[7.6 第3课时 与仰角、俯角和方向角有关的问题]
一、选择题
1．如图K－34－1，某飞机于空中A处探测到地面目标B，此时从飞机上看目标B的俯角α＝30°，飞机的飞行高度AC＝1200米，则飞机到目标B的距离AB为( )
图K－34－1
A．1200米 B．2400米
C．400 米 D．1200 米
2.如图K－34－2，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行了12海里到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C之间的距离是( )
图K－34－2
A．12 海里 B．6 海里
C．6海里 D．4 海里
3．2018·绵阳一艘在南北航线上的测量船，于A点测得海岛B在点A的南偏东30°的方向上，继续向南航行30海里到达点C时，测得海岛B在C点的北偏东15°方向上，那么海岛B离此航线的最近距离是(结果保留小数点后两位，参考数据：≈1.732，≈1.414)( )
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A．4.64海里 B．5.49海里
C．6.12海里 D．6.21海里
4．2017·重庆如图K－34－3，已知点C与某建筑物底端B相距306米(点C与点B在同一水平面上)，某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡CD行走195米至坡顶D处，斜坡CD的坡度(或坡比)i＝1∶2.4，在D处测得该建筑物顶端A的俯角为20°，则建筑物AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：sin20°≈0.342，cos20°≈0.940，tan20°≈0.364)( )
图K－34－3
A．29.1米 B．31.9米
C．45.9米 D．95.9米
二、填空题
5．2017年5月1日，某地国际马拉松比赛拉开帷幕，中央电视台体育频道用直升机航拍技术全程直播．如图K－34－4，在直升机的镜头下，观测马拉松景观大道A处的俯角为30°，B处的俯角为45°.如果此时直升机镜头C处的高度CD为200米，点A，D，B在同一直线上，则A，B两点之间的距离是________米．
图K－34－4
6．如图K－34－5，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B之间的距离约是________海里．(结果精确到个位，≈1.4，≈1.7，≈2.4)
图K－34－5
7．2017·山西如图K－34－6，创新小组要测量公园内一棵树的高度AB，其中一名成员站在距离树10米的点E处，测得树顶A的仰角为54°.已知测量仪的架高CE＝1.5米，则这棵树的高度约为________米．(结果保留一位小数．参考数据：sin54°≈0.8090，cos54°≈0.5878，tan54°≈1.3764)
图K－34－6
8.2017·葫芦岛如图K－34－7，一艘货轮由西向东航行，在A处测得灯塔P
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在它的北偏东60°方向上，继续航行到达B处，测得灯塔P在它的东北方向上，若灯塔P正南方向4海里的C处是港口，点A，B，C在一条直线上，则这艘货轮由A到B航行的路程为________海里(结果保留根号)．
图K－34－7
三、解答题
9．2018·南通如图K－34－8，小明一家自驾到古镇C游玩，到达A地后，导航显示车辆应沿北偏西60°方向行驶12千米至B地，再沿北偏东45°方向行驶一段距离到达古镇C，小明发现古镇C恰好在A地的正北方向，求B，C两地的距离．(结果保留根号)
图K－34－8
10．2018·宿迁如图K－34－9，为了测量山坡上一棵树PQ的高度，小明在点A处利用测角仪测得树顶P的仰角为45°，然后他沿着正对树PQ的方向前进10 m到达点B处，此时测得树顶P和树底Q的仰角分别是60°和30°，设PQ垂直于AB，且垂足为C.
(1)求∠BPQ的度数；
(2)求树PQ的高度(结果精确到0.1 m，≈1.73).
图K－34－9
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某水库大坝的横截面是如图K－34－10所示的四边形BADC，其中AB∥CD.瞭望台PC正前方水面上有两艘渔船M，N，观察员在瞭望台顶端P处观测渔船M的俯角α＝31°，观测渔船N的俯角β＝45°，已知NM所在直线与PC所在直线垂直，垂足为E，PE的长为30米．
(1)求两渔船M，N之间的距离(结果精确到1米)；
(2)已知坝高24米，坝长100米，背水坡AD的坡度i＝1∶0.25.为提高大坝防洪能力，某施工队在大坝的背水坡填筑土石方加固，加固后坝顶加宽3米，背水坡FH的坡度i＝1∶1.5，施工12天后，为尽快完成加固任务，施工队增加了机械设备，工作效率提高到原来的1.5倍，结果比原计划提前20天完成加固任务，施工队原计划平均每天填筑土石方多少立方米？
(参考数据：tan31°≈0.60，sin31°≈0.52)
图K－34－10
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详解详析
[课堂达标]
1．[解析] B 在Rt△ABC中，∠ABC＝α＝30°，AC＝1200米，
∴AB＝2AC＝2400米．故选B.
2．[解析] D 由已知得∠BAC＝90°－60°＝30°，在Rt△ABC中，BC＝AB·tan30°＝12×＝4 (海里)．故选D.
3．B [解析] 根据题意，作图如下，其中∠BAC＝30°，∠BCA＝15°，AC＝30海里．过点B作BE⊥AC，垂足为E，作BC的垂直平分线交AC于点D，交BC于点F，所以DB＝DC，∠BDE＝30°.设BE＝x海里，则AE＝DE＝x海里，CD＝BD＝2x海里，根据AC＝30海里，可得2 x＋2x＝30，解得x＝≈5.49.
4．[解析] A 过点D作DE⊥BC，垂足为E，解直角三角形CDE，得DE＝75米，CE＝180米，根据BC＝306米可求得BE＝126米，过点A作AF⊥DE，所以AF＝BE＝126米．因为∠DAF＝20°，根据tan20°≈0.364，即＝≈0.364，求得DF≈45.864米，所以AB＝DE－DF≈75－45.864≈29.1(米)．
5．[答案] (200＋200 )
[解析] ∵∠CDA＝∠CDB＝90°，∠A＝30°，∠B＝45°，
∴AD＝·CD＝200 ，BD＝CD＝200，
∴AB＝AD＋BD＝(200＋200 )米．
6．[答案] 24
[解析] 如图，过点B作BH⊥AC于点H.
∵∠BAC＝180°－70°－50°＝60°，∠ABC＝25°＋50°＝75°，
∴∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝45°.
在Rt△ABH中，AB＝20×1＝20(海里)，
∠BAC＝60°，BH＝AB·sin60°＝20×＝10 (海里)．
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在Rt△BCH中，∠ACB＝45°，BC＝＝＝10 ≈24(海里)，故答案为24.
7．15.3
8．[答案] (4 －4)
[解析] 根据题意，得PC＝4海里，∠PBC＝90°－45°＝45°，∠PAC＝90°－60°＝30°.
在Rt△APC中，
∵∠PAC＝30°，∠C＝90°，
∴AC＝PC＝4 海里．
在Rt△BPC中，
∵∠PBC＝45°，∠C＝90°，
∴BC＝PC＝4海里，
∴AB＝AC－BC＝(4 －4)海里．
故答案为(4 －4)．
9．解：如图，过点B作BH⊥AC于点H.
由题意得，∠CBH＝45°，∠BAH＝60°.
在Rt△BAH中，BH＝AB·sin∠BAH＝6 千米．
在Rt△BCH中，BC＝＝＝6 (千米)．
答：B，C两地的距离为6 千米．
10．解：(1)∠BPQ＝90°－60°＝30°.
(2)设PC＝x m.
在Rt△APC中，∠PAC＝45°，
∴AC＝PC＝x m.
在Rt△BPC中，∵∠BPC＝30°，
∴BC＝PC＝x m.
∵AB＝AC－BC，
∴x－x＝10，解得x＝15＋5 ，
则BC＝(5 ＋5)m.
在Rt△BCQ中，∵∠QBC＝30°，
∴QC＝BC＝×(5 ＋5)＝(5＋ )m，
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∴PQ＝PC－QC＝15＋5 －(5＋)＝10＋≈15.8(m)．
答：树PQ的高度约为15.8 m.
[素养提升]
解：(1)在Rt△PEN中，∵∠PNE＝45°，
∴EN＝PE＝30米．
在Rt△PEM中，∵∠PME＝31°，
∴ME＝≈50米，
∴MN＝ME－EN≈20米．
答：两渔船M，N之间的距离约为20米．
(2)过点F作FG∥AD交AH于点G，过点F作FK⊥AH交直线AH于点K，则四边形DFGA为平行四边形，∠FGA＝∠DAB，AG＝DF＝3米．
由题意知tan∠FGA＝tan∠DAB＝4，tanH＝.
在Rt△FKH中，KH＝＝＝36(米)．
在Rt△FKG中，KG＝＝＝6(米)，
故HG＝KH－KG＝36－6＝30(米)，
∴AH＝AG＋HG＝3＋30＝33(米)，
∴S梯形DAHF＝·FK·(DF＋AH)＝×24×(3＋33)＝432(米2)．
设L为坝长，则需要填筑的土石方V＝S梯形DAHFL＝432×100＝43200(米3)．
设原计划平均每天填筑x立方米，则原计划天完成，
增加机械设备后，现在平均每天填筑x立方米．
由题意，得12x＋(－12－20)·x＝43200，
解得x＝600.
经检验，x＝600是原分式方程的解，且满足实际意义．
答：该施工队原计划平均每天填筑600立方米的土石方．
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