九年级数学下册第7章锐角三角函数7.6用锐角三角函数解决问题7.6.1与坡度和坡角有关的问题同步练习1（新版）苏科版.doc

第7章　锐角三角函数 ‎7.6　第1课时　与坡度和坡角有关的问题 知识点　坡度与坡角的概念 ‎1．图7－6－1是一水库大坝横断面的一部分，坝高h＝‎6 m，迎水坡AB＝‎10 m，斜坡AB的坡角为α，则tanα的值为(　　)‎ A. B. C. D. 图7－6－1‎ ‎　　　　图7－6－2‎ ‎2．如图7－6－2为河坝横断面的一部分，迎水坡AB的坡度为1∶，坝高BC＝‎3 m，则坡面AB的长度是(　　)‎ A．‎9 m B．‎‎6 m 9‎ C．‎6 ‎ m D．‎3 ‎ m ‎3．如图7－6－3，长‎4 m的楼梯AB的倾斜角∠ABD为60°，为了改善楼梯的安全性能，准备重新建造楼梯，使其倾斜角∠ACD为45°，则调整后的楼梯AC的长为(　　)‎ A．‎2 ‎ m B．‎2 ‎ m C．(2 －2) m D．(2 －2) m 图7－6－3‎ ‎　　　图7－6－4‎ ‎4．如图7－6－4是河坝横断面的一部分，迎水坡AB的坡度是1∶，坝高BC＝‎5米，则坝底AC的长度是________米．‎ 图7－6－5‎ ‎5．如图7－6－5，某登山运动员从营地A沿坡角为30°的斜坡AB到达山顶B.若AB＝‎2000米， 则他实际上升了________米．‎ ‎6．2018·杨浦区一模 如果某人滑雪时沿着一斜坡下滑了‎130米的同时，在铅垂方向上下降了‎50米，那么该斜坡的坡度是1∶________．‎ 图7－6－6‎ ‎7．教材第113页问题1变式 如图7－6－6，水库大坝的横截面是梯形，坝顶AD宽‎5米，坝高‎10米，斜坡CD的坡角为45°，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，那么坝底BC 9‎ 的长度为________米．‎ ‎8．2017·海南 为做好防汛工作，防汛指挥部决定对某水库的水坝进行加高加固，专家提供的方案是水坝加高‎2米(即CD＝‎2米)，背水坡DE的坡度i＝1∶1(即DB∶EB＝1∶1)，如图7－6－7所示．已知AE＝‎4米，∠EAC＝130°，求水坝原来的高度BC.(参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.2)‎ 图7－6－7‎ ‎9．2017·长春 如图7－6－8，某商店营业大厅自动扶梯AB的倾斜角为31°，AB的长为‎12米，求自动扶梯的水平距离AC的长．(结果精确到‎0.1米，参考数据：sin31°≈0.515，cos31°≈0.857，tan31°≈0.601)‎ 图7－6－8‎ 9‎ 图7－6－9‎ ‎10．如图7－6－9，水平面上有一个坡度i为1∶2的斜坡AB，矩形货柜DEFG放置在斜坡上．已知DE＝‎2.5 m，EF＝‎2 m，BF＝‎3.5 m，则点D离地面的高为________m．(结果保留根号)‎ ‎11．某商场为方便顾客使用购物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图7－6－10)．如果改动后电梯的坡面长为‎13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长．‎ 图7－6－10‎ ‎12．2018·徐州 如图7－6－11，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽．(结果精确到‎0.1 m，参考数据：≈1.414，≈1.732)‎ 图7－6－11‎ 9‎ ‎13．某地的一座人行天桥如图7－6－12所示，天桥高为‎6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶.‎ ‎(1)求新坡面的坡角α；‎ ‎(2)原天桥底部正前方‎8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．‎ 图7－6－12‎ 9‎ ‎14．如图7－6－13，已知斜坡AB的长为‎60米，坡角(即∠BAC)为30°，BC⊥AC，现计划在斜坡中点D处挖去部分坡体(用阴影表示)，修建一个平行于水平线CA的平台DE和一条新的斜坡BE.解答下面的问题：(下面两个小题的结果都精确到‎0.1米，参考数据：≈1.732)‎ ‎(1)若修建的斜坡BE的坡角(即∠BEF)不大于45°，则平台DE的长最多为多少米？‎ ‎(2)一座建筑物GH距离坡脚点A‎27米远(即AG＝‎27米)，小明在点D测得∠HDM为30°.点B，C，A，G，H在同一个平面上，点C，A，G在同一条直线上，且GH⊥CG，建筑物GH的高为多少米？‎ 图7－6－13‎ 9‎ ‎/ 教 师 详 解 详 析 /‎ 第7章　锐角三角函数 ‎7.6　第1课时　与坡度和坡角有关的问题 ‎1．D　2.B ‎3．B　[解析] 在Rt△ABD中，‎ ‎∵sin∠ABD＝，‎ ‎∴AD＝AB·sin∠ABD＝4sin60°＝2 (m)．‎ 在Rt△ACD中，∵sin∠ACD＝，‎ ‎∴AC＝＝2 ÷sin45°＝2 (m)．故选B.‎ ‎4．5 　[解析] ∵迎水坡AB的坡度是1∶，‎ ‎∴BC∶AC＝1∶.∵BC＝5米，∴AC＝5 米．‎ ‎5．1000‎ ‎6．2.4　[解析] 由题意及勾股定理，得水平距离＝＝120(米)，则该斜坡的坡度i＝50∶120＝1∶2.4.‎ ‎7．30‎ ‎8．解：设BC＝x米．在Rt△ABC中，∠CAB＝180°－∠EAC＝50°，‎ AB＝≈＝x.‎ 在Rt△EBD中，∵i＝BD∶EB＝1∶1，‎ ‎∴BD＝EB，∴CD＋BC＝AE＋AB，‎ 即2＋x＝4＋x，‎ 解得x＝12，∴BC＝12.‎ 答：水坝原来的高度BC约为12米．‎ ‎9．解：在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，‎ 9‎ ‎∴AC＝AB·cos∠BAC≈12×0.857≈10.3(米)．‎ 即自动扶梯的水平距离AC的长约为10.3米．‎ ‎10．2 　[解析] 过点D作DH⊥BC，垂足为H，且与AB相交于点S.∵∠DGS＝∠BHS，∠DSG＝∠BSH，∴∠GDS＝∠SBH，‎ ‎∴tan∠GDS＝tan∠SBH，即＝.∵GD＝EF＝2 m，∴GS＝1 m，∴DS＝＝ m，BS＝BF＋FS＝3.5＋(2.5－1)＝5(m)．设HS＝x m，则BH＝2x m，∴x2＋(2x)2＝52，解得x＝，∴DH＝DS＋HS＝＋＝2 (m)．‎ ‎11．解：在Rt△ADC中，∵AD∶DC＝1∶2.4，AC＝‎13米，∴DC＝2.4AD.‎ 由AD2＋DC2＝AC2，得AD2＋(2.4AD)2＝132，∴AD＝5(米)(负值不合题意，舍去)，‎ ‎∴DC＝12米．‎ 在Rt△ABD中，∵AD∶BD＝1∶1.8，‎ ‎∴BD＝5×1.8＝9(米)，‎ ‎∴BC＝DC－BD＝12－9＝3(米)．‎ 答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米．‎ ‎12．解：在Rt△CDE中，∵sinC＝，cosC＝，∴DE＝sin30°·CD＝×14＝7(m)，CE＝cos30°·CD＝×14＝7 ≈12.124≈12.12(m)．∵四边形AFED是矩形，∴EF＝AD＝‎6 m，AF＝DE＝‎7 m．在Rt△ABF中，∵∠B＝45°，∴BF＝AF＝‎7 m，∴BC＝BF＋EF＋CE≈7＋6＋12.12＝25.12≈25.1(m)．‎ 答：该坝的坝高为7 m，坝底宽约为25.1 m.‎ ‎13．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶，‎ ‎∴tanα＝tan∠CAB＝，∴∠α＝30°.‎ 答：新坡面的坡角α为30°.‎ ‎(2)文化墙PM不需要拆除．理由如下：‎ 9‎ 过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝6米．‎ ‎∵坡面BC的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶，∴BD＝CD＝6米，AD＝6 米，‎ ‎∴AB＝AD－BD＝(6 －6)米＜8米，‎ ‎∴文化墙PM不需要拆除．‎ ‎14．[解析] (1)依题意，当∠BEF＝45°时，可求得EF＝BF，而BF＝BD＝AB＝‎15米，所以DF＝‎15 ‎米，所以DE＝15 －15≈10.98≈11.0(米)；(2)要求建筑物GH的高，可过点D作DP⊥AC，垂足为P，进而利用锐角三角函数求解．‎ 解：(1)当∠BEF＝45°时，平台DE的长最大，此时EF＝BF，而BF＝BD＝AB＝15米，‎ 所以DF＝15 米，‎ 所以DE＝15 －15≈10.98≈11.0(米)．‎ 答：平台DE的长最多约为11.0米．‎ ‎(2)过点D作DP⊥AC，垂足为P.在Rt△DPA中，DP＝AD＝×30＝15(米)，PA＝AD·cos30°＝×30＝15 (米)．‎ 在矩形DPGM中，MG＝DP＝15米，DM＝PG＝(15 ＋27)米．‎ 在Rt△DMH中，HM＝DM·tan30°＝(15 ＋27)×＝(15＋9 )米，‎ 所以GH＝MG＋HM＝15＋15＋9 ≈45.6(米)．‎ 答：建筑物GH的高约为45.6米．‎ 9‎