[7.5 第1课时 解直角三角形的意义]
一、选择题
1．如图K－30－1，已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，则下列关系式错误的是( )
图K－30－1
A．a＝btanA B．b＝ccosA
C．a＝csinA D．c＝
2．在下列条件下，不能解直角三角形的是( )
A．已知一直角边和一锐角
B．已知一斜边和一锐角
C．已知两边
D．已知两锐角
3．在Rt△ACB中，∠C＝90°，AB＝10，sinA＝，cosA＝，tanA＝，则BC的长为( )
A．6 B．7.5 C．8 D．12.5
4．2018·宜昌如图K－30－2，要测量小河两岸相对的两点P，A的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA等于( )
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图K－30－2
A．100sin35°米 B．100sin55°米
C．100tan35°米 D．100tan55°米
二、填空题
5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，c＝8，∠B＝30°，则∠A＝________，a＝________，b＝________．
6．如图K－30－3，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α，AC＝7米，则树高BC为________米．
图K－30－3
7．如图K－30－4，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°，BC＝32，则AC＝________．
(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
图K－30－4
8．已知在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝2 ，BD是中线，则BD的长是________．
三、解答题
9．如图K－30－5，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝37°.若BC＝3，求AC，AB的长．(结果保留小数点后一位，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
图K－30－5
5
10．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，∠A＝60°，c＝8 .解这个直角三角形.
探究题2018·无锡模拟如图K－30－6，在Rt△ABC中，∠CAB＝90°，在斜边CB上取点M，N(不包含C，B两点)，且tanB＝tanC＝tan∠MAN＝1，设MN＝x，BM＝n，CN＝m，则以下结论能成立的是( )
图K－30－6
A．m＝n B．x＝m＋n
C．x＞m＋n D．x2＝m2＋n2
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详解详析
[课堂达标]
1．D
2．[解析] D 解直角三角形，需已知一角一边或两边．
3．[解析] A 如图，∵∠C＝90°，
∴sinA＝，
∴BC＝AB·sinA＝10×＝6.
故选A.
4．[解析] C 在Rt△PCA中，∠APC＝90°，tan∠PCA＝，∴PA＝PC·tan∠PCA＝100tan35°米．
5．60° 4 4
6．[答案] 7tanα
[解析] 在Rt△ABC中，因为tanα＝，
所以BC＝AC·tanα＝7tanα，
故答案为7tanα.
7．[答案] 24
[解析] 由题意知tanB＝tan37°＝≈0.75，解得AC＝24.
8．[答案]
[解析] 由正切定义，先求出AC的长，再求出DC的长，由勾股定理求出BD＝.
9．[解析] 根据正切函数和余弦函数的定义即可得到结论．
解：∵∠C＝90°，
∴∠B＝37°.
又∵BC＝3，
∴AC＝BC·tan37°≈2.3，
AB＝≈3.8.
10．解：∠B＝90°－60°＝30°.
∵sinA＝，
∴a＝c·sinA＝8 ×sin60°＝8 ×＝12，
∴b＝＝＝4 .
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[素养提升]
[解析] D ∵tanB＝tanC＝tan∠MAN＝1，
∴∠B＝∠ACB＝∠MAN＝45°.
∵∠CAB＝90°，
∴AC＝AB.
将△BAM绕点A顺时针旋转90°至△ACN′，点B与点C重合，点M落在点N′处，连接NN′，
则AN′＝AM，CN′＝BM，∠1＝∠3.
∵∠MAN＝45°，∠CAB＝90°，
∴∠1＋∠2＝45°，
∴∠2＋∠3＝45°，
∴∠N′AN＝∠MAN.
在△MAN与△NAN′中，
∵
∴△MAN≌△N′AN(SAS)，
∴MN＝NN′.
由旋转的性质可知，∠ACN′＝∠B＝45°，
∴∠NCN′＝∠ACN′＋∠ACB＝90°，
∴NN′2＝NC2＋N′C2，
即x2＝m2＋n2.
故选D.
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