的弧长；第三部分为△ABC 的面积.
∴点 B 所经过的路径与直线 l 所围成的封闭图形的面积
= ．
故答案为 ．
点睛：本题考查了轨迹：利用特殊几何图形描述点运动的轨迹，然后利用几何性质计算相应的几何量．
27．如图，△ABC 是等腰直角三角形，∠ACB=90°，AC=BC=2，把△ABC 绕点 A 按顺时针方向旋转 45°后得22
到△AB′C′，则线段 BC 在上述旋转过程中所扫过部分（阴影部分）的面积是________.
【来源】四川省眉山市 2018 年中考数学试题
【答案】
点睛：本题考查了扇形面积的计算：阴影面积的主要思路是将不规则图形面积转化为规则图形的面积．也
考查了等腰直角三角形的性质和旋转的性质．
28．如图，△ABC 中，∠ACB=90°，sinA= ，AC=12，将△ABC 绕点 C 顺时针旋转 90°得到△A'B'C，P 为
线段 A′B'上的动点，以点 P 为圆心，PA′长为半径作⊙P，当⊙P 与△ABC 的边相切时，⊙P 的半径为
_____．
【来源】江苏省泰州市 2018 年中考数学试题23
【答案】 或
【解析】分析：分两种情形分别求解：如图 1 中，当⊙P 与直线 AC 相切于点 Q 时，如图 2 中，当⊙P 与 AB
相切于点 T 时，
详解：如图 1 中，当⊙P 与直线 AC 相切于点 Q 时，连接 PQ．
设 PQ=PA′=r，
∵PQ∥CA′，
∴ ，
∴ ，
∴r= ．
如图 2 中，当⊙P 与 AB 相切于点 T 时，易证 A′、B′、T 共线，
∵△A′BT∽△ABC，
∴ ，
∴ ，24
∴A′T= ，
∴r= A′T= ．
综上所述，⊙P 的半径为 或 ．
点睛：本题考查切线的性质、勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的判定和性质、平行线分线段成比例
定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．
29．如图，已知△ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，连结 OB，OD．若∠ABC=40°，则∠BOD 的度数是
_____．
【来源】浙江省湖州市 2018 年中考数学试题
【答案】70°
【解析】分析：先根据三角形内心的性质和切线的性质得到 OB 平分∠ABC，OD⊥BC，则∠OBD= ∠
ABC=20°，然后利用互余计算∠BOD 的度数．
详解：∵△ABC 的内切圆⊙O 与 BC 边相切于点 D，
∴OB 平分∠ABC，OD⊥BC，
∴∠OBD= ∠ABC= ×40°=20°，
∴∠BOD=90°-∠OBD=70°．
故答案为 70°．
点睛：本题考查了三角形内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形
顶点的连线平分这个内角．也考查了等腰三角形的判定与性质和三角形的外接圆．
30．如图，在扇形 CAB 中，CD⊥AB，垂足为 D，⊙E 是△ACD 的内切圆，连接 AE，BE，则∠AEB 的度数为
__．25
【来源】山东省威海市 2018 年中考数学试题
【答案】135°．
【解析】分析：如图，连接 EC．首先证明∠AEC=135°，再证明△EAC≌△EAB 即可解决问题.
详解：如图，连接 EC．
点睛：本题考查三角形的内心、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构
造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
三、解答题
31．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，AB=4，点 F，C 是⊙O 上两点，连接 AC，AF，OC，弦 AC 平分∠FAB，∠
BOC=60°，过点 C 作 CD⊥AF 交 AF 的延长线于点 D，垂足为点 D．26
（1）求扇形 OBC 的面积（结果保留）；
（2）求证：CD 是⊙O 的切线．
【来源】湖南省怀化市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）S 扇形 OBC= ；（2）证明见解析.
【解析】分析：（1）由扇形的面积公式即可求出答案．
（2）易证∠FAC=∠ACO，从而可知 AD∥OC，由于 CD⊥AF，所以 CD⊥OC，所以 CD 是⊙O 的切线．
详解：（1）∵AB=4，
∴OB=2
∵∠COB=60°，
∴S 扇形 OBC= .
（2）∵AC 平分∠FAB，
∴∠FAC=∠CAO，
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠CAO
∴∠FAC=∠ACO
∴AD∥OC，
∵CD⊥AF，
∴CD⊥OC
∵C 在圆上，
∴CD 是⊙O 的切线
点睛：本题考查圆的综合问题，解题的关键是熟练运用扇形面积公式以及切线的判定方法，本题属于中等
题型．
32．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 切⊙O 于点 A，BC 交⊙O 于点 D．已知⊙O 的半径为 6，∠C=40°．
（1）求∠B 的度数．27
（2）求 的长．（结果保留π）
【来源】吉林省长春市 2018 年中考数学试卷
【答案】(1)50°;(2) .
【解析】【分析】（1）根据切线的性质求出∠A=90°，根据三角形内角和定理求出即可；
（2）根据圆周角定理求出∠AOD，根据弧长公式求出即可．
【详解】（1）∵AC 切⊙O 于点 A，
∠BAC=90°，
∵∠C=40°，
∴∠B=50°；
（2）如图，连接 OD，
∵∠B=50°，
∴∠AOD=2∠B=100°，
∴ 的长为 ．
【点睛】本题考查了切线的性质、圆周角定理、弧长公式等，熟练掌握切线的性质、圆周角定理以及弧长
公式等知识是解题的关键.
33．已知 BC 是⊙O 的直径，点 D 是 BC 延长线上一点，AB=AD，AE 是⊙O 的弦，∠AEC=30°．
（1）求证：直线 AD 是⊙O 的切线；
（2）若 AE⊥BC，垂足为 M，⊙O 的半径为 4，求 AE 的长．28
【来源】湖南省郴州市 2018 年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2） .
【解析】【分析】（1）先求出∠ABC=30°，进而求出∠BAD=120°，即可求出∠OAB=30°，结论得证；
（2）先求出∠AOC=60°，用三角函数求出 AM，再用垂径定理即可得出结论．
（2）连接 OA，∵∠AEC=30°，
∴∠AOC=60°，
∵BC⊥AE 于 M，
∴AE=2AM，∠OMA=90°，
在 Rt△AOM 中，AM=OA•sin∠AOM=4×sin60°=2 ，
∴AE=2AM=4 ．29
【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂径定理，切线的判定，锐角三角函数，三角形内角和定理，圆
周角定理等，熟练掌握和运用相关的定理与性质是解本题的关键．
34．如图，CD 是⊙O 的切线，点 C 在直径 AB 的延长线上．
（1）求证：∠CAD=∠BDC；
（2）若 BD= AD，AC=3，求 CD 的长．
【来源】山东省东营市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）CD=2．
【解析】分析：（1）连接 OD，由 OB=OD 可得出∠OBD=∠ODB，根据切线的性质及直径所对的圆周角等于 180°，
利用等角的余角相等，即可证出∠CAD=∠BDC；
（2）由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB 可得出△CDB∽△CAD，根据相似三角形的性质结合 BD= AD、AC=3，即可求
出 CD 的长．
详（1）证明：连接 OD，如图所示．
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB．
∵CD 是⊙O 的切线，OD 是⊙O 的半径，
∴∠ODB+∠BDC=90°．30
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠OBD+∠CAD=90°，
∴∠CAD=∠BDC．
（2）∵∠C=∠C，∠CAD=∠CDB，
∴△CDB∽△CAD，
∴ ．
∵BD= AD，
∴ ，
∴ ，
又∵AC=3，
∴CD=2．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定义以及切线的性质，解题的关键是：（1）利用等角
的余角相等证出∠CAD=∠BDC；（2）利用相似三角形的性质找出 ．
35．如图，AB 是⊙O 的直径，ED 切⊙O 于点 C，AD 交⊙O 于点 F，∠AC 平分∠BAD，连接 BF．
（1）求证：AD⊥ED；
（2）若 CD=4，AF=2，求⊙O 的半径．
【来源】云南省昆明市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）⊙O 的半径为 ．
【解析】分析：（1）连接 OC，如图，先证明 OC∥AD，然后利用切线的性质得 OC⊥DE，从而得到 AD⊥ED；
（2）OC 交 BF 于 H，如图，利用圆周角定理得到∠AFB=90°，再证明四边形 CDFH 为矩形得到 FH=CD=4，∠
CHF=90°，利用垂径定理得到 BH=FH=4，然后利用勾股定理计算出 AB，从而得到⊙O 的半径．
详（1）证明：连接 OC，如图，31
∵AC 平分∠BAD，
∴∠1=∠2，
∵OA=OC，
∴∠1=∠3，
∴∠2=∠3，
∴OC∥AD，
∵ED 切⊙O 于点 C，
∴OC⊥DE，
∴AD⊥ED；
点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，
构造定理图，得出垂直关系．也考查了垂径定理和圆周角定理．
36．如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，点 D 在 上，点 E 在弦 AB 上（E 不与 A 重合），且四边形 BDCE 为
菱形．
（1）求证：AC=CE；32
（2）求证：BC2﹣AC2=AB•AC；
（3）已知⊙O 的半径为 3．
①若 = ，求 BC 的长；
②当 为何值时，AB•AC 的值最大？
【来源】浙江省台州市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）①BC=4 ；②
【解析】分析：（1）由菱形知∠D=∠BEC，由∠A+∠D=∠BEC+∠AEC=180°可得∠A=∠AEC，据此得证；
（2）以点 C 为圆心，CE 长为半径作⊙C，与 BC 交于点 F，于 BC 延长线交于点 G，则 CF=CG=AC=CE=CD，证△BEF
∽△BGA 得 ，即 BF•BG=BE•AB，将 BF=BC-CF=BC-AC、BG=BC+CG=BC+AC 代入可得；
（3）①设 AB=5k、AC=3k，由 BC2-AC2=AB•AC 知 BC=2 k，连接 ED 交 BC 于点 M，Rt△DMC 中由 DC=AC=3k、MC=
BC= k 求得 DM= = k，可知 OM=OD-DM=3- k，在 Rt△COM 中，由 OM2+MC2=OC2 可得答案．②设
OM=d，则 MD=3-d，MC 2=OC2-OM2=9-d2，继而知 BC2=（2MC） 2=36-4d2、AC2=DC2=DM2+CM2=（3-d） 2+9-d2，由
（2）得 AB•AC=BC2-AC2，据此得出关于 d 的二次函数，利用二次函数的性质可得答案．
详解：（1）∵四边形 EBDC 为菱形，
∴∠D=∠BEC，
∵四边形 ABDC 是圆的内接四边形，
∴∠A+∠D=180°，
又∠BEC+∠AEC=180°，
∴∠A=∠AEC，
∴AC=CE；
（2）以点 C 为圆心，CE 长为半径作⊙C，与 BC 交于点 F，于 BC 延长线交于点 G，则 CF=CG，33
由（1）知 AC=CE=CD，
∴CF=CG=AC，
∵四边形 AEFG 是⊙C 的内接四边形，
∴∠G+∠AEF=180°，
又∵∠AEF+∠BEF=180°，
∴∠G=∠BEF，
∵∠EBF=∠GBA，
∴△BEF∽△BGA，
∴ ，即 BF•BG=BE•AB，
∵BF=BC﹣CF=BC﹣AC、BG=BC+CG=BC+AC，BE=CE=AC，
∴（BC﹣AC）（BC+AC）=AB•AC，即 BC2﹣AC2=AB•AC；
（3）设 AB=5k、AC=3k，
∵BC2﹣AC2=AB•AC，
∴BC=2 k，
连接 ED 交 BC 于点 M，
∵四边形 BDCE 是菱形，
∴DE 垂直平分 BC，
则点 E、O、M、D 共线，
在 Rt△DMC 中，DC=AC=3k，MC= BC= k，
∴DM= ，
∴OM=OD﹣DM=3﹣ k，
在 Rt△COM 中，由 OM2+MC2=OC2 得（3﹣ k）2+（ k）2=32，
解得：k= 或 k=0（舍），34
∴BC=2 k=4 ；
点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆的有关性质、圆内接四边形的性质及菱形的性质、
相似三角形的判定与性质、二次函数的性质等知识点．
37．如图 1，直线 l： 与 x 轴交于点 ，与 y 轴交于点 B，点 C 是线段 OA 上一动点
以点 A 为圆心，AC 长为半径作 交 x 轴于另一点 D，交线段 AB 于点 E，连结 OE 并延长交
于点 F．
求直线 l 的函数表达式和 的值；
如图 2，连结 CE，当 时，
求证： ∽ ；
求点 E 的坐标；
当点 C 在线段 OA 上运动时，求 的最大值．
【来源】浙江省宁波市 2018 年中考数学试卷35
【答案】（1）直线 l 的函数表达式 ， ； 证明见解析； E ；
最大值为 ．
【解析】【分析】 利用待定系数法求出 b 即可得出直线 l 表达式，即可求出 OA，OB，即可得出结论；
先判断出 ，进而得出 ，即可得出结论；
设出 ， ，进而得出点 E 坐标，即可得出 OE 的平方，再根据 的相似得出比例式得出 OE
的平方，建立方程即可得出结论；
利用面积法求出 OG，进而得出 AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．
【详解】（1） 直线 l： 与 x 轴交于点 ，
，
，
直线 l 的函数表达式 ，
，
， ，
在 中， ；
如图 2，连接 DF， ，
，
，
，
，
四边形 CEFD 是 的圆内接四边形，
，
，
，
∽ ，
过点 于 M，
由 知， ，
设 ，则 ，36
， ，
， ，
，
由 知， ∽ ，
，
，
，
，
，
舍 或 ，
， ，
；
如图，设 的半径为 r，过点 O 作 于 G，
， ，
， ，
，37
【点睛】本题是圆的综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定
理等，熟练掌握相似三角形的判定与性质、锐角三角函数等知识，运用数理结合思想，正确添加辅助线进
行图形构建是解本题的关键．
38．如图，AB 为⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，经过点 C 的切线交 AB 的延长线于点 E，AD⊥EC 交 EC 的延长
线于点 D，AD 交⊙O 于 F，FM⊥AB 于 H，分别交⊙O、AC 于 M、N，连接 MB，BC．
（1）求证：AC 平分∠DAE；
（2）若 cosM= ，BE=1，①求⊙O 的半径；②求 FN 的长．
【来源】湖北省荆门市 2018 年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）①⊙O 的半径为 4；②FN= ．
【解析】【分析】（1）连接 OC，如图，利用切线的性质得 OC⊥DE，则判断 OC∥AD 得到∠1=∠3，加上∠2=∠38
3，从而得到∠1=∠2；
（2）①利用圆周角定理和垂径定理得到 ，则∠COE=∠FAB，所以∠FAB=∠M=∠COE，设⊙O 的半径为
r，然后在 Rt△OCE 中利用余弦的定义得到 ，从而解方程求出 r 即可；
②连接 BF，如图，先在 Rt△AFB 中利用余弦定义计算出 AF= ，再计算出 OC=3，接着证明△AFN∽△AEC，
然后利用相似比可计算出 FN 的长．
【详解】（1）连接 OC，如图，
∵直线 DE 与⊙O 相切于点 C，
∴OC⊥DE，
又∵AD⊥DE，
∴OC∥AD．
∴∠1=∠3
∵OA=OC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AC 平方∠DAE；
（2）①∵AB 为直径，
∴∠AFB=90°，
而 DE⊥AD，
∴BF∥DE，
∴OC⊥BF，
∴ ，
∴∠COE=∠FAB，
而∠FAB=∠M，
∴∠COE=∠M，
设⊙O 的半径为 r，
在 Rt△OCE 中，cos∠COE= ，即 ，解得 r=4，
即⊙O 的半径为 4；
②连接 BF，如图，39
在 Rt△AFB 中，cos∠FAB= ，
∴AF=8× ，
在 Rt△OCE 中，OE=5，OC=4，
∴CE=3，
∵AB⊥FM，
∴ ，
∴∠5=∠4，
∵FB∥DE，
∴∠5=∠E=∠4，
∵ ，
∴∠1=∠2，
∴△AFN∽△AEC，
∴ ，即 ，
∴FN= ．
【点睛】本题考查了切线的性质、垂径定理、圆周角定理和相似三角形的判定与性质等，综合性较强，正
确添加辅助线、熟练应用相关的性质与定理是解题的关键.
39．如图， 中， ，以 为直径的 交 于点 ，交 于点 ，过点 作 于点 ，交
的延长线于点 .40
（1）求证： 是 的切线；
（2）已知 ， ，求 和 的长.
【来源】湖北省孝感市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）
详解：（1）如图，连接 OD，AD，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，即 AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
又∵OA=OB，
∴OD∥AC，
∵DG⊥AC，
∴OD⊥FG，
∴直线 FG 与⊙O 相切，即 DF 是⊙O 的切线；
（2）如图，连接 BE．∵BD=2 ，41
∴CD＝BD＝2 ，
∵CF=2，
∴DF= =4，
∴BE=2DF=8，
∵cos∠C=cos∠ABC，
∴ ，
∴ ，
∴AB=10，
∴AE= ，
∵BE⊥AC，DF⊥AC，
∴BE∥GF，
∴△AEB∽△AFG，
∴ ，
∴ ，
∴BG= ．
点睛：本题主要考查圆的切线的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质及中位线定理等知识点，熟
练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质是解题的关键．
40．已知：如图，以等边△ABC 的边 BC 为直径作⊙O，分别交 AB，AC 于点 D，E，过点 D 作 DF⊥AC 交 AC 于
点 F．
（1）求证：DF 是⊙O 的切线；
（2）若等边△ABC 的边长为 8，求由 、DF、EF 围成的阴影部分面积．
【来源】四川省达州市 2018 年中考数学试题42
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】分析：（1）连接 CD、OD，先利用等腰三角形的性质证 AD=BD，再证 OD 为△ABC 的中位线得 DO∥
AC，根据 DF⊥AC 可得；
（2）连接 OE、作 OG⊥AC，求出 EF、DF 的长及∠DOE 的度数，根据阴影部分面积=S 梯形 EFDO-S 扇形 DOE 计算可
得．
详解：（1）如图，连接 CD、OD，
∵BC 是⊙O 的直径，
∴∠CDB=90°，即 CD⊥AB，
又∵△ABC 是等边三角形，
∴AD=BD，
∵BO=CO，
∴DO 是△ABC 的中位线，
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，
∴DF⊥OD，
∴DF 是⊙O 的切线；
（2）连接 OE、作 OG⊥AC 于点 G，
∴∠OGF=∠DFG=∠ODF=90°，
∴四边形 OGFD 是矩形，
∴FG=OD=4，
∵OC=OE=OD=OB，且∠COE=∠B=60°，
∴△OBD 和△OCE 均为等边三角形，43
点睛：本题主要考查了切线的判定与性质，等边三角形的性质，垂径定理等知识．判断直线和圆的位置关
系，一般要猜想是相切，再证直线和半径的夹角为 90°即可．注意利用特殊的三角形和三角函数来求得相
应的线段长．
41．如图，在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BE 平分∠ABC 交 AC 于点 E，作 ED⊥EB 交 AB 于点 D，⊙O 是△BED 的
外接圆．
（1）求证：AC 是⊙O 的切线；
（2）已知⊙O 的半径为 2.5，BE=4，求 BC，AD 的长．
【来源】山东省聊城市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）BC= ，AD= ．
【解析】分析：（1）连接 OE，由 OB=OE 知∠OBE=∠OEB、由 BE 平分∠ABC 知∠OBE=∠CBE，据此得∠OEB=∠
CBE，从而得出 OE∥BC，进一步即可得证；
（2）证△BDE∽△BEC 得 ，据此可求得 BC 的长度，再证△AOE∽△ABC 得 ，据此可得 AD 的
长．
详解：（1）如图，连接 OE，44
∵OB=OE，
∴∠OBE=∠OEB，
∵BE 平分∠ABC，
∴∠OBE=∠CBE，
∴∠OEB=∠CBE，
∴OE∥BC，
又∵∠C=90°，
∴∠AEO=90°，即 OE⊥AC，
∴AC 为⊙O 的切线；
（2）∵ED⊥BE，
∴∠BED=∠C=90°，
又∵∠DBE=∠EBC，
∴△BDE∽△BEC，
∴ ，即 ，
∴BC= ；
∵∠AEO=∠C=90°，∠A=∠A，
∴△AOE∽△ABC，
∴ ，即 ，
解得：AD= ．
点睛：本题主要考查切线的判定与性质，解题的关键是掌握切线的判定与性质及相似三角形的判定与性
质．
42．如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 为⊙O 上一点，CN 为⊙O 的切线，OM⊥AB 于点 O，分别交 AC、CN 于 D、M
两点．
（1）求证：MD=MC；45
（2）若⊙O 的半径为 5，AC=4 ，求 MC 的长．
【来源】湖北省随州市 2018 年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）MC= .
【解析】【分析】（1）连接 OC，利用切线的性质证明即可；
（2）根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理解答即可．
【详解】（1）连接 OC，
∵CN 为⊙O 的切线，
∴OC⊥CM，∠OCA+∠ACM=90°，
∵OM⊥AB，
∴∠OAC+∠ODA=90°，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠ACM=∠ODA=∠CDM，
∴MD=MC；
（2）由题意可知 AB=5×2=10，AC=4 ，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°，
∴BC= =2 ，
∵∠AOD=∠ACB，∠A=∠A，
∴△AOD∽△ACB，46
∴ ，即 ，
可得：OD=2.5，
设 MC=MD=x，在 Rt△OCM 中，由勾股定理得：（x+2.5）2=x2+52，
解得：x= ，
即 MC= ．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，准确添加辅助线，
正确寻找相似三角形是解决问题的关键.
43．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，切点为 A，BC 交⊙O 于点 D，点 E 是 AC 的中点．
（1）试判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由；
（2）若⊙O 的半径为 2，∠B=50°，AC=4.8，求图中阴影部分的面积．
【来源】江苏省淮安市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）直线 DE 与⊙O 相切．理由见解析；（2）图中阴影部分的面积为 4.8﹣ π．
详解：（1）直线 DE 与⊙O 相切．理由如下：
连接 OE、OD，如图，
∵AC 是⊙O 的切线，
∴AB⊥AC，
∴∠OAC=90°，47
∵点 E 是 AC 的中点，O 点为 AB 的中点，
∴OE∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠3，
∵OB=OD，
∴∠B=∠3，
∴∠1=∠2，
在△AOE 和△DOE 中
，
∴△AOE≌△DOE，
∴∠ODE=∠OAE=90°，
∴OA⊥AE，
∴DE 为⊙O 的切线；
（2）∵点 E 是 AC 的中点，
∴AE= AC=2.4，
∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°，
∴图中阴影部分的面积=2× ×2×2.4﹣ ．
点睛：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，
得出垂直关系．也考查了圆周角定理和扇形的面积公式．
44．如图，在以线段 AB 为直径的⊙O 上取一点，连接 AC、BC．将△ABC 沿 AB 翻折后得到△ABD．
（1）试说明点 D 在⊙O 上；
（2）在线段 AD 的延长线上取一点 E，使 AB2=AC·AE.求证：BE 为⊙O 的切线；48
（3）在（2）的条件下，分别延长线段 AE、CB 相交于点 F，若 BC=2，AC=4，求线段 EF 的长.
【来源】江苏省盐城市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）EF=
【解析】分析：（1）由翻折知△ABC≌△ABD，得∠ADB=∠C=90°，据此即可得；
（2）由 AB=AD 知 AB2=AD•AE，即 ，据此可得△ABD∽△AEB，即可得出∠ABE=∠ADB=90°，从而得证；
（3）由 知 DE=1、BE= ，证△FBE∽△FAB 得 ，据此知 FB=2FE，在Rt△ACF 中根据 AF2=AC2+CF2
可得关于 EF 的一元二次方程，解之可得．
详解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，
∴∠C=90°，
∵将△ABC 沿 AB 翻折后得到△ABD，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠ADB=∠C=90°，
∴点 D 在以 AB 为直径的⊙O 上；
（2）∵△ABC≌△ABD，
∴AC=AD，
∵AB2=AC•AE，
∴AB2=AD•AE，即 ，
∵∠BAD=∠EAB，
∴△ABD∽△AEB，
∴∠ABE=∠ADB=90°，
∵AB 为⊙O 的直径，
∴BE 是⊙O 的切线；
（3）∵AD=AC=4、BD=BC=2，∠ADB=90°，
∴AB= ，
∵ ，
∴ ，
解得：DE=1，49
∴BE= ，
∵四边形 ACBD 内接于⊙O，
∴∠FBD=∠FAC，即∠FBE+∠DBE=∠BAE+∠BAC，
又∵∠DBE+∠ABD=∠BAE+∠ABD=90°，
∴∠DBE=∠BAE，
∴∠FBE=∠BAC，
点睛：本题主要考查圆的综合问题，解题的关键是掌握圆周角定理、翻折的性质、圆内接四边形的性质及
相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识点．
45．如图，以 Rt△ABC 的直角边 AB 为直径作⊙O 交斜边 AC 于点 D，过圆心 O 作 OE∥AC，交 BC 于点 E，连
接 DE．
（1）判断 DE 与⊙O 的位置关系并说明理由；
（2）求证：2DE2=CD•OE；
（3）若 tanC= ，DE= ，求 AD 的长．50
【来源】四川省内江市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）DE 是⊙O 的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）
【解析】分析：（1）先判断出 DE=BE=CE，得出∠DBE=∠BDE，进而判断出∠ODE=90°，即可得出结论；
（2）先判断出△BCD∽△ACB，得出 BC2=CD•AC，再判断出 DE= BC，AC=2OE，即可得出结论；
（3）先求出 BC，进而求出 BD，CD，再借助（2）的结论求出 AC，即可得出结论．
详解：（1）DE 是⊙O 的切线，理由：如图，
连接 OD，BD，∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=∠BDC=90°，
∵OE∥AC，OA=OB，
∴BE=CE，
∴DE=BE=CE，
∴∠DBE=∠BDE，
∵OB=OD，
∴∠OBD=∠ODB，
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∵点 D 在⊙O 上，
∴DE 是⊙O 的切线；
（2）∵∠BCD=∠ABC=90°，∠C=∠C，
∴△BCD∽△ACB，
∴ ，
∴BC2=CD•AC，
由（1）知 DE=BE=CE= BC，
∴4DE2=CD•AC，
由（1）知，OE 是△ABC 是中位线，51
∴AC=2OE，
∴4DE2=CD•2OE，
∴2DE2=CD•OE；
（3）∵DE= ，
∴BC=5，
在 Rt△BCD 中，tanC= ，
设 CD=3x，BD=4x，根据勾股定理得，（3x）2+（4x）2=25，
∴x=-1（舍）或 x=1，
∴BD=4，CD=3，
由（2）知，BC2=CD•AC，
∴AC= ，
∴AD=AC-CD= -3= ．
点睛：此题是圆的综合题，主要考查了切线的性质，等腰三角形的性质，三角形的中位线定理，相似三角
形的判定和性质，锐角三角函数，判断出△BCD∽△ACB 是解本题的关键．
46．如图，AB 为⊙O 直径，P 点为半径 OA 上异于 O 点和 A 点的一个点，过 P 点作与直径 AB 垂直的弦 CD，
连接 AD，作 BE⊥AB，OE∥AD 交 BE 于 E 点，连接 AE、DE、AE 交 CD 于 F 点．
（1）求证：DE 为⊙O 切线；
（2）若⊙O 的半径为 3，sin∠ADP= ，求 AD；
（3）请猜想 PF 与 FD 的数量关系，并加以证明．
【来源】湖北省恩施州 2018 年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）2；（3）PF=FD，证明见解析.52
详证明：（1）如图 1，连接 OD、BD，BD 交 OE 于 M，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ADB=90°，AD⊥BD，
∵OE∥AD，
∴OE⊥BD，
∴BM=DM，
∵OB=OD，
∴∠BOM=∠DOM，
∵OE=OE，
∴△BOE≌△DOE（SAS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴DE 为⊙O 切线；
（2）设 AP=a，
∵sin∠ADP= ，
∴AD=3a，
∴PD= ，
∵OP=3-a，
∴OD2=OP2+PD2，53
∴32=（3-a）2+（2 a）2，
9=9-6a+a2+8a2，
a1= ，a2=0（舍），
当 a= 时，AD=3a=2，
∴AD=2；
（3）PF=FD，
理由是：∵∠APD=∠ABE=90°，∠PAD=∠BAE，
∴△APF∽△ABE，
∴ ，
∴PF= ，
∵OE∥AD，
∴∠BOE=∠PAD，
∵∠OBE=∠APD=90°，
∴△ADP∽△OEB，
∴ ，
∴PD= ，
∵AB=2OB，
∴PD=2PF，
∴PF=FD．
点睛：本题考查了圆的综合问题，熟练掌握切线的判定，锐角三角函数，圆周角定理，垂径定理等知识点
的应用，难度适中，连接 BD 构造直角三角形是解题的关键．
47．如图，PA 与⊙O 相切于点 A，过点 A 作 AB⊥OP，垂足为 C，交⊙O 于点 B．连接 PB，AO，并延长 AO 交⊙
O 于点 D，与 PB 的延长线交于点 E．
（1）求证：PB 是⊙O 的切线；
（2）若 OC=3，AC=4，求 sinE 的值．54
【来源】新疆自治区 2018 年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】分析：（1）要证明是圆的切线，须证明过切点的半径垂直，所以连接 OB，证明 OB⊥PE 即可．
（2）要求 sinE，首先应找出∠E 所在的直角三角形，然后利用直角三角函数求解即可．而 sinE 既可放在
直角三角形 EAP 中，也可放在直角三角形 EBO 中，所以利用相似三角形的性质求出 EP 或 EO 的长即可解决
问题
详解：（1）证明：连接 OB
∵PO⊥AB，
∴AC=BC，
∴PA=PB,
在△PAO 和△PBO 中
,
∴△PAO 和≌△PBO，
∴∠OBP=∠OAP=90°，
∴PB 是⊙O 的切线．
（2）连接 BD，则 BD∥PO，且 BD=2OC=655
在 Rt△ACO 中，OC=3，AC=4
∴AO=5
在△EPO 与△EBD 中，
BD∥PO
∴△EPO∽△EBD
∴ ，
解得 EB= ，PE= ，
∴sinE= .
点睛：本题考查了切线的判定以及相似三角形的判定和性质．能够通过作辅助线将所求的角转移到相应的
直角三角形中，是解答此题的关键．
48．如图，AB 是以 O 为圆心的半圆的直径，半径 CO⊥AO，点 M 是 上的动点，且不与点 A、C、B 重合，直
线 AM 交直线 OC 于点 D，连结 OM 与 CM．
（1）若半圆的半径为 10．
①当∠AOM=60°时，求 DM 的长；
②当 AM=12 时，求 DM 的长．
（2）探究：在点 M 运动的过程中，∠DMC 的大小是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．56
【来源】2018 年湖南省湘潭市中考数学试卷
【答案】（1）①10，② ；（2）∠DMC 的大小是定值，45°
【解析】分析：（1）①当 时，所以△AMO 是等边三角形，从而可知∠MOD=30°，∠D=30°，所
以 DM=OM=10；
②过点 M 作 MF⊥OA 于点 F，设 AF=x， 利用勾股定理即可求出 x 的值．易证明△AMF∽△ADO，
从而可知 AD 的长度，进而可求出 MD 的长度．
（2）根据点 M 的位置分类讨论，然后利用圆周角定理以及圆内接四边形的性质即可求出答案．
详解：（1）①当∠AOM=60°时，
∵
∴△AMO 是等边三角形，
∴∠A=∠MOA=60°，
∴∠MOD=30°，∠D=30°，
∴DM=OM=10
②过点 M 作 MF⊥OA 于点 F，
设
∴
∵ 57
（2）当点 M 位于 之间时，
连接 BC，
∵C 是 的中点，
∴∠B=45°，
∵四边形 AMCB 是圆内接四边形，
此时∠CMD=∠B=45°，
当点 M 位于 之间时，
连接 BC，
由圆周角定理可知：∠CMD=∠B=45°
综上所述，∠CMD=45°58
点睛：本题考查圆的综合问题，涉及圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，含 30 度角的直角
三角形性质，解方程等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
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