[7.2 第2课时 正弦、余弦的求法]
一、选择题
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5，AC＝2，则cosA的值为( )
A. B. C. D.
2．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，则tanA的值为( )
A．2 B. C. D.
3．2018·常州模拟在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则sinB的值为( )
A. B. C. D.
4．如图K－27－1，直径为10的⊙A经过点C(0，5)和点O(0，0)，B是y轴右侧⊙A优弧上一点，则∠OBC的余弦值为( )
图K－27－1
A. B. C. D.
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5．2016·菏泽如图K－27－2，△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，且AB＝AC＝5，A′B′＝A′C′＝3.若∠B＋∠B′＝90°，则△ABC与△A′B′C′的面积比为( )
图K－27－2
A．25∶9 B．5∶3
C.∶3 D．5 ∶3
二、填空题
6．如图K－27－3，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D.若AC＝，BC＝2，则sin∠ACD的值为__________．
图K－27－3
7．如图K－27－4，△ABC的顶点都在方格纸的格点上，则sinA＝________．
8．比较大小：sin24°________cos66°，cos15°________tan55°.
图K－27－4
9．如图K－27－5，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8.若∠BPC＝∠BAC，则tan∠BPC＝________．
图K－27－5
10．如图K－27－6，AB是半圆的直径，点O为圆心，OA＝5，弦AC＝8，OD⊥AC，垂足为E，交半圆O于点D，连接BE.设∠BEC＝α，则sinα的值为________．
图K－27－6
11．2018·泰安如图K－27－7，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A′处，若EA′的延长线恰好过点C，则sin∠ABE的值为________．
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图K－27－7
三、解答题
12．分别求出图K－27－8(1)(2)中∠A，∠B的正弦、余弦和正切值.
图K－27－8
13．如图K－27－9，在△ABC中，CD⊥AB，垂足为D.若AB＝12，CD＝6，tanA＝，求sinB＋cosB的值．
图K－27－9
14．(1)在△ABC中，若∠C＝90°，cosA＝，求sinB的值；
(2)如图K－27－10，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE＝3AE，试求sin∠ECM的值．
图K－27－10
15．如图K－27－11所示，在△ABC中，AD是BC边上的高，E为边AC的中点，BC＝
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14，AD＝12，sinB＝.
求：(1)线段DC的长；
(2)tan∠EDC的值．
图K－27－11
数形结合思想学习了正切值、正弦值、余弦值的求法后，我们知道tan30°＝，tan60°＝，tan45°＝1，那么tan67.5°的值是多少？
如图K－27－12，在Rt△ABC中，∠C＝90°，CB＝CA，延长CB到点D，使BD＝AB，则∠CAD＝67.5°.设AC＝k，则BC＝k，BD＝AB＝k，∴CD＝(＋1)k，∴tan∠CAD＝tan67.5°＝＝＝＋1，即tan67.5°＝＋1.
请模仿以上解法，求sin15°的值．
图K－27－12
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详解详析
[课堂达标]
1．[解析] D 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝＝.
2．[解析] D 在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosB＝，∴设BC＝x，则AB＝2x.根据勾股定理求出AC＝x，∴tanA＝＝.
3．[解析] D ∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，∴sinB＝cosA＝.故选D.
4．[解析] C 本题是易错题．易错误地认为∠OBC的余弦值等于.产生错误的原因就是没有正确理解三角函数的定义．可以连接CA并延长，交x轴于点D.根据90°的圆周角所对的弦是直径，可得CD是圆的直径，并且∠D＝∠OBC，所以cos∠OBC＝cosD＝＝.
5．[解析] A 如图，过点A作AD⊥BC于点D，过点A′作A′D′⊥B′C′于点D′.
∵△ABC与△A′B′C′都是等腰三角形，∴∠B＝∠C，∠B′＝∠C′，BC＝2BD，B′C′＝2B′D′，∴AD＝AB·sinB，A′D′＝A′B′·sinB′，BC＝2BD＝2AB·cosB，B′C′＝2B′D′＝2A′B′·cosB′.
∵∠B＋∠B′＝90°，
∴sinB＝cosB′，sinB′＝cosB.
∵S△ABC＝AD·BC＝AB·sinB·2AB·cosB＝25sinB·cosB，
S△A′B′C′＝A′D′·B′C′＝A′B′·sinB′·2A′B′·cosB′＝9sinB′·cosB′，
∴S△ABC∶S△A′B′C′＝25∶9.
6．[答案]
[解析] 根据勾股定理可得AB＝＝＝3.由题意，可知∠ACD＋∠A＝90°，∠B＋∠A＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴sin∠ACD＝sinB＝＝.
7.
8．[答案] ＝ ＜
[解析] cos66°＝sin(90°－66°)＝sin24°，0＜cos15°＜1，1＝tan45°＜tan55
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°，
∴cos15°＜1＜tan55°.
故答案为＝，＜.
9．[答案]
[解析] 如图，过点A作AE⊥BC于点E.
∵AB＝AC＝5，
∴BE＝BC＝×8＝4，∠BAE＝∠BAC.
∵∠BPC＝∠BAC，
∴∠BPC＝∠BAE.
在Rt△BAE中，由勾股定理，得
AE＝＝＝3，
∴tan∠BPC＝tan∠BAE＝＝.
故答案为.
10．[答案]
[解析] 如图所示，连接BC.
∵AB为半圆O的直径，
∴∠BCA＝90°.
∵OD⊥AC，
∴CE＝AE＝AC＝×8＝4.
在Rt△AOE中，OE＝＝＝3.
∵AE＝CE，AO＝BO，
∴OE是△ABC的中位线，
∴BC＝2OE＝6.
在Rt△BCE中，BE＝＝＝2，
∴sinα＝＝＝.
11．[答案]
[解析] 由折叠知∠BA′E＝∠A＝90°，AE＝A′E，A′B＝AB＝6，故在Rt△A′BC
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中，由勾股定理，得A′C＝＝＝8.设AE＝A′E＝x，则CE＝x＋8，DE＝10－x.在Rt△CDE中，由勾股定理，得(x＋8)2＝62＋(10－x)2，解得x＝2.在Rt△ABE中，BE＝＝2，所以sin∠ABE＝＝＝.
12．解：(1)由勾股定理，得AC＝＝4 ，
sinA＝＝＝，cosA＝＝＝，tanA＝＝＝；
sinB＝＝＝，cosB＝＝＝，tanB＝＝＝2 .
(2)由勾股定理，得AB＝＝＝2，
sinA＝＝＝，cosA＝＝＝，tanA＝＝＝；
sinB＝＝＝，cosB＝＝＝，tanB＝＝＝3.
13．[解析] 根据锐角三角函数的定义，找准对边、邻边、斜边．
解：在Rt△ACD中，CD＝6，tanA＝，
∴AD＝4，∴BD＝AB－AD＝8.
在Rt△BCD中，BC＝＝10，
∴sinB＝＝，cosB＝＝，
∴sinB＋cosB＝.
14．解：(1)∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，
∴∠A＋∠B＝90°，∴sinB＝cosA＝.
(2)设AE＝x，则BE＝3x，BC＝4x，AM＝MD＝2x，CD＝4x，
∴CE＝＝5x，
EM＝＝x，
CM＝＝2 x，
∴EM2＋CM2＝CE2，
∴△CEM是直角三角形，且∠CME＝90°，
∴sin∠ECM＝＝.
15．解：(1)在Rt△ABD中，
∵sinB＝＝，且AD＝12，
∴＝，∴AB＝15，
∴BD＝＝9，
∴DC＝BC－BD＝14－9＝5.
(2)方法一：∵E为AC的中点，∠ADC＝90°，
∴DE＝AC＝EC，∴∠EDC＝∠C.
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在Rt△ADC中，tanC＝＝，
∴tan∠EDC＝tanC＝.
方法二：过点E作EH⊥DC于点H，则EH∥AD，
∴＝＝.
∵E为AC的中点，
∴＝＝，
∴CH＝2.5，EH＝6，
∴＝.
又∵DH＝CH＝2.5，
∴＝，
∴tan∠EDC＝.
[素养提升]
解：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠CBA＝30°，延长CB到点D，使BD＝AB，则∠CDA＝15°.
设AC＝k，则BD＝AB＝2AC＝2k，BC＝k，
∴CD＝(＋2)k，
∴AD2＝AC2＋CD2＝k2＋(＋2)2k2＝(8＋4 )k2＝(＋)2k2，
∴AD＝(＋)k，
∴sin∠CDA＝sin15°＝＝＝，
即sin15°＝.
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