[7.6 第2课时 与圆有关的问题]
一、选择题
1．如图K－33－1所示，已知⊙O的半径为1，AB与⊙O相切于点A，OB与⊙O交于点C，CD⊥OA，垂足为D，则cos∠AOB的值等于( )
图K－33－1
A．OD B．OA C．CD D．AB
2．图K－33－2是跷跷板的示意图，支柱OC与地面垂直，O是横板AB的中点，AB可以绕着点O上下转动，当A端落地时，∠OAC＝20°，横板上下可转动的最大角度(即∠A′OA)是( )
图K－33－2
A．80° B．60° C．40° D．20°
3．如图K－33－3①表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，点A距桌面的高度为10厘米．如图K－33－3②，若此钟面显示3点45分时，点A距桌面的高度为16厘米，则钟面显示3点50分时，点A距桌面的高度为( )
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图K－33－3
A．(22－3 )厘米 B．(16＋π)厘米
C．18厘米 D．19厘米
二、填空题
4．林业工人为调查树木的生长情况，常用一种角卡工具测量大树的直径，其工作原理如图K－33－4.现已知∠BAC＝53°8′，AB＝0.5米，则这棵大树的直径约为________米．
(O为大树直径的中点，参考数据：tan26°34′≈0.5)
图K－33－4
5．某落地钟钟摆长为0.5 m，来回摆到最大，夹角为20°，已知在钟摆的摆动过程中，摆锤离地面的最低高度为a m，最高高度为b m，则b－a＝________m．(结果精确到0.0001 m，参考数据：cos10°≈0.985)
6．小聪有一块含有30°角的三角尺，他想只利用量角器来测量较短直角边的长度，于是他采用如图K－33－5的方法，小聪发现点A处的三角尺读数为12 cm，点B处的量角器的读数为74°和106°，由此可知三角尺的较短直角边的长度约为________cm.(参考数据：tan37°≈0.75)
图K－33－5
7．一颗位于地球上空的气象卫星S，对地球上某区域天气系统的形成和发展进行监测．如图K－33－6，当卫星S位于地球表面上点A的正上方时，其监测区域的最远点为点B，已知被监测区域中A，B两点间距离(即的长)约为1730 km，则卫星S距地球表面的高度SA约是________km.(结果取整数，π取3.14，地球的半径约为6400 km)
图K－33－6
三、解答题
8．2018·河南模拟如图K－33－7，旗杆AB顶端系一根绳子AP
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，绳子底端离地面的距离为1 m，小明将绳子拉到AQ的位置，测得∠PAQ＝25°，此时点Q离地面的高度为1.5 m，求旗杆的高度．(参考数据：cos25°≈0.9)
图K－33－7
9．如图K－33－8，某幼儿园要在围墙的附近安装一套秋千．已知秋千顶端与地面的距离OA＝2米，秋千摆动时距地面的最低距离AB＝0.4米，秋千摆动到最高点C时，OC与铅垂线OA的夹角∠COA＝55°.使用时要求秋千摆动的最高点C与围墙DE之间的距离CD＝0.8米．那么秋千固定点A应距围墙DE多远？(提示：sin55°≈0.82)
图K－33－8
10．如图K－33－9①是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时的情景．图②是小明锻炼时上半身由EN位置运动到与地面垂直的EM位置时的示意图．已知BC＝0.64米，AD＝0.24米，α＝18°.(sin18°≈0.31，cos18°≈0.95，tan18°≈0.32)
(1)求AB的长(精确到0.01米)；
(2)若测得EN＝0.8米，试计算小明头顶由N点运动到点M的路径()的长度(结果保留π)．
图K－33－9
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某地质公园为了方便游客，计划修建一条栈道BC连接两条进入观景台OA的栈道AC和OB，其中AC⊥BC，同时为减少对地质地貌的破坏，设立一个圆形保护区⊙M(如图K－33－10所示)，M是OA上一点，⊙M与BC相切，观景台的两端A，O到⊙M上任意一点的距离均不小于80米．在直角坐标系中，经测量，OA＝60米，OB＝170米，tan∠OBC＝.
(1)求栈道BC的长；
(2)当点M位于何处时，可以使该圆形保护区的面积最大？
图K－33－10
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详解详析
[课堂达标]
1．A 2.C
3．[解析] D
如图，过点A″作A″E⊥OA′于点E，过点A′作A′C⊥桌面于点C.∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，A点距桌面的高度为10厘米，∴AD＝10厘米．∵钟面显示3点45分时，A点距桌面的高度为16厘米，∴A′C＝16厘米，∴AO＝A″O＝6厘米．则钟面显示3点50分时，∠A″OA′＝30°，∴A″E＝3厘米，∴A″点距桌面的高度为16＋3＝19(厘米)．故选D.
4．[答案] 0.5
[解析] 由题意可知∠OAB＝∠OAC＝26°34′，且OB＝AB·tan∠OAB＝0.5·tan26°34′≈0.25(米)，∴树的直径为2OB≈0.5米．
5．[答案] 0.0075
[解析] 如图，作AC⊥OD于点C.依题意得OA＝OB＝0.5 m，∠AOB＝10°，AE＝b m，BD＝a m．在Rt△ACO中，OC＝OA·cos10°，∴b－a＝BC＝OB－OC＝0.5－OA·cos10°＝0.5－0.5cos10°≈0.0075(m)．
6．[答案] 16
7．[答案] 242
[解析] 如图所示，设O为所在圆的圆心，连接AO，BO，由题意可知OB⊥SB，即△OSB为直角三角形，要求出SA，必须先求SO，而SO的长度需借助OB，利用三角函数来解答．具体的解答过程如下：
设所在圆的圆心为点O，连接OA，OB，则O，A，S在同一直线上．
设∠BOS＝n°，由题意可知SB与⊙O相切，
∴SB⊥OB.
又∵1730＝，即1730≈，
解得n≈15.5.
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在Rt△OBS中，∵cos∠BOS＝，
∴OS＝＝≈6642(km)，
∴SA＝OS－OA≈6642－6400＝242(km)，
即卫星S距地球表面的高度SA约是242 km.
8．解：如图，过点Q作QM⊥AP交AP于点M.
设AP＝x m，则AQ＝x m，AM＝(x－0.5) m.
在Rt△AMQ中，cos25°＝＝≈0.9，
解得x＝5，经检验，x＝5是分式方程的解，且符合题意，
∴x＋1＝6.
答：旗杆的高度为6 m.
9．[解析] 延长DC交OA于点F，在Rt△OFC中，利用已知条件求出CF的长即可得到DF，进而求出AE的长．
解：如图，延长DC交OA于点F.
∵CD⊥DE，AE⊥DE，OA⊥AE，
∴四边形DEAF是矩形，
∴CF⊥OB，DF＝AE.
∵AB＝0.4米，OA＝2米，
∴OC＝OB＝2－0.4＝1.6(米)．
∵sin∠COA＝，
∴CF＝OC·sin55°≈1.6×0.82＝1.312(米)，
∴AE＝DF＝CD＋CF≈0.8＋1.312＝2.112(米)．
答：秋千固定点A应距围墙DE2.112米．
10．解：(1)如图，过点A作AF⊥BC于点F，
∴BF＝BC－AD＝0.4米，
∴AB＝BF÷sin18°≈1.29(米)．
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(2)∵∠NEM＝90°＋18°＝108°，
∴的长为＝0.48π(米)．
[素养提升]
解：(1)如图①，过点C作CE⊥OB于点E，过点A作AF⊥CE于点F.
∵∠ACB＝90°，∠BEC＝90°，
∴∠ACF＝∠OBC，
∴tan∠ACF＝tan∠OBC＝.
设AF＝4x，则CF＝3x.
∵∠AOE＝∠AFE＝∠OEF＝90°，
∴四边形OEFA为矩形，
∴OE＝AF＝4x，EF＝OA＝60，
∴CE＝3x＋60.
∵tan∠OBC＝＝，
∴BE＝CE＝x＋45，
从而OB＝OE＋BE＝4x＋x＋45，
即4x＋x＋45＝170，解得x＝20，
∴CE＝120，BE＝90，
∴BC＝＝150.
故栈道BC的长为150米．
(2)如图②，设BC与⊙M相切于点Q，延长QM交直线BO于点P.
∵∠POM＝∠PQB＝90°，
∴∠PMO＝∠OBC.
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∵tan∠OBC＝，
∴tan∠PMO＝.
设OM＝x，则OP＝x，PM＝x，
∴PB＝x＋170.
在Rt△PQB中，tan∠PBQ＝＝，
∴＝，
∴PQ＝＝x＋136.
设⊙M的半径为R，
则R＝MQ＝x＋136－x＝136－x.
∵A，O到⊙M上任意一点的距离均不小于80米，
∴R－AM≥80，R－OM≥80，
∴
解得10≤x≤35，
∴当x＝10时，R取得最大值，
即OM＝10米时圆形保护区的面积最大．
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