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专题 5.2 图形的相似
一、单选题
1．两三角形的相似比是 2：3，则其面积之比是（ ）
A． ： B． 2：3 C． 4：9 D． 8：27
【来源】广西壮族自治区玉林市 2018 年中考数学试卷
【答案】C
【解析】【分析】根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
【详解】∵两三角形的相似比是 2：3，
∴其面积之比是 4：9，
故选 C．
【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键.
2．已知△ABC∽△DEF，相似比为 2，且△ABC 的面积为 16，则△DEF 的面积为（ ）
A． 32 B． 8 C． 4 D． 16
【来源】贵州省铜仁市 2018 年中考数学试题
【答案】C
点睛：此题考查了相似三角形的性质．此题比较简单，注意掌握相似三角形的面积的比等于相似比的平方
的性质的应用．
3．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，
量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，
量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1 丈=10 尺，1
尺=10 寸），则竹竿的长为（ ）2
A． 五丈 B． 四丈五尺 C． 一丈 D． 五尺
【来源】吉林省长春市 2018 年中考数学试卷
【答案】B
【点睛】本题考查了相似三角形的应用举例，熟知同一时刻物髙与影长成正比是解答此题的关键．
4．如图，在△ABC 中，点 D 在 BC 边上，连接 AD，点 G 在线段 AD 上，GE∥BD，且交 AB 于点 E，GF∥AC，且
交 CD 于点 F，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C． D．
【来源】黑龙江省哈尔滨市 2018 年中考数学试题
【答案】D
【解析】分析：由 GE∥BD、GF∥AC 可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出
，此题得解．
详解：∵GE∥BD，GF∥AC，
∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，
∴ ， ，3
∴ ．
故选：D．
点睛：本题考查了相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的性质找出 是解题的关键．
5．如图，四边形 ABCD 为平行四边形，E、F 为 CD 边的两个三等分点，连接 AF、BE 交于点 G，则 S△EFG：S△ABG=
（ ）
A． 1：3 B． 3：1 C． 1：9 D． 9：1
【来源】湖北省荆门市 2018 年中考数学试卷
【答案】C
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和灵活运用平行四边
形的性质、相似三角形的判定与性质是解题的关键.
6．如图，E，F 是平行四边形 ABCD 对角线 AC 上两点，AE=CF= AC．连接 DE，DF 并延长，分别交 AB，BC 于
点 G，H，连接 GH，则 的值为（ ）4
A． B． C． D． 1
【来源】四川省达州市 2018 年中考数学试题
【答案】C
【解析】分析：首先证明 AG：AB=CH：BC=1：3，推出 GH∥AC，推出△BGH∽△BAC，可得
, ，由此即可解决问题．
点睛：本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等高模型等知
识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考选择题中的压轴题．
7．如图所示，在平面直角坐标系中，已知点 A（2，4），过点 A 作 AB⊥x 轴于点 B．将△AOB 以坐标原点 O
为位似中心缩小为原图形的 ，得到△COD，则 CD 的长度是（ ）5
A． 2 B． 1 C． 4 D． 2
【来源】湖南省邵阳市 2018 年中考数学试卷
【答案】A
【点睛】本题主要考查了位似变换以及坐标与图形的性质，正确把握位似图形的性质是解题关键．
8．如图，平行于 BC 的直线 DE 把△ABC 分成面积相等的两部分，则 的值为（ ）
A． 1 B． C． -1 D． +1
【来源】湖北省随州市 2018 年中考数学试卷
【答案】C
【解析】【分析】由 DE∥BC 可得出△ADE∽△ABC，利用相似三角形的性质结合 S△ADE=S 四边形 BCED，可得出
，结合 BD=AB﹣AD 即可求出 的值．
【详解】∵DE∥BC，
∴∠ADE=∠B，∠AED=∠C，
∴△ADE∽△ABC，
∴ ，
∵S△ADE=S 四边形 BCED，S△ABC=S△ADE+S 四边形 BCED，
∴ ，
∴ ，
故选 C．6
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，牢记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关
键．
9．如图，在平面直角坐标系中，M、N、C 三点的坐标分别为（ ，1），（3，1），（3，0），点 A 为线段 MN 上
的一个动点，连接 AC，过点 A 作 交 y 轴于点 B，当点 A 从 M 运动到 N 时，点 B 随之运动，设点 B 的
坐标为（0，b），则 b 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【来源】广西壮族自治区桂林市 2018 年中考数学试题
【答案】A
【解析】分析：分两种情形：当 A 与点 N、M 重合时来确定 b 的最大与最小值即可.
详解：如图 1，当点 A 与点 N 重合时，CA⊥AB，
∴MN 是直线 AB 的一部分，
∵N（3，1）
∴OB=1，此时 b=1；
当点 A 与点 M 重合时，如图 2，延长 NM 交 y 轴于点 D，
易证△MCN∽△BMD7
∴
∵MN=3- = ,DM= ，CN=1
∴BD=
∴OB=BD-OD= -1= ,即 b=- ，
∴b 的取值范围是 .
故选 A.
点睛：此题考查了坐标与图形，灵活运用相似三角形的判定与性质是解此题的关键..
10．如图，菱形 ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 为边 CD 的中点，若菱形 ABCD 的周长为 16，∠BAD
＝60°,则△OCE 的面积是（ ）
A． B． 2 C． D． 4
【来源】江苏省宿迁市 2018 年中考数学试卷
【答案】A
【详解】∵菱形 ABCD 的周长为 16，∴菱形 ABCD 的边长为 4，
∵∠BAD＝60°，
∴△ABD 是等边三角形，
又∵O 是菱形对角线 AC、BD 的交点，
∴AC⊥BD，8
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，菱形的性质，结合
图形熟练应用相关性质是解题的关键.
11．如图，在△ABC 中，EF∥BC，AB=3AE，若 S 四边形 BCFE=16，则 S△ABC=（ ）
A． 16 B． 18 C． 20 D． 24
【来源】广西壮族自治区贵港市 2018 年中考数学试卷
【答案】B
【解析】【分析】由EF∥BC，可证明△AEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求出 S△ABC 的值．
【详解】∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∵AB=3AE，
∴AE：AB=1：3，
∴S△AEF：S△ABC=1：9，
设 S△AEF=x，
∵S 四边形 BCFE=16，9
∴ ，
解得：x=2，
∴S△ABC=18，
故选 B．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解本题
的关键.
12．在△ABC 中，点 D、E 分别为边 AB、AC 的中点，则△ADE 与△ABC 的面积之比为（ ）
A． B． C． D．
【来源】广东省 2018 年中考数学试题
【答案】C
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、三角形中位线定理，利用三角形的中位线定理找出 DE∥BC
是解题的关键．
二、填空题
13．已知：如图，△ABC 的面积为 12，点 D、E 分别是边 AB、AC 的中点，则四边形 BCED 的面积为_____．10
【来源】四川省资阳市 2018 年中考数学试卷
【答案】9
【解析】【分析】设四边形 BCED 的面积为 x，则 S △ADE=12﹣x，由题意知 DE∥BC 且 DE= BC，从而得
，据此建立关于 x 的方程，解之可得．
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握中位线定理及相似三角形的面积比等
于相似比的平方的性质．
14．如图，在△ABC 中，BC=6，BC 边上的高为 4，在△ABC 的内部作一个矩形 EFGH，使 EF 在 BC 边上，另外
两个顶点分别在 AB、AC 边上，则对角线 EG 长的最小值为_____．
【来源】贵州省贵阳市 2018 年中考数学试卷11
【答案】
【解析】【分析】作 AQ⊥BC 于点 Q，交 DG 于点 P，设 GF=PQ=x，则 AP=4﹣x，证△ADG∽△ABC 得 ，
据此知 EF=DG= （4﹣x），由 EG= 即可求得答案．
【详解】如图，作 AQ⊥BC 于点 Q，交 DG 于点 P，
【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握矩形的性质、相似三角形的判定与性
质及二次函数的性质及勾股定理．
15．如图，已知正方形 DEFG 的顶点 D、E 在△ABC 的边 BC 上，顶点 G、F 分别在边 AB、AC 上．如果 BC=4，
△ABC 的面积是 6，那么这个正方形的边长是_____．12
【来源】上海市 2018 年中考数学试卷
【答案】
【详解】作 AH⊥BC 于 H，交 GF 于 M，如图，
∵△ABC 的面积是 6，
∴ BC•AH=6，
∴AH= =3，
设正方形 DEFG 的边长为 x，则 GF=x，MH=x，AM=3﹣x，
∵GF∥BC，
∴△AGF∽△ABC，
∴ ，即 ，解得 x= ，
即正方形 DEFG 的边长为 ，
故答案为： ．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，正确添加辅助线求出 BC 边上的高是解题的关键.
16．如图，从甲楼底部 A 处测得乙楼顶部 C 处的仰角是 30°，从甲楼顶部 B 处测得乙楼底部 D 处的俯角是
45°，已知甲楼的高 AB 是 120m，则乙楼的高 CD 是_____m（结果保留根号）13
【来源】广西钦州市 2018 年中考数学试卷
【答案】40
【点睛】此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 tan∠CDA=tan30°= 是解题关键．
17．如图所示，点 E 是平行四边形 ABCD 的边 BC 延长线上一点，连接 AE，交 CD 于点 F，连接 BF．写出图中
任意一对相似三角形：_____．
【来源】湖南省邵阳市 2018 年中考数学试卷
【答案】△ADF∽△ECF
【 解 析 】【分 析 】 利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 得 到 AD∥CE ， 则 根 据 相 似 三 角 形 的 判 定 方 法 可 判 断
△ADF∽△ECF．
【详解】∵四边形 ABCD 为平行四边形，
∴AD∥CE，14
∴△ADF∽△ECF，
故答案为：△ADF∽△ECF．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定，熟练掌握平行四边形的性质和相似三角形的
判定是解题的关键.
18．如图，在矩形 中， 是边 的中点，连接 交对角线 于点 ，若 ， ，则 的长为
________．
【来源】北京市 2018 年中考数学试卷
【答案】
点睛：考查矩形的性质，勾股定理，相似三角形的性质及判定，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是
解题的关键.
19．如图， 与 是以点 为位似中心的位似图形，相似比为 ， ， ，若点
的坐标是 ，则点 的坐标是__________．15
【来源】山东省菏泽市 2018 年中考数学试题
【答案】（2，2 ）
详解： 与 是以点 为位似中心的位似图形， ，
，若点 的坐标是 ，
过点 作 交 于点 E.
点 的坐标为：
与 的相似比为 ，
点 的坐标为： 即点 的坐标为：
故答案为：
点睛：考查位似图形的性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键. 16
三、解答题
20．周末，小华和小亮想用所学的数学知识测量家门前小河的宽．测量时，他们选择了河对岸边的一棵大
树，将其底部作为点 A，在他们所在的岸边选择了点 B，使得 AB 与河岸垂直，并在 B 点竖起标杆 BC，再在 AB
的延长线上选择点 D 竖起标杆 DE，使得点 E 与点 C、A 共线．
已知：CB⊥AD，ED⊥AD，测得 BC＝1m，DE＝1.5m，BD＝8.5m．测量示意图如图所示．请根据相关测量信息，
求河宽 AB．
【来源】陕西省 2018 年中考数学试题
【答案】河宽为 17 米．
【解析】【分析】由题意先证明∆ABC∽∆ADE，再根据相似三角形的对应边成比例即可求得 AB 的长.
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键.
21．已知正方形 中 与 交于 点，点 在线段 上，作直线 交直线 于 ,过 作 于 ,设
直线 交 于 .17
（1）如图，当 在线段 上时，求证： ；
（2）如图 2，当 在线段 上，连接 ,当 时，求证： ；
（3）在图 3，当 在线段 上，连接 ,当 时，求证： .
【来源】湖南省常德市 2018 年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.
【详解】（1）∵正方形 ABCD 的对角线 AC，BD 相交于 O，
∴OD=OA，∠AOM=∠DON=90°，
∴∠OND+∠ODN=90°，
∵∠ANH=∠OND，
∴∠ANH+∠ODN=90°，
∵DH⊥AE，
∴∠DHM=90°，
∴∠ANH+∠OAM=90°，
∴∠ODN=∠OAM，
∴△DON≌△AOM，
∴OM=ON；18
∵DN⊥AE，
∴▱DENM 是菱形，
∴DE=EN，
∴∠EDN=∠END，
∵EN∥BD，
∴∠END=∠BDN，
∴∠EDN=∠BDN，
∵∠BDC=45°，
∴∠BDN=22.5°，
∵∠AHD=90°，
∴∠AMB=∠DME=90°﹣∠BDN=67.5°，
∵∠ABM=45°，
∴∠BAM=67.5°=∠AMB，
∴BM=AB；
（3）设 CE=a（a＞0）
∵EN⊥CD，
∴∠CEN=90°，
∵∠ACD=45°，
∴∠CNE=45°=∠ACD，
∴EN=CE=a，
∴CN= a，19
∴a= b（已舍去不符合题意的）
∴CN= a= b，AC= （a+b）= b，
∴AN=AC﹣CN= b，
∴AN2=2b2，AC•CN= b• b=2b2
∴AN2=AC•CN．
【点睛】本题是相似形综合题，涉及到的知识点有正方形的性质、平行四边形、菱形的判定、全等三角形
的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理等，判断出四边形 DENM 是菱形是解（2）的关键，判
断出△DEN∽△ADE 是解（3）的关键．
22．如图①，在四边形 ABCD 中，AC⊥BD 于点 E，AB=AC=BD，点 M 为 BC 中点，N 为线段 AM 上的点，且
MB=MN.20
（1）求证：BN 平分∠ABE；
（2）若 BD=1，连结 DN，当四边形 DNBC 为平行四边形时，求线段 BC 的长；
（3）如图②，若点 F 为 AB 的中点，连结 FN、FM，求证：△MFN∽△BDC．
【来源】四川省眉山市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3）证明见解析.
详解：（1）∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵M 为 BC 的中点，
∴AM⊥BC，
在 Rt△ABM 中，∠MAB+∠ABC=90°，
在 Rt△CBE 中，∠EBC+∠ACB=90°，
∴∠MAB=∠EBC，
又∵MB=MN，
∴△MBN 为等腰直角三角形，
∴∠MNB=∠MBN=45°，
∴∠EBC+∠NBE=45°，∠MAB+∠ABN=∠MNB=45°，
∴∠NBE=∠ABN，即 BN 平分∠ABE；21
（2）设 BM=CM=MN=a，
∵四边形 DNBC 是平行四边形，
∴DN=BC=2a，
在△ABN 和△DBN 中，
∵ ，
∴△ABN≌△DBN（SAS），
∴AN=DN=2a，
在 Rt△ABM 中，由 AM2+MB2=AB2 可得（2a+a）2+a2=1，
解得：a=± （负值舍去），
∴BC=2a= ；
点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是掌握等腰三角形三线合一的性质、直角三角形和平
行四边形的性质及全等三角形与相似三角形的判定与性质等知识点．
23．在△ABC 中，∠ABC=90°．
（1）如图 1，分别过 A、C 两点作经过点 B 的直线的垂线，垂足分别为 M、N，求证：△ABM∽△BCN；
（2）如图 2，P 是边 BC 上一点，∠BAP=∠C，tan∠PAC= ，求 tanC 的值；
（3）如图 3，D 是边 CA 延长线上一点，AE=AB，∠DEB=90°，sin∠BAC= ， ，直接写出 tan∠CEB 的
值．22
【来源】湖北省武汉市 2018 年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2） ；（3） .
【详解】（1）∵AM⊥MN，CN⊥MN，
∴∠AMB=∠BNC=90°，
∴∠BAM+∠ABM=90°，
∵∠ABC=90°，
∴∠ABM+∠CBN=90°，
∴∠BAM=∠CBN，
∵∠AMB=∠NBC，
∴△ABM∽△BCN；
（2）如图，过点 P 作 PF⊥AP 交 AC 于 F，
在 Rt△AFP 中，tan∠PAC= ，
同（1）的方法得，△ABP∽△PQF，
∴ ，
设 AB= a，PQ=2a，BP= b，FQ=2b（a＞0，b＞0），
∵∠BAP=∠C，∠B=∠CQF=90°，23
∴△ABP∽△CQF，
∴ ，∴CQ= =2a，
（3）在 Rt△ABC 中，sin∠BAC= ，
如图，过点 A 作 AG⊥BE 于 G，过点 C 作 CH⊥BE 交 EB 的延长线于 H，
∵∠DEB=90°，
∴CH∥AG∥DE，
∴ ，
同（1）的方法得，△ABG∽△BCH，
∴ = ，
设 BG=4m，CH=3m，AG=4n，BH=3n，
∵AB=AE，AG⊥BE，
∴EG=BG=4m，
∴GH=BG+BH=4m+3n，24
∴ ，
∴n=2m，
∴EH=EG+GH=4m+4m+3n=8m+3n=8m+6m=14m，
在 Rt△CEH 中，tan∠BEC= ．
【点睛】本题是相似形综合题，主要考查了同角的余角相等，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数，
平行线分线段成比例定理，根据题意添加辅助线构造出图 1 中的相似三角形模型是解本题的关键．
24．如图 1 所示，在四边形 ABCD 中，点 O，E，F，G 分别是 AB，BC，CD，AD 的中点，连接 OE，EF，FG，
GO，GE．
（1）证明：四边形 OEFG 是平行四边形；
（2）将△OGE 绕点 O 顺时针旋转得到△OMN，如图 2 所示，连接 GM，EN．
①若 OE= ，OG=1，求 的值；
②试在四边形 ABCD 中添加一个条件，使 GM，EN 的长在旋转过程中始终相等．（不要求证明）
【来源】湖南省邵阳市 2018 年中考数学试卷
【答案】（1）证明见解析；（2）① ；②添加 AC=BD.
【解析】【分析】（1）连接 AC，由四个中点可知 OE∥AC、OE= AC，GF∥AC、GF= AC，据此得出 OE=GF、
OE//GF，即可得证；
（2）①由旋转性质知 OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，据此可证△OGM∽△OEN 得 ；
②连接 AC、BD，根据①知△OGM∽△OEN，若要 GM=EN 只需使△OGM≌△OEN，添加使 AC=BD 的条件均可以满
足此条件．
【详解】（1）如图 1，连接 AC，25
（2）①∵△OGE 绕点 O 顺时针旋转得到△OMN，
∴OG=OM、OE=ON，∠GOM=∠EON，
∴ ，
∴△OGM∽△OEN，
∴ ；
②添加 AC=BD，
如图 2，连接 AC、BD，
∵点 O、E、F、G 分别是 AB、BC、CD、AD 的中点，
∴OG=EF= BD、OE=GF= BD，
∵AC=BD，26
【点睛】本题主要考查相似形的综合题，解题的关键是熟练掌握中位线定义及其定理、平行四边形的判定、
旋转的性质、相似三角形与全等三角形的判定与性质等知识点．
25．如果三角形的两个内角 α 与 β 满足 2α+β=90°，那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”．
（1）若△ABC 是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，则∠B= °；
（2）如图①，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，AC=4，BC=5．若 AD 是∠BAC 的平分线，不难证明△ABD 是“准
互余三角形”．试问在边 BC 上是否存在点 E（异于点 D），使得△ABE 也是“准互余三角形”？若存在，请求
出 BE 的长；若不存在，请说明理由．
（3）如图②，在四边形 ABCD 中，AB=7，CD=12，BD⊥CD，∠ABD=2∠BCD，且△ABC 是“准互余三角形”，求
对角线 AC 的长．
【来源】江苏省淮安市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）15°；（2）BE= ．（3）AC=20．
【解析】分析：（1）根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题；
（2）只要证明△CAE∽△CBA，可得 CA2=CE•CB，由此即可解决问题；
（3）如图②中，将△BCD 沿 BC 翻折得到△BCF．只要证明△FCB∽△FAC，可得 CF2=FB•FA，设 FB=x，则有：27
x（x+7）=122，推出 x=9 或﹣16（舍弃），再利用勾股定理求出 AC 即可；
详解：（1）∵△ABC 是“准互余三角形”，∠C＞90°，∠A=60°，
∴2∠B+∠A=60°，
解得，∠B=15°；
（2）如图①中，
（3）如图②中，将△BCD 沿 BC 翻折得到△BCF．28
则有：x（x+7）=122，
∴x=9 或﹣16（舍去），
∴AF=7+9=16，
在 Rt△ACF 中，AC= ．
点睛：本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知识，解题的关键
是理解题意，学会利用翻折变换添加辅助线，构造相似三角形解决问题，学会利用已知模型构建辅助线解
决问题，属于中考压轴题．
26．在△ABC 中，E、F 分别为线段 AB、AC 上的点（不与 A、B、C 重合）．
（1）如图 1，若 EF∥BC，求证：
（2）如图 2，若 EF 不与 BC 平行，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由；
（3）如图 3，若 EF 上一点 G 恰为△ABC 的重心， ，求 的值．
【来源】湖北省黄石市 2018 年中考数学试卷29
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）
详解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，
∴ = = ；
（2）若 EF 不与 BC 平行，（1）中的结论仍然成立，
分别过点 F、C 作 AB 的垂线，垂足分别为 N、H，
∵FN⊥AB、CH⊥AB，
∴FN∥CH，
∴△AFN∽△ACH，
∴ ，30
∴ = = ；
（3）连接 AG 并延长交 BC 于点 M，连接 BG 并延长交 AC 于点 N，连接 MN，
而 = = a，
∴ + a = a，
解得：a= ，
∴ = × = ．
点睛：本题主要考查相似形的综合问题，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质和三角形重心的
定义及其性质等知识点．
27．（1）（发现）如图①，已知等边△ABC，将直角三角板的 60°角顶点 D 任意放在 BC 边上（点 D 不与点31
B、C 重合），使两边分别交线段 AB、AC 于点 E、F.
①若 AB=6，AE=4，BD=2，则 CF =________；
②求证：△EBD∽△DCF.
（2）（思考）若将图①中的三角板的顶点 D 在 BC 边上移动，保持三角板与边 AB、AC 的两个交点 E、F 都存
在，连接 EF，如图②所示.问点 D 是否存在某一位置，使 ED 平分∠BEF 且 FD 平分∠CFE？若存在，求出
的值；若不存在，请说明理由.
（3）（探索）如图③，在等腰△ABC 中，AB=AC，点 O 为 BC 边的中点，将三角形透明纸板的一个顶点放在点
O 处（其中∠MON=∠B），使两条边分别交边 AB、AC 于点 E、F（点 E、F 均不与△ABC 的顶点重合），连接
EF.设∠B=α，则△AEF 与△ABC 的周长之比为________（用含 α 的表达式表示）
.
【来源】江苏省盐城市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）①4；②证明见解析；（2）存在；（3）1-cosα.
【解析】分析：（1）①先求出 BE 的长度后发现 BE=BD，又∠B=60°，可知△BDE 是等边三角形，可得
∠BDE=60°，另外∠EDF=60°，可证得△CDF 是等边三角形，从而 CF=CD=BC-BD；
②证明△EBD∽△DCF，这个模型可称为“一线三等角相似模型”，根据“AA”判定相似；
（2）【思考】由平分线可联系到角平分线的性质“角平分线上的点到角两边的距离相等”，可过 D 作
DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，则 DM=DG=DN，从而通过证明△BDM≅△CDN 可得 BD=CD；32
详解：（1）①∵△ABC 是等边三角形，
∴AB=BC=AC=6，∠B=∠C=60°，
∵AE=4，
∴BE=2，则 BE=BD，
∴△BDE 是等边三角形，
∴∠BDE=60°，
又∵∠EDF=60°，
∴∠CDF=180°-∠EDF-∠B=60°，则∠CDF =∠C=60°，
∴△CDF 是等边三角形，
∴CF=CD=BC-BD=6-2=4；
②证明：∵∠EDF=60°，∠B=60°
∴∠CDF+∠BDE=120°，∠BED+∠BDE=120°，
∴∠BED=∠CDF，
又∵∠B=∠C，
∴△EBD∽△DCF
（2）存在.如图，作 DM⊥BE，DG⊥EF，DN⊥CF，垂足分别为 M，G，N，33
（ 3 ）连结 AO，作 OG⊥BE，OD⊥EF，OH⊥CF，垂足分别为 G，D，H，
则∠BGO=∠CHO=90°，
∵AB=AC，O 是 BC 的中点
∴∠B=∠C，OB=OC，
∴△OBG≅△OCH，
∴OG=OH，GB=CH，∠BOG=∠COH=90°−α，
则∠GOH=180°-（∠BOG+∠COH）=2α，
∵∠EOF=∠B=α，
则∠GOH=2∠EOF=2α，
由（2）题可猜想应用 EF=ED+DF=EG+FH，
则 C△AEF=AE+EF+AF=AE+EG+FH+AF=AG+AH=2AG，
设 AB=m，则 OB=mcosα，GB=mcos2α,
.
点睛：本题考查了角平分线的定义，等边三角形的性质，全等三角形以及相似三角形的判定和性质等知识
点．难度较大.
28．如图①，在四边形 BCDE 中，BC⊥CD，DE⊥CD，AB⊥AE，垂足分别为 C，D，A，BC≠AC，点 M，N，F 分34
别为 AB，AE，BE 的中点，连接 MN，MF，NF．
（1）如图②，当 BC=4，DE=5，tan∠FMN=1 时，求 的值；
（2）若 tan∠FMN= ，BC=4，则可求出图中哪些线段的长？写出解答过程；
（3）连接 CM，DN，CF，DF．试证明△FMC 与△DNF 全等；
（4）在（3）的条件下，图中还有哪些其它的全等三角形？请直接写出．
【来源】山东省威海市 2018 年中考数学试题
【答案】（1） ；（2）可求线段 AD 的长；（3）证明见解析；（4）△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．
（3）根据△ABC 和△ADE 都是直角三角形，M，N 分别是 AB，AE 的中点，即可得到 BM=CM，NA=ND，进而得
出∠4=2∠1，∠5=2∠3，根据∠4=∠5，即可得到∠FMC=∠FND，再根据 FM=DN，CM=NF，可得△FMC≌△DNF；
（4）由 BM=AM=FN，MF=AN=NE，∠FMB=∠MFN=∠MAN=∠ENF=90°，即可得到：
△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．
详解：（1）∵点 M，N，F 分别为 AB，AE，BE 的中点，
∴MF，NF 都是△ABE 的中位线，
∴MF= AE=AN，NF= AB=AM，
∴四边形 ANFM 是平行四边形，
又∵AB⊥AE，
∴四边形 ANFM 是矩形，
又∵tan∠FMN=1，35
∴FN=FM，
∴矩形 ANFM 是正方形，AB=AE，
（2）可求线段 AD 的长．
由（1）可得，四边形 MANF 为矩形，MF= AE，NF= AB，
∵tan∠FMN= ，即 = ，
∴ = ，
∵∠1=∠3，∠C=∠D=90°，
∴△ABC∽△EAD，
∴ = = ，
∵BC=4，
∴AD=8；
（3）∵BC⊥CD，DE⊥CD，
∴△ABC 和△ADE 都是直角三角形，36
（4）在（3）的条件下，BM=AM=FN，MF=AN=NE，∠FMB=∠MFN=∠MAN=∠ENF=90°，
∴图中有：△BMF≌△NFM≌△MAN≌△FNE．
点睛：本题属于相似形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，直角三
角形的性质以及矩形的判定与性质的综合运用，解决问题的关键是判定全等三角形或相似三角形，利用全
等三角形的对应边相等，相似三角形的对应边成比例得出有关结论．
29．（1）某学校“智慧方园”数学社团遇到这样一个题目：
如图 1，在△ABC 中，点 O 在线段 BC 上，∠BAO=30°，∠OAC=75°，AO= ，BO：CO=1：3，求 AB 的长．
经过社团成员讨论发现，过点 B 作 BD∥AC，交 AO 的延长线于点 D，通过构造△ABD 就可以解决问题（如图
2）．
请回答：∠ADB= °，AB= ．
（2）请参考以上解决思路，解决问题：
如图 3，在四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点
O，AC⊥AD，AO= ，∠ABC=∠ACB=75°，BO：OD=1：3，求 DC 的长．37
【来源】山东省东营市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）75；4 ；（2）CD=4 ．
详解：（1）∵BD∥AC，
∴∠ADB=∠OAC=75°．
∵∠BOD=∠COA，
∴△BOD∽△COA，
∴ ．
又∵AO=3 ，
∴OD= AO= ，
∴AD=AO+OD=4 ．
∵∠BAD=30°，∠ADB=75°，
∴∠ABD=180°-∠BAD-∠ADB=75°=∠ADB，
∴AB=AD=4 ．
（2）过点 B 作 BE∥AD 交 AC 于点 E，如图所示．38
∵AC⊥AD，BE∥AD，
∴∠DAC=∠BEA=90°．
∵∠AOD=∠EOB，
∴△AOD∽△EOB，
∴ ．
∵BO：OD=1：3，
∴ ．
∵AO=3 ，
∴EO= ，
∴AE=4 ．
∵∠ABC=∠ACB=75°，
∴∠BAC=30°，AB=AC，
∴AB=2BE．
点睛：本题考查了相似三角形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理以及平行线的性质，解题的关
键是：（1）利用相似三角形的性质求出 OD 的值；（2）利用勾股定理求出 BE、CD 的长度．
30．如图 1，在矩形 ABCD 中，P 为 CD 边上一点（DP＜CP），∠APB=90°．将△ADP 沿 AP 翻折得到△AD′P，
PD′的延长线交边 AB 于点 M，过点 B 作 BN∥MP 交 DC 于点 N．
（1）求证：AD2=DP•PC；
（2）请判断四边形 PMBN 的形状，并说明理由；39
（3）如图 2，连接 AC，分别交 PM，PB 于点 E，F．若 = ，求 的值．
【来源】云南省昆明市 2018 年中考数学试题
【答案】（1）证明见解析；（2）四边形 PMBN 是菱形，理由见解析；（3）
（ 3 ） 由 于 ， 可 设 DP=k ， AD=2k ， 由 （ 1 ） 可 知 ： AG=DP=k ， PG=AD=2k ， 从 而 求 出 GB=PC=4k ，
AB=AG+GB=5k，由于 CP∥AB，从而可证△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，从而可得 ， ，从而可求
出 EF=AF-AE= AC- AC= AC，从而可得 ．
详解：（1）过点 P 作 PG⊥AB 于点 G，
∴易知四边形 DPGA，四边形 PCBG 是矩形，
∴AD=PG，DP=AG，GB=PC
∵∠APB=90°，
∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°，
∴∠APG=∠PBG，
∴△APG∽△PBG，
∴ ，
∴PG2=AG•GB，
即 AD2=DP•PC；
（2）∵DP∥AB，40
∴∠DPA=∠PAM，
由题意可知：∠DPA=∠APM，
∴∠PAM=∠APM，
∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，
即∠ABP=∠MPB
∴AM=PM，PM=MB，
∴PM=MB，
又易证四边形 PMBN 是平行四边形，
∴四边形 PMBN 是菱形；
又易证：△PCE∽△MAE，AM= AB= ,
∴
∴ ，
∴EF=AF-AE= AC- AC= AC， ∴ .
点睛：本题考查相似三角形的综合问题，涉及相似三角形的性质与判定，菱形的判定，直角三角形斜边上41
的中线的性质等知识，综合程度较高，需要学生灵活运用所学知识．
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