第7章 锐角三角函数
7.6 第3课时 与仰角、俯角和方向角有关的问题
知识点 1 仰角和俯角
图7－6－26
1．2018·长春 如图7－6－26，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升800米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为( )
A．800sinα米 B．800tanα米
C.米 D.米
2．如图7－6－27所示，课外活动中，小芸在与旗杆AB的距离为10米的C处，用测角仪测得旗杆顶部A的仰角为45°.已知测角仪的高CD＝1.5米，则旗杆AB的高是________米．
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图7－6－27
图7－6－28
3．2017·邵阳 如图7－6－28，运载火箭从地面L处垂直向上发射，当火箭到达点A时，从位于地面R处的雷达测得AR的距离是40 km，仰角是30°.n秒后，火箭到达点B，此时仰角是45°，则火箭在这n秒中上升的高度为________km.
4．2018·达州 在数学实验活动课上，老师带领同学们到附近的湿地公园测量园内雕塑的高度．如图7－6－29，用测角仪在A处测得雕塑顶端点C的仰角为30°，再往雕塑方向前进4米至B处，测得雕塑顶端点C的仰角为45°.则该雕塑有多高？(测角仪高度忽略不计，结果不取近似值)
图7－6－29
知识点 2 方向角
5．2017·百色 如图7－6－30，在距离铁轨200米的B处，观察由南宁开往百色的“和谐号”动车，当动车车头在A处时，恰好位于B处的北偏东60°方向上，10秒钟后，动车车头到达C处，恰好位于B处的西北方向上，则这列动车的平均车速是( )
A．20(1＋)米/秒 B．20(－1)米/秒
C．200米/秒 D．300米/秒
图7－6－30
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图7－6－31
6．如图7－6－31，一轮船由南向北航行到O处时，发现与轮船相距40海里的A岛在北偏东33°方向．已知A岛周围20海里水域有暗礁，如果不改变航向，轮船________(填“有”或“没有”)触暗礁的危险．
7．2017·青岛 如图7－6－32，C地在A地的正东方向，因有大山阻隔，由A地到C地需绕行B地．已知B地位于A地北偏东67°方向，距离A地520 km，C地位于B地南偏东30°方向．若打通穿山隧道，建成两地直达高铁，求A地到C地之间高铁线路的长．(结果保留整数)
(参考数据：sin67°≈，cos67°≈，tan67°≈，≈1.73)
图7－6－32
8．2018·潍坊 如图7－6－33，一艘渔船正以60海里/时的速度向正东方向航行，在
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A处测得岛礁P在东北方向上，继续航行1.5小时后到达B处，此时测得岛礁P在北偏东30°方向，同时测得岛礁P正东方向上的避风港M在北偏东60°方向．为了在台风到来之前用最短时间到达M处，渔船立刻加速以75海里/时的速度继续航行________小时即可到达．(结果保留根号)
图7－6－33
图7－6－34
9．如图7－6－34所示，在甲楼的底部B处测得乙楼的顶部D点的仰角为α，在甲楼的顶部A处测得乙楼的顶部D点的俯角为β.如果甲、乙两楼之间的水平距离BC为10米，那么甲楼的高AB＝______________米．(用含α，β的代数式表示)
10．如图7－6－35，为了测出旗杆AB的高度，在旗杆前的平地上选择一点C，测得旗杆顶部A的仰角为45°，在C，B之间选择一点D(C，D，B三点共线)，测得旗杆顶部A的仰角为75°，且CD＝8 m.
(1)求点D到AC的距离；
(2)求旗杆AB的高．
(注：结果保留根号)
图7－6－35
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11．2018·襄阳 为了保证端午龙舟赛在我市汉江水域顺利举办，某部门工作人员乘快艇到汉江水域考察水情，以每秒10米的速度沿平行于岸边的赛道AB由西向东行驶．在A处测得岸边一建筑物P在北偏东30°方向上，继续行驶40秒到达B处，此时测得建筑物P在北偏西60°方向上，如图7－6－36所示，求建筑物P到赛道AB的距离．(结果保留根号)
图7－6－36
12．2017·连云港 如图7－6－37，湿地景区岸边有三个观景台A，B，C，已知AB＝1400米，AC＝1000米，点B位于点A的南偏西60.7°方向，点C位于点A的南偏东66.1°方向．
(1)求△ABC的面积；
(2)景区规划在线段BC的中点D处修建一个湖心亭，并修建观景栈道AD，试求A，D
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之间的距离(结果精确到0.1米)．
(参考数据：sin53.2°≈0.80，cos53.2°≈0.60，sin60.7°≈0.87，cos60.7°≈0.49，sin66.1°≈0.91，cos66.1°≈0.41，≈1.414)
图7－6－37
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/ 教 师 详 解 详 析 /
第7章 锐角三角函数
7.6 第3课时 与仰角、俯角和方向角有关的问题
1．D [解析] 由题中条件可知，在Rt△ABC中，∠ABC＝α，AC＝800米，tanα＝，可得AB＝米．
2．11.5 [解析] ∵小芸在与旗杆AB的距离为10米的C处，用测角仪测得旗杆顶部A的仰角为45°，∴AE＝DE＝10米．
∵测角仪的高CD＝1.5米，∴旗杆AB的高是10＋1.5＝11.5(米)．
3．(20 －20) [解析] 在Rt△ALR中，先根据AR＝40 km，∠ARL＝30°，求出AL＝20 km和LR＝20 km，再在Rt△BLR中，求出BL＝LR＝20 km，所以火箭在这n秒中上升的高度AB＝BL－AL＝(20 －20)km.
4．解：设雕塑的高CD为x米．
在Rt△ACD中，AD＝米，在Rt△BCD中，BD＝＝x米，根据题意，得AD－BD＝4米，即－x＝4，解得x＝2 ＋2.
答：雕塑的高CD为(2 ＋2)米．
5．A [解析] 过点B作BD⊥AC于点D，则BD＝200，∠CBD＝45°，∠ABD＝60°，∴在Rt△ABD中，AD＝200 ；在Rt△BCD中，DC＝200，∴AC＝DC＋AD＝200＋200 ，∴动车的平均速度是(200＋200 )÷10＝20＋20 ＝20(1＋)米/秒．
6．没有 [解析] 过点A作轮船航线的垂线，垂足为B.∵OA＝40海里，∠AOB＝33°，∴AB＝40·sin33°≈21.79海里＞20海里，∴轮船没有触暗礁的危险．
7．解：过点B作BD⊥AC于点D.
在Rt△ABD中，AB＝520，∠ABD＝67°，
sin67°＝＝≈，解得AD≈480，
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cos67°＝＝≈，解得BD≈200.
在Rt△CBD中，BD≈200，∠CBD＝30°，
tan30°＝≈＝≈，
解得DC≈115.
故AC＝AD＋DC≈480＋115＝595(km)．
答：A地到C地之间高铁线路的长约为595 km.
8. [解析] 过点P作PQ⊥AB，垂足为Q，过点M作MN⊥AB，垂足为N.
由题意，得AB＝60×1.5＝90(海里)．
设PQ＝MN＝x海里，由点P在点A的东北方向，可知∠PAQ＝45°，∴AQ＝PQ＝x海里，BQ＝(x－90)海里．
在Rt△PBQ中，∠PBQ＝90°－30°＝60°，
∴tan60°＝，即＝，
解得x＝135＋45 .
在Rt△BMN中，∠MBN＝90°－60°＝30°，
∴BM＝2MN＝2×(135＋45 )＝(270＋90 )海里，
∴航行时间为＝(时)．
9．10(tanα＋tanβ)
[解析] 如图，过点A作AH⊥CD，交CD的延长线于点H，则AH＝BC＝10.
在Rt△DBC中， tan∠DBC＝，
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∴CD＝BC·tan∠DBC＝10tanα.在Rt△AHD中， tan∠DAH＝，
∴DH＝AH·tan∠DAH＝10tanβ，∴AB＝CH＝CD＋DH＝10tanα＋10tanβ＝10(tanα＋tanβ)米．
10．解：(1)过点D作DE⊥AC于点E.在Rt△CDE中， sinC＝，∴DE＝CD·sinC＝8×sin45°＝4 (m)．
答：点D到AC的距离为4 m.
(2)在Rt△CDE中，∵∠C＝45°，∴△CDE为等腰直角三角形，∴CE＝DE＝4 m.
∵∠ADB＝75°，∠C＝45°，
∴∠EAD＝∠ADB－∠C＝30°.
在Rt△ADE中，tan∠EAD＝，
∴AE＝＝4 m，
∴AC＝AE＋CE＝(4 ＋4 )m.
在Rt△ABC中， sinC＝，
∴AB＝AC·sinC＝(4 ＋4 )·sin45°＝(4 ＋4)m.
答：旗杆AB的高为(4 ＋4)m.
11．解：过点P作PC⊥AB于点C，
由题意知∠PAC＝60°，∠PBC＝30°.
在Rt△PAC中，＝tan∠PAC，
∴AC＝PC.
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在Rt△PBC中，＝tan∠PBC，
∴BC＝PC.
∵AB＝AC＋BC＝PC＋PC＝10×40＝400，
∴PC＝100 (米)．
答：建筑物P到赛道AB的距离为100 米．
12．解：(1)如图，过点C作CE⊥BA，交BA的延长线于点E.
在Rt△AEC中，∠CAE＝180°－60.7°－66.1°＝53.2°，
∴CE＝AC·sin53.2°≈1000×0.80＝800(米)，
∴S△ABC＝·AB·CE≈×1400×800＝560000(米2)．
(2)连接AD，过点D作DF⊥AB于点F，则DF∥CE.
∵BD＝CD，DF∥CE，
∴BF＝EF，DF＝CE≈400米．
∵AE＝AC·cos53.2°≈600米，
∴BE＝AB＋AE≈2000米，
∴AF＝BE－AE≈400米．
在Rt△ADF中，AD＝≈400 ≈565.6(米)．
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