2018年中考数学试题分项版解析汇编（第02期）专题5.3锐角三角形（含解析）.doc

1 专题 5.3 锐角三角形 一、单选题 1．2cos60°=（　　） A． 1 B． C． D． 【来源】黑龙江省大庆市 2018 年中考数学试卷 【答案】A 【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键. 2．如图，A、B、C 是小正方形的顶点，且每个小正方形的边长为 1，则 tan∠BAC 的值为（　　） A． B． 1 C． D． 【来源】贵州省贵阳市 2018 年中考数学试卷 【答案】B 【解析】【分析】连接 BC，由网格求出 AB，BC，AC 的长，利用勾股定理的逆定理得到△ABC 为等腰直角三 角形，即可求出所求． 【详解】如图，连接 BC， 由网格可得 AB=BC= ，AC= ，即 AB2+BC2=AC2， ∴△ABC 为等腰直角三角形， ∴∠BAC=45°， 则 tan∠BAC=1， 故选 B．2 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，解直角三角形，以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的 关键． 3．如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧道（点 A、B 在同一水平面上）．为了测量 A、B 两 地之间的距离，一架直升飞机从 A 地出发，垂直上升 800 米到达 C 处，在 C 处观察 B 地的俯角为 α，则 A、 B 两地之间的距离为（　　） A． 800sinα 米 B． 800tanα 米 C． 米 D． 米 【来源】吉林省长春市 2018 年中考数学试卷 【答案】D 【点睛】本题考查解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考 题型. 4．如图，在 中， ， ， ，则 等于（ ）3 A． B． C． D． 【来源】湖北省孝感市 2018 年中考数学试题 【答案】A 点睛：本题主要考查锐角三角函数的定义，解题的关键是掌握勾股定理及正弦函数的定义． 5．如图，矩形纸片 ABCD，AB=4，BC=3，点 P 在 BC 边上，将△CDP 沿 DP 折叠，点 C 落在点 E 处，PE、DE 分 别交 AB 于点 O、F，且 OP=OF，则 cos∠ADF 的值为（　　） A． B． C． D． 【来源】广西钦州市 2018 年中考数学试卷 【答案】C 【解析】【分析】根据折叠的性质可得出 DC=DE、CP=EP，由∠EOF=∠BOP、∠B=∠E、OP=OF 可得出△OEF≌△OBP （AAS），根据全等三角形的性质可得出 OE=OB、EF=BP，设 EF=x，则 BP=x、DF=4﹣x、BF=PC=3﹣x，进而可 得出 AF=1+x，在 Rt△DAF 中，利用勾股定理可求出 x 的值，再利用余弦的定义即可求出 cos∠ADF 的值． 【详解】根据折叠，可知：△DCP≌△DEP， ∴DC=DE=4，CP=EP． 在△OEF 和△OBP 中， ， ∴△OEF≌△OBP（AAS）， ∴OE=OB，EF=BP．4 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理以及解直角三角形，利用勾股定理结合 AF=1+x， 求出 AF 的长度是解题的关键． 6．如图，要测量小河两岸相对的两点 P，A 的距离，可以在小河边取 PA 的垂线 PB 上的一点 C，测得 PC=100 米，∠PCA=35°，则小河宽 PA 等于（　　） A． 100sin35°米 B． 100sin55°米 C． 100tan35°米 D． 100tan55°米 【来源】湖北省宜昌市 2018 年中考数学试卷 【答案】C 【解析】分析：根据正切函数可求小河宽 PA 的长度． 详解：∵PA⊥PB，PC=100 米，∠PCA=35°， ∴小河宽 PA=PCtan∠PCA=100tan35°米． 故选：C．5 点睛：考查了解直角三角形的应用，解直角三角形的一般过程是：①将实际问题抽象为数学问题（画出平 面图形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题）．②根据题目已知特点选用适当锐角三角函数或边角 关系去解直角三角形，得到数学问题的答案，再转化得到实际问题的答案． 7．如图，在△ABC 中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足为 D，∠ABC 的平分线交 AD 于点 E，则 AE 的长为 A． B． 2 C． D． 3 【来源】陕西省 2018 年中考数学试题 【答案】C 【详解】∵AD⊥BC， ∴△ADC 是直角三角形， ∵∠C=45°， ∴∠DAC=45°， ∴AD=DC， ∵AC=8， ∴AD=4 ， 在 Rt△ABD 中，∠B=60°，∴BD= = = ， ∵BE 平分∠ABC，∴∠EBD=30°， ∴DE=BD•tan30°= = ， ∴AE=AD-DE= ， 故选 C.6 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形中边角之间的关系是解题的关键. 8．如图，AB 是⊙O 的直径，且经过弦 CD 的中点 H，已知 sin∠CDB= ，BD=5，则 AH 的长为（　　） A． B． C． D． 【来源】广西壮族自治区贺州市 2018 年中考数学试卷 【答案】B 【解析】【分析】连接 OD，由垂径定理得出 AB⊥CD，由三角函数求出 BH=3，由勾股定理得出 DH= =4，设 OH=x，则 OD=OB=x+3，在 Rt△ODH 中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 设 OH=x，则 OD=OB=x+3， 在 Rt△ODH 中，由勾股定理得：x2+42=（x+3）2， 解得：x= ， ∴OH= ， ∴AH=OA+OH= +3+ = ， 故选 B．7 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及三角函数等知识，正确添加辅助线，熟练应用垂径定理、灵 活运用数形结合思想是解题的关键. 9．如图，AB 是⊙O 的直径，C，D 是⊙O 上 AB 两侧的点，若∠D=30°，则 tan∠ABC 的值为（　　） A． B． C． D． 【来源】辽宁省葫芦岛市 2018 年中考数学试卷 【答案】C 【点睛】本题考查了圆周角定理、特殊角的三角函数值，求得∠ABC=60°是解本题的关键. 10．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=3，则∠A 的正切值为（　　） A． 3 B． C． D． 【来源】云南省 2018 年中考数学试卷 【答案】A8 【点睛】本题考查了锐角三角函数的定义，能熟记锐角三角函数的定义的内容是解此题的关键． 二、填空题 11．如图，小明为了测量校园里旗杆 AB 的高度，将测角仪 CD 竖直放在距旗杆底部 B 点 6m 的位置，在 D 处 测得旗杆顶端 A 的仰角为 53°，若测角仪的高度是 1.5m，则旗杆 AB 的高度约为______m．（精确到 0.1m．参 考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 【来源】辽宁省大连市 2018 年中考数学试卷 【答案】9.5 【解析】分析：根据三角函数和直角三角形的性质解答即可． 详解：过 D 作 DE⊥AB， ∵在 D 处测得旗杆顶端 A 的仰角为 53°， ∴∠ADE＝53°， ∵BC＝DE＝6m， ∴AE＝DE•tan53°≈6×1.33≈7.98m， ∴AB＝AE＋BE＝AE＋CD＝7.98＋1.5＝9.48m≈9.5m，9 故答案为：9.5 点睛：此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想 与数形结合思想的应用． 12．如图，在点 B 处测得塔顶 A 的仰角为 30°，点 B 到塔底 C 的水平距离 BC 是 30m，那么塔 AC 的高度为__m （结果保留根号）． 【来源】辽宁省阜新市 2018 年中考数学试题 【答案】 点睛：此题考查了考查仰角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想 与数形结合思想的应用． 13．如图，△ABC 是等边三角形，AB= ，点 D 是边 BC 上一点，点 H 是线段 AD 上一点，连接 BH、CH．当 ∠BHD=60°，∠AHC=90°时，DH=_____． 【来源】辽宁省沈阳市 2018 年中考数学试卷 【答案】10 【详解】作 AE⊥BH 于 E，BF⊥AH 于 F，如图， ∵△ABC 是等边三角形， ∴AB=AC，∠BAC=60°， ∵∠BHD=∠ABH+∠BAH=60°，∠BAH+∠CAH=60°， ∴∠ABH=∠CAH， 在△ABE 和△CAH 中 ， ∴△ABE≌△CAH， ∴BE=AH，AE=CH， 在 Rt△AHE 中，∠AHE=∠BHD=60°， ∴sin∠AHE= ，HE= AH， ∴AE=AH•sin60°= AH， ∴CH= AH， 在 Rt△AHC 中，AH2+（ AH）2=AC2=（ ）2，解得 AH=2， ∴BE=2，HE=1，AE=CH= ， ∴BH=BE﹣HE=2﹣1=1， 在 Rt△BFH 中，HF= BH= ，BF= ， ∵BF∥CH， ∴△CHD∽△BFD，11 ∴ =2， ∴DH= HF= × = ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形等，解题的关键 是明确在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本 图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形． 14．如图，航拍无人机从 A 处测得一幢建筑物顶部 B 的仰角为 45°，测得底部 C 的俯角为 60°，此时航拍 无人机与该建筑物的水平距离 AD 为 110m，那么该建筑物的高度 BC 约为_____m（结果保留整数， ≈1.73）． 【来源】湖北省咸宁市 2018 年中考数学试卷 【答案】300 【详解】如图，∵在 Rt△ABD 中，AD=110，∠BAD=45°， ∴BD= AD•tan45° =110（m）， ∵在 Rt△ACD 中，∠CAD=60°， ∴CD=AD•tan60°=110× ≈190（m）， ∴BC=BD+CD=110+190=300（m），12 即该建筑物的高度 BC 约为 300 米， 故答案为：300． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键． 15．在直角三角形 ABC 中，∠ACB=90°，D、E 是边 AB 上两点，且 CE 所在直线垂直平分线段 AD，CD 平分 ∠BCE，BC=2 ，则 AB=_____． 【来源】贵州省铜仁市 2018 年中考数学试题 【答案】4 详解：∵CE 所在直线垂直平分线段 AD， ∴CE 平分∠ACD， ∴∠ACE=∠DCE． ∵CD 平分∠BCE， ∴∠DCE=∠DCB． ∵∠ACB=90°， ∴∠ACE= ∠ACB=30°， ∴∠A=60°， ∴AB= =4． 故答案为：4． 点睛：本题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及特殊角的三角函数值，通过角的计算找出 ∠A=60°是解题的关键． 16．如图，在平面直角坐标系中，菱形 OABC 的一个顶点在原点 O 处，且∠AOC=60°，A 点的坐标是（0， 4），则直线 AC 的表达式是_____．13 【来源】湖南省郴州市 2018 年中考数学试卷 【答案】 【解析】【分析】根据菱形的性质，可得 OC 的长，根据三角函数，可得 OD 与 CD，从而可得点 C 坐标，然后 再根据待定系数法，即可求得直线 AC 的表达式. 【详解】如图， 设 AC 的解析式为 y=kx+b， 将 A，C 点坐标代入函数解析式，得 ， 解得 ，14 直线 AC 的表达式是 y=﹣ x+4， 故答案为：y=﹣ x+4． 【点睛】本题考查了菱形的性质、待定系数法求一次函数解析式，利用锐角三角函数得出 C 点坐标是解题 关键． 17．如图，在菱形 ABCD 中， ， 是锐角， 于点 E，M 是 AB 的中点，连结 MD， 若 ， 则 的值为______． 【来源】浙江省宁波市 2018 年中考数学试卷 【答案】 【详解】延长 DM 交 CB 的延长线于点 H， 四边形 ABCD 是菱形， ， ， ， ， ， ≌ ， ， ， ，设 ， ， ，15 ， ， ， 或 舍弃 ， ， 故答案为： ． 【点睛】本题考查了菱形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的性质、全等三角形的判定和性质等知识， 正确添加辅助线，构造全等三角形解决问题是解决本题的关键. 18．如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度 AB，飞机上的测量人员在 C 处测得 A，B 两点的俯角分 别为 和 若飞机离地面的高度 CH 为 1200 米，且点 H，A，B 在同一水平直线上，则这条江的宽度 AB 为______米 结果保留根号 ． 【来源】浙江省宁波市 2018 年中考数学试卷 【答案】 【解析】【分析】在 和 中，利用锐角三角函数，用 CH 表示出 AH、BH 的长，然后计算出 AB 的长． 米， 故答案为： .16 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用——仰角、俯角问题，题目难度不大，解决本题的关键是用含 CH 的式子表示出 AH 和 BH． 19．计算： ﹣|2﹣2 |+2tan45°=_____． 【来源】湖北省随州市 2018 年中考数学试卷 【答案】4 【点睛】本题考查了实数的混合运算，熟练掌握特殊角的三角函数值、二次根式混合运算的法则是解题的 关键. 20．如图，一次函数 y=x﹣2 的图象与反比例函数 y= （k＞0）的图象相交于 A、B 两点，与 x 轴交与点 C， 若 tan∠AOC= ，则 k 的值为_____． 【来源】湖北省随州市 2018 年中考数学试卷 【答案】3 【解析】【分析】如图，过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D，根据题意设出点 A 的坐标，然后根据一次函数y=x﹣2 的图象与反比例函数 y= （k＞0）的图象相交于 A、B 两点，可以求得 a 的值，进而求得 k 的值即可. 【详解】如图，过点 A 作 AD⊥x 轴，垂足为 D， ∵tan∠AOC= = ，∴设点 A 的坐标为（3a，a）， ∵一次函数 y=x﹣2 的图象与反比例函数 y= （k＞0）的图象相交于 A、B 两点，17 ∴a=3a﹣2，得 a=1， ∴1= ，得 k=3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了正切，反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问 题需要的条件，利用数形结合的思想解答． 21．已知△ABC 中，AB=10，AC=2 ，∠B=30°，则△ABC 的面积等于_____． 【来源】江苏省无锡市 2018 年中考数学试题 【答案】15 或 10 详解：作 AD⊥BC 交 BC（或 BC 延长线）于点 D， ①如图 1，当 AB、AC 位于 AD 异侧时， 在 Rt△ABD 中，∵∠B=30°，AB=10， ∴AD=ABsinB=5，BD=ABcosB=5 ， 在 Rt△ACD 中，∵AC=2 ， ∴CD= ， 则 BC=BD+CD=6 ，18 ∴S△ABC= •BC•AD= ×6 ×5=15 ； ②如图 2，当 AB、AC 在 AD 的同侧时， 点睛：本题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟练掌握三角函数的运用、分类讨论思想的运算及勾股 定理． 22．如图，无人机在空中 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 60°、45°，如果无人机距地面高度 CD 为 米，点 A、D、E 在同一水平直线上，则 A、B 两点间的距离是_____米．（结果保留根号） 【来源】湖北省黄石市 2018 年中考数学试卷 【答案】100（1+ ） 【解析】分析：如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在Rt△ACD 中利用正切定义可计算出 AD=100， 在 Rt△BCD 中利用等腰直角三角形的性质得 BD=CD=100 ，然后计算 AD+BD 即可． 详解：如图， ∵无人机在空中 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 60°、45°，19 点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知 和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 23．如图，在边长为 1 的小正方形网格中，点 A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD 相交于点 O，则 tan∠AOD=________. 【来源】四川省眉山市 2018 年中考数学试题 【答案】2 【解析】分析：首先连接 BE，由题意易得 BF=CF，△ACO∽△BKO，然后由相似三角形的对应边成比例，易 得 KO：CO=1：3，即可得 OF：CF=OF：BF=1：2，在 Rt△OBF 中，即可求得 tan∠BOF 的值，继而求得答 案． 详解：如图，连接 BE， ∵四边形 BCEK 是正方形， ∴KF=CF= CK，BF= BE，CK=BE，BE⊥CK， ∴BF=CF， 根据题意得：AC∥BK， ∴△ACO∽△BKO，20 ∴KO：CO=BK：AC=1：3， ∴KO：KF=1：2， ∴KO=OF= CF= BF， 在 Rt△PBF 中，tan∠BOF= =2， ∵∠AOD=∠BOF， ∴tan∠AOD=2． 故答案为：2 点睛：此题考查了相似三角形的判定与性质，三角函数的定义．此题难度适中，解题的关键是准确作出辅 助线，注意转化思想与数形结合思想的应用． 24．如图，一艘渔船正以 60 海里/小时的速度向正东方向航行，在 A 处测得岛礁 P 在东北方向上，继续航 行 1.5 小时后到达 B 处，此时测得岛礁 P 在北偏东 30°方向，同时测得岛礁 P 正东方向上的避风港 M 在北 偏东 60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达 M 处，渔船立刻加速以 75 海里/小时的速度继续航行 _____小时即可到达．（结果保留根号） 【来源】山东省潍坊市 2018 年中考数学试卷 【答案】 【详解】如图，过点 P 作 PQ⊥AB 交 AB 延长线于点 Q，过点 M 作 MN⊥AB 交 AB 延长线于点 N， 在直角△AQP 中，∠PAQ=45°，则 AQ=PQ=60×1.5+BQ=90+BQ（海里）， 所以 BQ=PQ﹣90． 在直角△BPQ 中，∠BPQ=30°，则 BQ=PQ•tan30°= PQ（海里）， 所以 PQ﹣90= PQ， 所以 PQ=45（3+ ）（海里），21 所以 MN=PQ=45（3+ ）（海里）， 在直角△BMN 中，∠MBN=30°， 所以 BM=2MN=90（3+ ）（海里）， 所以 （小时）， 故答案为： ． 【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用，此题是一道方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角 三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想． 三、解答题 25．如图，一艘游轮在 A 处测得北偏东 45°的方向上有一灯塔 B．游轮以 20 海里/时的速度向正东方向航 行 2 小时到达 C 处，此时测得灯塔 B 在 C 处北偏东 15°的方向上，求 A 处与灯塔 B 相距多少海里？（结果 精确到 1 海里，参考数据： ≈1.41， ≈1.73） 【来源】广西壮族自治区贺州市 2018 年中考数学试卷 【答案】A 处与灯塔 B 相距 109 海里．22 ∵∠ECB=15°， ∴∠BCF=90°﹣15°=75°， ∴∠B=∠BCF﹣∠MAC=75°﹣45°=30°， 在 Rt△BCM 中，tanB=tan30°= ，即 ， ∴BM=40 ， ∴AB=AM+BM=40+40 ≈40+40×1.73≈109（海里）， 答：A 处与灯塔 B 相距 109 海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 26．如图，一艘海轮位于灯塔 C 的北偏东 45 方向，距离灯塔 100 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间 后，到达位于灯塔 C 的南偏东 30°方向上的 B 处，求此时船距灯塔的距离（参考数据： ≈1.414， ≈1.732，结果取整数）． 【来源】湖北省十堰市 2018 年中考数学试卷 【答案】船距灯塔的距离为 193 海里． 【解析】【分析】过 C 作 CD 垂直于 AB，根据题意求出 AD 与 BD 的长，由 AD+DB 求出 AB 的长即可． 【详解】过 C 作 CD⊥AB， 在 Rt△ACD 中，∠A=45°， ∴△ACD 为等腰直角三角形， ∴AD=CD= AC=50 海里， 在 Rt△BCD 中，∠B=30°， ∴BC=2CD=100 海里，23 根据勾股定理得：BD=50 海里， 则 AB=AD+BD=50 +50 ≈193 海里， 则此时船锯灯塔的距离为 193 海里． 【点睛】本题考查了解直角三角形﹣方向角问题，正确添加辅助线，熟练应用直角三角形中边角关系是解 题的关键. 27．如图，一座山的一段斜坡 BD 的长度为 600 米，且这段斜坡的坡度 i=1：3（沿斜坡从 B 到 D 时，其升高 的高度与水平前进的距离之比）．已知在地面 B 处测得山顶 A 的仰角为 33°，在斜坡 D 处测得山顶 A 的仰角 为 45°．求山顶 A 到地面 BC 的高度 AC 是多少米？（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可） 【来源】内蒙古呼和浩特市 2018 年中考数学试卷 【答案】山顶 A 到地面 BC 的高度 AC 是 米. 【解析】【分析】作 DH⊥BC 于 H．设 AE=x．在 Rt△ABC 中，根据 tan∠ABC= ，构建方程即可解决问题即 可. 【详解】作 DH⊥BC 于 H，设 AE=x， ∵DH：BH=1：3， 在 Rt△BDH 中，DH2+（3DH）2=6002，24 【点睛】本题考查解直角三角形——仰角问题，借助仰角构造直角三角形并解直角三角形，熟练应用数形 结合思想与方程思想解答问题是关键. 28．两栋居民楼之间的距离 CD=30 米，楼 AC 和 BD 均为 10 层，每层楼高 3 米． （1）上午某时刻，太阳光线 GB 与水平面的夹角为 30°，此刻 B 楼的影子落在 A 楼的第几层？ （2）当太阳光线与水平面的夹角为多少度时，B 楼的影子刚好落在 A 楼的底部． 【来源】辽宁省盘锦市 2018 年中考数学试题 【答案】（1）此刻 B 楼的影子落在 A 楼的第 5 层；（2）当太阳光线与水平面的夹角为 45 度时，B 楼的影子 刚好落在 A 楼的底部． 【解析】分析：（1）延长 BG，交 AC 于点 F，过 F 作 FH⊥BD 于 H，利用直角三角形的性质和三角函数解答 即可； （2）连接 BC，利用利用直角三角形的性质和三角函数解答即可． 详解：（1）延长 BG，交 AC 于点 F，过 F 作 FH⊥BD 于 H，25 点睛：本题考查了解直角三角形的应用，难度一般，解答本题的关键是利用利用直角三角形的性质和三角 函数解答． 29．已知 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点 D、E 分别在 BC、AC 边上，连结 BE、AD 交于点 P，设 AC=kBD， CD=kAE，k 为常数，试探究∠APE 的度数： （1）如图 1，若 k=1，则∠APE 的度数为 ； （2）如图 2，若 k= ，试问（1）中的结论是否成立？若成立，请说明理由；若不成立，求出∠APE 的度 数． （3）如图 3，若 k= ，且 D、E 分别在 CB、CA 的延长线上，（2）中的结论是否成立，请说明理由． 【来源】四川省乐山市 2018 年中考数学试题 【答案】（1）45°；（2）（1）中结论不成立，理由见解析；（3）（2）中结论成立，理由见解析.26 详解：（1）如图 1，过点 A 作 AF∥CB，过点 B 作 BF∥AD 相交于 F，连接 EF， ∴∠FBE=∠APE，∠FAC=∠C=90°，四边形 ADBF 是平行四边形， ∴BD=AF，BF=AD． ∵AC=BD，CD=AE， ∴AF=AC． ∵∠FAC=∠C=90°， ∴△FAE≌△ACD， ∴EF=AD=BF，∠FEA=∠ADC． ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EHD． ∵AD∥BF， ∴∠EFB=90°． ∵EF=BF， ∴∠FBE=45°， ∴∠APE=45°． （2）（1）中结论不成立，理由如下： 如图 2，过点 A 作 AF∥CB，过点 B 作 BF∥AD 相交于 F，连接 EF，27 ∵∠FAC=∠C=90°， ∴△FAE∽△ACD， ∴ ，∠FEA=∠ADC． ∵∠ADC+∠CAD=90°， ∴∠FEA+∠CAD=90°=∠EMD． ∵AD∥BF， ∴∠EFB=90°． 在 Rt△EFB 中，tan∠FBE= ， ∴∠FBE=30°， ∴∠APE=30°， （3）（2）中结论成立，如图 3，作 EH∥CD，DH∥BE，EH，DH 相交于 H，连接 AH，28 ∴ ，∠ADC=∠HAE． ∵∠CAD+∠ADC=90°， ∴∠HAE+∠CAD=90°， ∴∠HAD=90°． 在 Rt△DAH 中，tan∠ADH= ， ∴∠ADH=30°， ∴∠APE=30°． 点睛：此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行四边 形的判定和性质，构造全等三角形和相似三角形的判定和性质． 30．据调查，超速行驶是引发交通事故的主要原因之一．小强用所学知识对一条笔直公路上的车辆进行测 速，如图所示，观测点 C 到公路的距离 CD=200m，检测路段的起点 A 位于点 C 的南偏东 60°方向上，终点 B 位于点 C 的南偏东 45°方向上．一辆轿车由东向西匀速行驶，测得此车由 A 处行驶到 B 处的时间为 10s．问 此车是否超过了该路段 16m/s 的限制速度？（观测点 C 离地面的距离忽略不计，参考数据： ≈1.41， ≈1.73） 【来源】四川省广安市 2018 年中考数学试题 【答案】此车没有超过了该路段 16m/s 的限制速度． 【解析】分析：根据直角三角形的性质和三角函数得出 DB，DA，进而解答即可． 详解：由题意得：∠DCA=60°，∠DCB=45°，29 点睛：本题考查了解直角三角形的应用﹣方向角问题，解答本题的关键是利用三角函数求出 AD 与 BD 的长 度，难度一般． 31．我市 304 国道通辽至霍林郭勒段在修建过程中经过一座山峰，如图所示，其中山脚 A、C 两地海拔高度 约为 1000 米，山顶 B 处的海拔高度约为 1400 米，由 B 处望山脚 A 处的俯角为 30°，由 B 处望山脚 C 处的 俯角为 45°，若在 A、C 两地间打通一隧道，求隧道最短为多少米（结果取整数，参考数据 ≈1.732） 【来源】内蒙古通辽市 2018 年中考数学试卷 【答案】隧道最短为 1093 米． 【解析】【分析】作BD⊥AC 于 D，利用直角三角形的性质和三角函数解答即可． 【详解】如图，作 BD⊥AC 于 D， 由题意可得：BD=1400﹣1000=400（米）， ∠BAC=30°，∠BCA=45°， 在 Rt△ABD 中， ∵tan30°= ，即 ，30 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线构建直角三角形是解题的关键. 32．“高低杠”是女子体操特有的一个竞技项目，其比赛器材由高、低两根平行杠及若干支架组成，运动 员可根据自己的身高和习惯在规定范围内调节高、低两杠间的距离．某兴趣小组根据高低杠器材的一种截 面图编制了如下数学问题，请你解答． 如图所示，底座上 A，B 两点间的距离为 90cm．低杠上点 C 到直线 AB 的距离 CE 的长为 155cm，高杠上点 D 到直线 AB 的距离 DF 的长为 234cm，已知低杠的支架 AC 与直线 AB 的夹角∠CAE 为 82.4°，高杠的支架 BD 与直线 AB 的夹角∠DBF 为 80.3°．求高、低杠间的水平距离 CH 的长．（结果精确到 1cm，参考数据 sin82.4°≈0.991 ， cos82.4°≈0.132 ， tan82.4°≈7.500 ， sin80.3°≈0.983 ， cos80.3°≈0.168 ， tan80.3°≈5.850） 【来源】河南省 2018 年中考数学试卷 【答案】高、低杠间的水平距离 CH 的长为 151cm． 【解析】分析：利用锐角三角函数，在 Rt△ACE 和 Rt△DBF 中，分别求出 AE、BF 的长．计算出 EF．通过矩 形 CEFH 得到 CH 的长． 详解：在 Rt△ACE 中， ∵tan∠CAE= ，31 点睛：本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度． 33．如图①，在 Rt△ABC 中，以下是小亮探究 与 之间关系的方法： ∵sinA= ，sinB= ， ∴c= ，c= ， ∴ = ， 根据你掌握的三角函数知识．在图②的锐角△ABC 中，探究 、 、 之间的关系，并写出探究过 程． 【来源】贵州省贵阳市 2018 年中考数学试卷 【答案】 = = ，理由见解析. 【解析】【分析】三式相等，理由为：过 A 作 AD⊥BC，BE⊥AC，在直角三角形 ABD 中，利用锐角三角函数定 义表示出 AD，在直角三角形 ADC 中，利用锐角三角函数定义表示出 AD，两者相等即可得证．32 【点睛】本题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 34．已知：如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中点，MD∥BC，且 MD=CM，DE⊥AB 于点 E， 连结 AD、CD． （1）求证：△MED∽△BCA； （2）求证：△AMD≌△CMD； （3）设△MDE 的面积为 S1，四边形 BCMD 的面积为 S2，当 S2= S1 时，求 cos∠ABC 的值． 【来源】四川省资阳市 2018 年中考数学试卷 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）cos∠ABC= .33 【详解】（1）∵MD∥BC， ∴∠DME=∠CBA， ∵∠ACB=∠MED=90°， ∴△MED∽△BCA； （2）∵∠ACB=90°，点 M 是斜边 AB 的中点， ∴MB=MC=AM， ∴∠MCB=∠MBC， ∵∠DMB=∠MBC， ∴∠MCB=∠DMB=∠MBC， ∵∠AMD=180°﹣∠DMB， ∠CMD=180°﹣∠MCB﹣∠MBC+∠DMB=180°﹣∠MBC， ∴∠AMD=∠CMD， 在△AMD 与△CMD 中， ， ∴△AMD≌△CMD（SAS）； （3）∵MD=CM， ∴AM=MC=MD=MB， ∴MD=2AB， 由（1）可知：△MED∽△BCA，34 ∴ ， ∴S△ACB=4S1， ∵CM 是△ACB 的中线， ∴S△MCB= S△ACB=2S1， ∴S△EBD=S2﹣S△MCB﹣S1= S1， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 【点睛】本题考查相似三角形的综合问题，涉及直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的性质与判定， 相似三角形的判定与性质，三角形面积的面积比，锐角三角函数的定义等知识，综合程度较高，熟练掌握 和灵活运用相关的性质及定理进行解题是关键. 35．如图是小红在一次放风筝活动中某时段的示意图，她在 A 处时的风筝线（整个过程中风筝线近似地看 作直线）与水平线构成 30°角，线段 AA1 表示小红身高 1.5 米． （1）当风筝的水平距离 AC=18 米时，求此时风筝线 AD 的长度； （2）当她从点 A 跑动 9 米到达点 B 处时，风筝线与水平线构成 45°角，此时风筝到达点 E 处，风筝的水 平移动距离 CF=10 米，这一过程中风筝线的长度保持不变，求风筝原来的高度 C1D．35 【来源】四川省资阳市 2018 年中考数学试卷 【答案】（1）风筝线 AD 的长度为 12 米；（2）风筝原来的高度 C1D 为 米． 【详解】（1）∵在 Rt△ACD 中，cos∠CAD= ，AC=18、∠CAD=30°， ∴AD= = （米）， 答：此时风筝线 AD 的长度为 12 米； （2）设 AF=x 米，则 BF=AB+AF=9 +x（米）， 在 Rt△BEF 中，BE= = =18+ x（米）， 由题意知 AD=BE=18+ x（米）， ∵CF=10 ， ∴AC=AF+CF=10 +x， 由 cos∠CAD= 可得 ， 解得：x=3 +2 ， 则 AD=18+ ×（3 +2 ）=24+3 ， ∴CD=ADsin∠CAD=（24+3 ）× = ， 则 C1D=CD+C1C= + = ， 答：风筝原来的高度 C1D 为 米． 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握三角函数的定义、根据题意找到两直角三角形间的关36 联是解决本题的关键. 36．如图，已知△ABC 中，AB=BC=5，tan∠ABC= ． （1）求边 AC 的长； （2）设边 BC 的垂直平分线与边 AB 的交点为 D，求 的值． 【来源】上海市 2018 年中考数学试卷 【答案】（1）AC= ；（2） ． 【详解】（1）如图，过点 A 作 AE⊥BC， 在 Rt△ABE 中，tan∠ABC= ，AB=5， ∴AE=3，BE=4， ∴CE=BC﹣BE=5﹣4=1， 在 Rt△AEC 中，根据勾股定理得：AC= = ； （2）∵DF 垂直平分 BC， ∴BD=CD，BF=CF= ， ∵tan∠DBF= ， ∴DF= ， 在 Rt△BFD 中，根据勾股定理得：BD= = ， ∴AD=5﹣ = ， 则 ．37 【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，正确添加辅助线、根据边角关系熟练应用三角函数进行解答是 解题的关键.