[7.6 第1课时 与坡度、坡角有关的问题]
一、选择题
1．图K－32－1是一水库大坝横断面的一部分，坝高h＝6 m，迎水斜坡AB＝10 m，斜坡AB的坡角为α，则tanα的值为( )
图K－32－1
A. B. C. D.
2．2017·温州如图K－32－2，一辆小车沿倾斜角为α的斜坡向上行驶13米，已知cosα＝，则小车上升的高度是( )
图K－32－2
A．5米 B．6米
C．6.5米 D．12米
3．如图K－32－3，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两棵树在坡面上的距离AB为( )
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图K－32－3
A．5cosα米 B.米
C．5sinα米 D.米
4．某水库大坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽AD＝6 m，坝高为24 m，斜坡AB的坡角是45°，斜坡CD的坡比i＝1∶2，则坝底BC的长是( )
A．(30＋8 )m B．(30＋24 )m
C．42 m D．78 m
二、填空题
5．如图K－32－4，小明爬一土坡，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他距离地面高度h＝2米，则这个土坡的坡角∠A＝________°
图K－32－4
6．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2 米，则这个坡面的坡度为________．
7．2017·天门为加强防汛工作，某市对一拦水坝进行加固．如图K－32－5，加固前拦水坝的横断面是梯形ABCD，已知迎水坡面AB＝12米，背水坡面CD＝12 米，∠B＝60°，加固后拦水坝的横断面为梯形ABED，tanE＝，则CE的长为________米.
图K－32－5
三、解答题
8．2018·徐州如图K－32－6，一座堤坝的横截面是梯形，根据图中给出的数据，求坝高和坝底宽(精确到0.1 m，参考数据：≈1.414，≈1.732)．
图K－32－6
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9．某学校校园内有一小山坡，如图K－32－7所示，经测量，坡角∠ABC＝30°，斜坡AB的长为12米．为方便学生行走，决定开挖小山坡，使斜坡BD的坡比是1∶3(即CD与BC的长度之比)，A，D两点处于同一铅垂线上，求开挖后小山坡下降的高度AD.
图K－32－7
10．如图K－32－8，拦水坝的横断面为梯形ABCD，坝顶宽BC＝6米，坝高3.2米，迎水坡CD的坡度为i＝1∶2.为了提高水坝的拦水能力，需将水坝加高2米，并且保持坝顶宽度不变，迎水坡CD的坡度不变，但是背水坡的坡度由原来的i＝1∶2变成i′＝1∶2.5(有关数据在图上已注明)，求加高后的坝底HD的长．
图K－32－8
11．如图K－32－9，某校教学楼AB后方有一斜坡，已知斜坡CD的长为12米，坡角α为60°，根据有关部门的规定，∠α≤39°时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患，决定对斜坡CD进行改造，在保持坡脚C不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？(结果取整数，参考数据：sin39°≈0.63，cos39°≈0.78，tan39°≈0.81，≈1.41，≈1.73，≈2.24)
图K－32－9
12．某地的一座天桥如图K－32－10所示，天桥的高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面的坡度为1∶.
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(1)求新坡面的坡角α；
(2)原天桥底部正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．
图K－32－10
建模思想2018·泰州日照间距系数反映了房屋日照情况．如图K－32－11①，当前后房屋都朝向正南时，日照间距系数＝L∶(H－H1)，其中L为楼间水平距离，H为南侧楼房高度，H1为北侧楼房底层窗台至地面高度．
如图②，山坡EF朝北，EF长为15 m，坡度为i＝1∶0.75(即EH∶FH＝1∶0.75)，山坡顶部平地EM上有一高为22.5 m的楼房AB，底部A到点E的距离为4 m.
(1)求山坡EF的水平宽度FH；
(2)欲在AB楼正北侧山脚的平地FN上建一楼房CD，已知该楼底层窗台P处至地面C处的高度为0.9 m，要使该楼的日照间距系数不低于1.25，底部C距F处至少多远？
图K－32－11
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详解详析
[课堂达标]
1．[解析] D 过点A作AC⊥BC于点C，可求得BC＝8 m，所以tanα＝，故选D.
2．[解析] A 如图，设AC＝13，过点C作CB⊥AB于点B.
∵cosα＝＝，∴AB＝12，
∴BC＝＝＝5，
∴小车上升的高度是5米．
故选A.
3．[解析] B 合理选择三角函数是解决问题的关键．
4．[解析] D 画出草图，作AF⊥BC于点F，DE⊥BC于点E，由条件分别求出BF，CE的长即可．
5．[答案] 30
[解析] sinA＝＝＝，所以∠A＝30°.
6．1∶2
7．[答案] 8
[解析] 过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥BC于点G，AF＝AB·sinB＝6 ，∴DG＝6 .在Rt△DCG中，利用勾股定理，得CG＝18.在Rt△DEG中，tanE＝＝＝，∴GE＝26，∴CE＝GE－CG＝26－18＝8(米)．
8．解：如图，分别过点A，D作AF⊥BC，DE⊥BC，垂足分别为F，E，则四边形AFED是矩形．
在Rt△CDE中，
∵sinC＝，cosC＝，
∴DE＝sin30°·CD＝×14＝7(m)，
CE＝cos30°·CD＝×14＝7 ≈12.124≈12.12(m)．
∵四边形AFED是矩形，
∴EF＝AD＝6 m，AF＝DE＝7 m.
在Rt△ABF中，
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∵∠B＝45°，
∴BF＝AF＝7 m，
∴BC＝BF＋EF＋CE≈7＋6＋12.12＝25.12≈25.1(m)．
答：该坝的坝高为7 m，坝底宽约为25.1 m.
9．[解析] 因为AD＝AC－CD，故欲求AD，只需先求AC，CD.为此可先解Rt△ABC，求出BC，再根据坡比即可求出CD.
解：在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，
∴AC＝AB＝6米，BC＝AB·cos∠ABC＝12×＝6 (米)．
∵斜坡BD的坡比是1∶3，
∴CD＝BC＝2 米，
∴AD＝AC－CD＝(6－2 )米．
答：开挖后小山坡下降的高度AD为(6－2 )米．
10．[解析] 应把所求的HD进行合理分割，过点E作EF⊥HD于点F，过点M作MN⊥HD于点N，HD＝HN＋NF＋FD，可利用Rt△HMN和Rt△DEF来求解．
解：过点M作MN⊥HD，过点B作BG⊥HD，过点E作EF⊥HD，垂足分别为N，G，F.
∵BG＝3.2米，
∴加高后MN＝EF＝5.2米，
ME＝NF＝BC＝6米．
在Rt△HMN和Rt△DEF中，
＝，＝，
∴HN＝MN＝13米，FD＝2EF＝10.4米，∴HD＝HN＋NF＋FD＝13＋6＋10.4＝29.4(米)．
答：加高后的坝底HD的长为29.4米．
11．[解析] 假设点D移到D′的位置时，恰好∠α＝39°，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，过点D′作D′E′⊥AC于点E′，根据锐角三角函数的定义求出DE，CE，CE′的长，进而可得出结论．
解：假设点D移到D′的位置时，∠α＝39°.如图，过点D作DE⊥AC，交AC的延长线于点E，过点D′作D′E′⊥AC，交AC的延长线于点E′.
∵CD＝12米，∠DCE＝60°，
∴DE＝CD·sin60°＝12×＝6 (米)，CE＝CD·cos60°＝12×＝6(米)．
∵DE⊥AC，D′E′⊥AC，DD′∥CE′，
∴四边形DEE′D′是矩形，
∴D′E′＝DE＝6 米．
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∵∠D′CE′＝39°，
∴CE′＝≈≈12.8，
∴EE′＝CE′－CE≈12.8－6＝6.8≈7(米)．
答：学校至少要把坡顶D向后水平移动7米才能保证教学楼的安全．
12．解：(1)∵新坡面的坡度为1∶，
∴tanα＝tan∠CAB＝＝，∴α＝30°.
答：新坡面的坡角α为30°.
(2)文化墙PM不需要拆除．理由如下：
如图，过点C作CD⊥AB于点D，则CD＝6.
∵坡面BC的坡度为1∶1，新坡面的坡度为1∶，
∴BD＝CD＝6，AD＝6 ，
∴AB＝AD－BD＝6 －6＜8，
∴文化墙PM不需要拆除．
[素养提升]
解：(1)∵iEF＝1∶0.75＝＝，∴可设EH＝4x m，FH＝3x m，则EF＝＝5x＝15 m，
∴x＝3，∴FH＝9 m，即山坡EF的水平宽度FH为9 m.
(2)如图，延长BA，FH交于点G，则AG＝EH＝12 m，GH＝AE＝4 m，∴BG＝AB＋AG＝22.5＋12＝34.5(cm)．
设CF＝y m，则CG＝CF＋FH＋GH＝y＋9＋4＝(y＋13)m.
由题意知CG∶(BG－CP)≥1.25，
∴≥1.25，解得y≥29，
∴底部C距F处至少29 m远．
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