第7章 锐角三角函数
7.6 第2课时 与圆有关的问题
知识点 与圆有关的问题
1．如图7－6－14，直线AB与⊙O相切于点A，⊙O的半径为2，若∠OBA＝30°，则OB的长为( )
A．4 B．4 C．2 D．2
图7－6－14
图7－6－15
2．某资料曾记载一种计算地球与月球之间距离的方法，如图7－6－15，假设赤道上有一点C，∠ACB＝90°，可以测量∠A的度数，则AB等于( )
A. B．AC·cosA
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C. D．AC·sinA
3．小李到公园游玩时去坐大型摩天轮，摩天轮的半径为20 m，匀速转动一周需要12 min，小李乘坐最底部的车厢(离地面1 m)，经过2 min后到达点Q(如图7－6－16所示)，则此时他离地面的高度是( )
A．10 m B．11 m
C. m D．(＋1)m
图7－6－16
图7－6－17
4．如图7－6－17，某航天飞船在地球表面点P的正上方A处，从A处观测地球上的最远点Q，若∠QAP＝α，地球半径为R，则航天飞船距离地球的最近距离AP及P，Q两点间的地面距离分别是( )
A.， B.－R，
C.－R， D.，
5．小聪有一块含有30°角的三角尺，他想只利用量角器来测量较短直角边的长度，于是他采用如图7－6－18的方法，小聪发现点A处的三角尺读数为12 cm，点B处的量角器的读数为74°，由此可知三角尺的较短直角边的长度约为________cm.(参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75)
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图7－6－18
图7－6－19
6．林业员为调查树木的生长情况，常用一种角卡为工具，可以很快测出大树的直径，其工作原理如图7－6－19.现已知∠BAC＝53°8′，AB＝0.5米，则这棵大树的直径约为________米．(参考数据：tan53°8′≈1.33，tan26°34′≈0.50，结果精确到0.1米)
7．如图7－6－20是放置在桌面上的地球仪截面图，半径OC所在的直线与桌面垂直，垂足为E，点A，B为地球仪的南、北极，直线AB与桌面交于点D，所成的∠EDB为53°，量得DE＝15 cm，AD＝14 cm，求半径OA的长．(参考数据： sin53°≈0.80, cos53°≈0.60, tan53°≈1.33)
图7－6－20
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8．如图7－6－21，图①是一个小朋友玩“滚铁环”的游戏，铁环是圆形的，铁环向前滚动时，铁环钩保持与铁环相切．将这个游戏抽象为数学问题，如图②.已知铁环的半径为25 cm，设铁环中心为O，铁环钩与铁环的相切点为M，铁环与地面的接触点为A，∠MOA＝α，且sinα＝.若人站立点C与点A的水平距离AC等于55 cm，则铁环钩MF的长度为( )
图7－6－21
A．46 cm B．48 cm C．50 cm D．52 cm
9．如图7－6－22表示一个时钟的钟面垂直固定于水平桌面上，其中分针上有一点A，且当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，点A距桌面的高度为10厘米．如图②，若此钟面显示3点45分时，点A距桌面的高度为16厘米，则钟面显示3点50分时，点A距桌面的高度为________厘米．
图7－6－22
图7－6－23
10．一颗位于地球上空的气象卫星S，对地球上某区域的天气情况进行监测，如图7－6－23，当卫星S位于地球表面上点A的正上方时，其监测区域的最远点为B.已知被监测区域中，A，B两点间的地表距离(即的长)约为1730 km，则卫星S距地球表面的高度SA约是________km.(结果取整数，π取3.14，地球的半径约为6400 km)
11．某新农村乐园设置了一个秋千场所，如图7－6－24所示，秋千拉绳OB的长为3 m，静止时，踏板到地面的距离BD的长为0.6 m(踏板厚度忽略不计)．为安全起见，乐园管理处规定：儿童的“安全高度”为h m，成人的“安全高度”为2 m．(计算结果精确到0.1 m)
(1)当摆绳OA与OB成45°夹角时，恰为儿童的安全高度，则h≈________m；
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(2)某成人在玩秋千时，摆绳OC与OB的最大夹角为55°，此人是否安全(参考数据：≈1.41, sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43)?
图7－6－24
12．如图7－6－25，有两条公路OM，ON相交成30°角，沿公路OM方向离点O80米处有一所学校A，当重型运输卡车P沿道路ON方向行驶时，在以点P为圆心，50米长为半径的圆形区域内都会受到卡车噪声的影响，且卡车P与学校A的距离越近，噪声影响越大．已知重型运输卡车P沿道路ON方向行驶的速度为18千米/时．
(1)求对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离；
(2)求卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间．
图7－6－25
13．五一期间，小明和同学一起到游乐场游玩，游乐场的大型摩天轮的半径为20 m，旋转1周需要10 min.小明乘坐最底部的车厢(离地面约0.5 m)开始1周的观光．
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请探索下列问题：
(1)摩天轮启动多长时间后，小明到达观光的最高点？此时小明离地面的高度是多少？
(2)从最底部开始，经过多长时间，小明离地面的高度第一次达到10 m(精确到0.01 min)?
(3)在旋转一周的过程中，小明有多长时间保持在离地面20 m以上的空中(精确到0.01 min)?
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第7章 锐角三角函数
7.6 第2课时 与圆有关的问题
1．B
2．A [解析] 在Rt△ABC中，因为∠C＝90°，所以cosA＝，所以AB＝.
3．B [解析] 过点Q作QB⊥EF，交EF于点B，作QC⊥AO于点C.
∵QB⊥EF，QC⊥AO，OA⊥EF，
∴∠ACQ＝∠ABQ＝∠OAB＝90°，
∴四边形ACQB是矩形，∴AC＝BQ.
∵转动一周需要12 min，
∴∠COQ＝×360°＝60°，
∴∠CQO＝30°，
∴OC＝OQ＝10 m，
∴BQ＝AC＝OA－OC＝20＋1－10＝11(m)．
故选B.
4．B [解析] 连接OQ，根据切线的性质可知OQ⊥AQ.在Rt△AOQ中，sin∠QAP＝，所以AO＝，所以AP＝AO－PO＝－R，l＝＝.
5．9 [解析] 如图所示，连接圆心O和点B，则OA＝OB.由题意可知∠BOC＝2∠CAB＝74°，∴在Rt△ABC中，∠BAC＝37°.∵AB＝12，tan∠BAC＝，∴BC＝ABtan37°≈12×0.75＝9.∴短直角边的长度约为9 cm.
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6．0.5 [解析] 由题意可知∠OAB＝∠BAC＝26°34′，
∴OB＝AB·tan∠OAB＝0.5·tan26°34′≈0.25(米)，
∴这棵大树的直径为2OB≈0.5(米)．
7．解：在Rt△ODE中，DE＝15 cm，∠ODE＝53°，
∵ cos∠ODE＝，
∴OD≈＝25(cm)，
∴OA＝OD－AD≈25－14＝11(cm)．
答：半径OA的长约为11 cm.
8．C [解析] 过点M作与AC平行的直线，与OA，FC分别相交于点H，N.在Rt△OHM中，∠OHM＝90°，OM＝25，HM＝OM·sinα＝15，∴OH＝20，MB＝HA＝25－20＝5.
∵铁环钩与铁环相切，∴∠MOH＋∠OMH＝∠OMH＋∠FMN＝90°，∴∠FMN＝∠MOH＝α，∴＝sinα＝，∴FN＝MF.
在Rt△FMN中，∠FNM＝90°，MN＝BC＝AC－AB＝55－15＝40.
∵△FMN为直角三角形，∴MF2＝FN2＋MN2，即MF2＝(MF)2＋402，解得FM＝50(负值已舍去)，
∴铁环钩MF的长度为50 cm，故选C.
9．19 [解析] ∵当钟面显示3点30分时，分针垂直于桌面，点A距桌面的高度为10厘米，
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∴AD＝10厘米．
∵钟面显示3点45分时，点A距桌面的高度为16厘米，
∴A′C＝16厘米，∴AO＝A″O＝6厘米．
∵钟面显示3点50分时，∠A″OA′＝30°，
∴FA″＝3厘米，∴点A″距桌面的高度为16＋3＝19(厘米)．故答案为19.
10．242
[解析] 如图所示，连接OB，可知OB⊥SB，即△BOS为直角三角形，要求出SA，必须先求SO.设∠BOS＝n°，由题意得1730＝，
即1730≈，
解得n≈15.5.
在Rt△OBS中，cos∠BOS＝，
∴OS≈＝≈6641.6(km)，
∴SA＝SO－AO≈242(km)，
即卫星S距地球表面的高度约是242 km.
11．解：(1)如图，过点A作AN⊥OB于点N.
在Rt△ANO中，∠ANO＝90°，
∴cos∠AON＝，
∴ON＝OA· cos∠AON.
∵OA＝OB＝3 m，∠AON＝45°，
∴ON＝3· cos45°≈2.12(m)，
∴ND＝OB＋BD－ON≈3＋0.6－2.12≈1.5(m)，
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∴h＝ND≈1.5 m．故答案为1.5.
(2)如图，过点C作CM⊥FD，交FD的延长线于点M，作CE⊥OD于点E.
在Rt△CEO中，∠CEO＝90°，
∴cos∠COE＝，
∴OE＝OC·cos∠COE.
∵OC＝OB＝3 m，∠COE＝55°，
∴OE＝3·cos55°≈1.71(m)，
∴ED＝OB＋BD－OE≈3＋0.6－1.71≈1.9(m)，
∴CM＝ED≈1.9 m.
∵成人的“安全高度”为2 m，
∴此人是安全的．
12．解：(1)过点A作ON的垂线段，交ON于点P.
如图①，在Rt△AOP中，∠APO＝90°，∠POA＝30°，OA＝80米，
所以AP＝80×sin30°＝80×＝40(米)，
即对学校A的噪声影响最大时，卡车P与学校A的距离是40米．
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(2)以点A为圆心，50米长为半径画弧，交ON于D，E两点．
如图②，在Rt△ADP中，∠APD＝90°，AP＝40米，AD＝50米，
所以DP＝＝＝30(米)．
同理可得EP＝30米，所以DE＝60米．
又因为18千米/时＝5米/秒，
所以＝12(秒)．
故卡车P沿道路ON方向行驶一次给学校A带来噪声影响的时间为12秒．
13．[解析] (1)如图①，延长BO交⊙O于点E，则点E为观光的最高点，此时小明恰好旋转半个圆周，所以经过5 min，此时离地面40.5 m；
(2)由题意可知，摩天轮每分钟旋转36°，欲求旋转时间，需求旋转角∠BOC.在Rt△ODC中，OD＝20.5－10＝10.5(m)，OC＝20 m，故∠BOC的度数可求，进而求得旋转时间t＝；
(3)将第(2)题中的10 m 改为20 m，求得旋转时间为t′，故在20 m以上的空中的时间为(10－2t′)min.
解： (1)如图①，延长BO交⊙O于点E，则点E为观光的最高点，小明从点B到达点E恰好旋转了半个圆周，则摩天轮启动5 min后，小明到达观光的最高点，此时小明离地面的高度为40.5 m.
(2)如图②，设点C为小明离地面10 m 处的位置，过点C作CD⊥OB，垂足为D，
∴OD＝20＋0.5－10＝10.5(m)，
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∴cos∠DOC＝＝，
解得∠DOC≈58.332°.
∵摩天轮每分钟旋转36°，
∴t＝≈1.62(min)．
则从最底部开始，经过约1.62 min后，小明离地面的高度第一次达到10 m.
(3)如图②，设点C为小明离地面20 m处的位置，
∴OD＝20＋0.5－20＝0.5(m)，
∴cos∠DOC＝＝，
解得∠DOC≈88.567°.
∴10－2×≈5.08(min)．
答：在旋转一周的过程中，小明约有5.08 min保持在离地面20 m以上的空中．
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